任家棟，曾慶雙，朱 虹

（1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001；2. 上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109；3. 上海市空間智能重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201109）

地球靜止軌道遠(yuǎn)程交會(huì)過(guò)程導(dǎo)航性能評(píng)估

任家棟1,2,3，曾慶雙1，朱 虹2,3

（1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001；2. 上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109；3. 上海市空間智能重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201109）

遠(yuǎn)程交會(huì)是靜止軌道共位衛(wèi)星自主定點(diǎn)置入的關(guān)鍵途徑。針對(duì)遠(yuǎn)程交會(huì)過(guò)程中大距離跨度下相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型的誤差信號(hào)特性，理論推導(dǎo)了誤差的傳遞機(jī)理，給出了相對(duì)導(dǎo)航EKF算法期望及噪聲特性的定量分析模型。研究表明，確定距離區(qū)間存在最優(yōu)過(guò)程噪聲量級(jí)及其對(duì)應(yīng)的最優(yōu)濾波性能，且濾波誤差與交會(huì)距離正相關(guān)，可作為全局最優(yōu)濾波器的定量設(shè)計(jì)依據(jù)，解決了靜止軌道遠(yuǎn)程交會(huì)過(guò)程EKF導(dǎo)航算法性能的量化評(píng)估問(wèn)題。仿真表明，分析結(jié)論正確，相對(duì)速度濾波誤差全程優(yōu)于0.005 m/s (1σ)，滿足交會(huì)任務(wù)需求。

地球靜止軌道衛(wèi)星；自主；遠(yuǎn)程交會(huì)；相對(duì)導(dǎo)航；濾波精度

遠(yuǎn)程交會(huì)是指追蹤星在測(cè)量數(shù)據(jù)的支持下，通過(guò)大幅度、遠(yuǎn)距離的機(jī)動(dòng)變軌，進(jìn)入到目標(biāo)星附近的某特定區(qū)域。遠(yuǎn)程交會(huì)往往是在軌服務(wù)和空間作戰(zhàn)等任務(wù)中能量消耗最大、時(shí)間消耗最長(zhǎng)的階段。對(duì)于地球靜止軌道（GEO）衛(wèi)星，軌道的稀缺特性致使多星共位已成為國(guó)際上共享軌道資源的主要措施。衛(wèi)星利用自身的雷達(dá)等進(jìn)行遠(yuǎn)程自主交會(huì)，建立穩(wěn)定的多星共位關(guān)系，可有效提高定點(diǎn)置入效率，是當(dāng)前應(yīng)用研究的熱點(diǎn)之一。

相對(duì)導(dǎo)航是自主交會(huì)的基礎(chǔ)。近年來(lái)國(guó)內(nèi)外研究成果較多[1-3]，導(dǎo)航方案多采用基于 CW（Clohessy-Wiltshire）方程的EKF（Extented Kalman Filter）相對(duì)導(dǎo)航算法。在遠(yuǎn)程交會(huì)過(guò)程中，距離跨度較大（10～100 km），CW 方程的未建模誤差是有色信號(hào)且隨距離變化。文獻(xiàn)[4]采用 H∞濾波器抑制建模誤差，此時(shí)濾波系統(tǒng)退化為次優(yōu)狀態(tài)；文獻(xiàn)[5]利用誤差分析理論研究了在初始條件、誤差噪聲模型部分或全部不精確已知的情況下最優(yōu)等價(jià)濾波器的設(shè)計(jì)方法，但該方法并不適應(yīng)于有色噪聲。同時(shí)EKF相對(duì)導(dǎo)航算法由于觀測(cè)方程非線性導(dǎo)致直接應(yīng)用濾波誤差分析理論存在困難[6]，因此濾波系統(tǒng)真實(shí)性能的量化分析研究較少，目前多依賴(lài)事后數(shù)據(jù)評(píng)估[7]。理論分析表明，無(wú)跡轉(zhuǎn)換（Unscented Transformation）等可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)均值及其高階矩的高精度非線性轉(zhuǎn)換[8]。文獻(xiàn)[9]對(duì)于加性噪聲的UKF系統(tǒng)進(jìn)行了性能評(píng)估，文獻(xiàn)[10-11]對(duì)于導(dǎo)航系統(tǒng)量測(cè)噪聲的誤差傳遞特性進(jìn)行了分析。本文基于同樣的思路，采用非線性轉(zhuǎn)化建立基于間接測(cè)量的相對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)，推導(dǎo)濾波誤差的傳遞機(jī)理，根據(jù)CW方程在靜止軌道的誤差特點(diǎn)，定量研究自主相對(duì)導(dǎo)航EKF算法的濾波精度，理論上解決了靜止軌道遠(yuǎn)程交會(huì)過(guò)程中導(dǎo)航性能的評(píng)估問(wèn)題。

1 靜止軌道相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程誤差分析

遠(yuǎn)程交會(huì)中實(shí)施控制的衛(wèi)星稱(chēng)為追蹤星，目標(biāo)區(qū)域的定點(diǎn)衛(wèi)星稱(chēng)為目標(biāo)星。

圖1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系Fig.1 Relative motion coordinate system

在近圓軌道下，考慮軌道環(huán)境攝動(dòng)，兩星相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為

式中：μ為地球引力常數(shù)，Rc表示地球靜止軌道星地距離。

地球靜止軌道衛(wèi)星星地距離為42 164 km，兩星共位保持距離ρ=20 km，此時(shí)，

比較以上兩式，從量級(jí)上可見(jiàn)，中心引力二次項(xiàng)C2約為由J2項(xiàng)引起的相對(duì)攝動(dòng)加速度的4倍。因此，對(duì)于遠(yuǎn)程交會(huì)，CW 方程的主要誤差源是中心引力二次項(xiàng)，并且誤差幅值與交會(huì)距離的平方成正比。

結(jié)合CW方程的解析解，分析式(2)可得，CW方程的未建誤差是有色信號(hào)，各軸誤差均含有周期振蕩信號(hào)，振蕩周期為1/2軌道周期，同時(shí)Z軸誤差還包含常值漂移項(xiàng)。

2 間接量測(cè)相對(duì)導(dǎo)航設(shè)計(jì)

采樣時(shí)間T，對(duì)式(5)離散得：

雷達(dá)量測(cè)方程為

式中：ρ為兩星的視線距，ψ為雷達(dá)測(cè)量航向角，θ為雷達(dá)測(cè)量俯仰角，V為雷達(dá)測(cè)量噪聲。

將雷達(dá)測(cè)量坐標(biāo)系下的測(cè)量值采用一階近似轉(zhuǎn)化到軌道坐標(biāo)系下，形成間接測(cè)量方程。采用 Monte Carlo分析可知，精度與無(wú)跡轉(zhuǎn)換相當(dāng)[8]。

轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：

式中：

轉(zhuǎn)化后方差：

通常遠(yuǎn)程交會(huì)過(guò)程相對(duì)指向角度較小，雅可比矩陣明顯對(duì)角占優(yōu)且變化較小，可近似取

根據(jù)某實(shí)際系統(tǒng)取雷達(dá)噪聲，測(cè)距誤差0.0005ρm(1σ)，測(cè)角誤差0.1°(1σ)。此時(shí)，式(6)和式(8)組成了基于標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波器的相對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)。

3 相對(duì)導(dǎo)航濾波性能分析

濾波精度是濾波器性能的主要指標(biāo)。狀態(tài)方程存在未建模誤差的情況下，濾波估計(jì)方差不能反映濾波狀態(tài)的真實(shí)方差。

CW 方程在靜止軌道的未建模誤差特性以常值偏差和1/2軌道周期振蕩為主。振蕩周期遠(yuǎn)低于濾波系統(tǒng)等效帶寬，對(duì)濾波系統(tǒng)整體性能影響較小，主要考慮CW方程的未建模誤差中的常值信號(hào)。

卡爾曼濾波器如(6)(8)，其基本遞推方程為

式中：Qk、Rk分別為系統(tǒng)過(guò)程噪聲陣和量測(cè)噪聲陣，P為系統(tǒng)狀態(tài)方差陣，k為濾波增益陣。

理論模型下濾波估計(jì)方差滿足：

考慮建模誤差，準(zhǔn)確系統(tǒng)模型可表示為

式中：Δc是CW方程遞推常值偏差。

遞推，得到系統(tǒng)狀態(tài)的一步預(yù)測(cè)估計(jì)：

此時(shí)，系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài)：

得到估計(jì)狀態(tài)的真實(shí)誤差：

對(duì)導(dǎo)航算法的有偏性進(jìn)行分析，對(duì)式(18)取期望，得：

對(duì)上式展開(kāi)，狀態(tài)估計(jì)的期望偏差為

根據(jù)式(18)和(20)，一步預(yù)測(cè)狀態(tài)的真實(shí)方差可表示為

式(23)分解為兩個(gè)部分。均值可以通過(guò)式(21)計(jì)算，隨機(jī)部分方差是遞推方程，形式簡(jiǎn)單，方便實(shí)現(xiàn)其穩(wěn)態(tài)值的求解。式(22)(23)理論上解決了基于CW方程的相對(duì)導(dǎo)航算法濾波性能分析問(wèn)題。

由式(24)得，過(guò)程噪聲Qk中σ2w與濾波精度的關(guān)系如圖2所示。

研究表明，過(guò)程噪聲是系統(tǒng)真實(shí)濾波性能的主要影響因素，對(duì)于特定的交會(huì)區(qū)間，過(guò)程噪聲量級(jí)以及濾波性能均存在最優(yōu)解（如圖2所示的拐點(diǎn)處），合理設(shè)置過(guò)程噪聲可以獲得最佳濾波性能。

然而，如式(2)所示，中心引力場(chǎng)二次項(xiàng)誤差隨著距離增加線性平方增加，必然影響濾波器的全局最優(yōu)性。根據(jù)式(24)進(jìn)一步研究濾波精度隨交會(huì)距離變化的特性，如圖3所示。

圖2 過(guò)程噪聲與濾波誤差關(guān)系圖（20 km）Fig.2 Relationship between process noise andfilter error (20 km)

圖3 濾波誤差與相對(duì)距離關(guān)系圖（10～100 km）Fig.3 Relationship between filter error and relative distance (10～100 km)

研究表明：濾波誤差與交會(huì)距離正相關(guān)，交會(huì)距離越遠(yuǎn)，誤差越大；同時(shí)相關(guān)性與過(guò)程噪聲的量級(jí)有關(guān)，對(duì)于特定的軌跡，遠(yuǎn)程和近程的最優(yōu)濾波性能不可兼得，遠(yuǎn)程的最優(yōu)性能往往以近程的次優(yōu)性能為代價(jià)。圖3也為全局最優(yōu)濾波器設(shè)計(jì)提供了定量分析的依據(jù)，分區(qū)間整定過(guò)程噪聲可以實(shí)現(xiàn)全區(qū)域的最優(yōu)濾波性能。

4 仿真驗(yàn)證

設(shè)計(jì)仿真試驗(yàn)，對(duì)靜止軌道遠(yuǎn)程交會(huì)中相對(duì)導(dǎo)航EKF濾波算法性能進(jìn)行驗(yàn)證。

雷達(dá)測(cè)量噪聲如式(12)所示。

追蹤星和目標(biāo)星運(yùn)行在靜止軌道，兩星相位差分別為由0.06°抵近至0.03°，兩星相對(duì)距離約由50 km接近至20 km。

表1 相對(duì)導(dǎo)航濾波標(biāo)準(zhǔn)差Tab.1 Relative navigation filter standard deviation

仿真結(jié)果顯示，20 km和50 km處Z軸相對(duì)速度項(xiàng)濾波精度分別為6.7E-4 m/s和1.3E-3 m/s，與圖3（加速度噪聲取點(diǎn)虛線）理論分析的數(shù)值一致。隨著距離增加，濾波性能出現(xiàn)衰減，與圖 3理論分析的趨勢(shì)一致。

由于各軸的系統(tǒng)誤差存在差異，在交會(huì)過(guò)程中濾波性能以及衰減趨勢(shì)也存在差異。運(yùn)動(dòng)學(xué)方程誤差分析表明，Z向的系統(tǒng)較大且存在常值誤差，因此其位置及速度濾波誤差隨距離增加的衰減明顯，與理論分析一致。

圖4 兩星相距20 km時(shí)的相對(duì)位置估計(jì)誤差Fig.4 Relative position estimation error when the distance is 20 km

圖5 兩星相距20 km時(shí)的相對(duì)速度估計(jì)誤差Fig.5 Relative velocity estimation error when the distance is 20 km

圖6 兩星相距50 km時(shí)的相對(duì)位置估計(jì)誤差Fig.6 Relative position estimation error when the distance is 50 km

圖7 兩星相距50 km時(shí)的相對(duì)速度估計(jì)誤差Fig.7 Relative velocity estimation error when the distance is 50 km

綜合分析表明，系統(tǒng)的綜合性能與系統(tǒng)噪聲陣的配置相關(guān)，根據(jù)系統(tǒng)需求合理配置系統(tǒng)噪聲陣，可保證系統(tǒng)性能滿足遠(yuǎn)程交會(huì)各階段精度要求。

5 結(jié) 論

針對(duì)地球靜止軌道衛(wèi)星遠(yuǎn)程交會(huì)過(guò)程中相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型的系統(tǒng)誤差特性，采用非線性轉(zhuǎn)化建立基于間接測(cè)量的相對(duì)導(dǎo)航系統(tǒng)，推導(dǎo)模型誤差的傳遞機(jī)理，給出了相對(duì)導(dǎo)航EKF算法的期望以及噪聲特性的定量分析模型。研究表明：確定距離區(qū)間存在最優(yōu)過(guò)程噪聲量級(jí)及其對(duì)應(yīng)的最優(yōu)濾波性能；遠(yuǎn)程交會(huì)過(guò)程中，濾波誤差與交會(huì)距離正相關(guān)，對(duì)于特定的相關(guān)軌跡，遠(yuǎn)程和近程的最優(yōu)濾波性能不可兼得，遠(yuǎn)程的最優(yōu)性能往往以近程的次優(yōu)性能為代價(jià)，可作為全局最優(yōu)濾波器的定量設(shè)計(jì)依據(jù)。仿真表明，分析結(jié)論是正確的，理論上解決了靜止軌道遠(yuǎn)程交會(huì)過(guò)程中導(dǎo)航性能的量化評(píng)估問(wèn)題。

（References）：

[1] Segal S, Gurfil P. Stereoscopic vision-based spacecraft relative satellite estimation[R]. AIAA-2009-6094, 2009.

[2] Zhang S J, Liu F H, Cao X B, et al, Monocular vision-based two-stage iterative algorithm for relative position and attitude estimation of docking spacecraft[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2010, 23(2): 204-210.

[3] 龔柏春, 羅建軍, 馬悅. 單測(cè)角相對(duì)導(dǎo)航的相對(duì)距離重構(gòu)新算法[J]. 中國(guó)慣性技術(shù)學(xué)報(bào), 2014, 22(3): 340-345. Gong Bai-chun, Luo Jian-jun, Ma Yue. Novel reconstructing algorithm of relative distances for angle-only relative navigation[J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2014, 22(3): 340-345.

Performance evaluation of relative navigation algorithm during geostationary orbit long-range rendezvous

REN Jia-dong1,2,3, ZENG Qing-shuang1, ZHU Hong1,3

(1. School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China; 2. Shanghai Aerospace Control Engineering Institute, Shanghai 201109, China; 3. Shanghai Key Laboratory of Space Intelligent Control Technology, Shanghai 201109, China)

Long-range autonomous rendezvous is crucial to the precise placemen of geostationary collocation satellites. Based on the analysis of error signal characteristics of relative motion model during large-span remote rendezvous process, the error transfer mechanism is theoretically derived. Then the quantitative analysis model of mean and noise characteristic is proposed for the relative navigation based on an extended Kalman filter (EKF) algorithm. The analysis results show that there exists an optimal process noise level and corresponding optimal filter performance with respect to the determining distance range. The estimation error is positively correlated with the intersection distance, which can be used as the quantitative basis to design a global optimum filter. Besides, it also theoretically provides an approach to quantitatively evaluate the navigation performance of the EKF optimal filter during long-range rendezvous of geostationary orbit. Simulation results demonstrate that the analysis results are correct, and the relative velocity estimation error is 0.005 m/s(1σ), which satisfies the mission requirements of orbit long-range rendezvous.

geostationary satellites; autonomous; long-range rendezvous; relative navigation; filter precision

V448.21

A

1005-6734(2016)02-0257-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.02.022

2015-12-15；

2016-03-28

國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃（863計(jì)劃）（2015AA1073A）

任家棟（1986—），男，博士研究生，從事導(dǎo)航濾波技術(shù)研究。E-mail: renjiadong@126.com聯(lián) 系 人：曾慶雙（1963—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail: zqshuang2000@yahoo.com.cn