劉慶博，任順清

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱 150080）

空間目標(biāo)初始軌道確定吉布斯問(wèn)題誤差分析

劉慶博，任順清

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 空間控制與慣性技術(shù)研究中心，哈爾濱 150080）

現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中的空間武器平臺(tái)捕獲敵方的空間目標(biāo)，確定其運(yùn)行軌道后實(shí)施軍事打擊，所以對(duì)軌道確定參數(shù)的誤差進(jìn)行分析對(duì)于精確打擊具有非常重要的意義。為了準(zhǔn)確分析吉布斯三位置矢量定軌法的軌道根數(shù)的確定精度，根據(jù)吉布斯方法的軌道確定模型，采用向量求導(dǎo)的方法，詳細(xì)推導(dǎo)了軌道根數(shù)對(duì)于觀測(cè)位置誤差的靈敏度矩陣，并給出了軌道根數(shù)誤差與觀測(cè)位置誤差之間的關(guān)系，明確初始軌道的確定精度及誤差傳播規(guī)律。最后對(duì)吉布斯方法及其誤差分析進(jìn)行仿真分析驗(yàn)證，驗(yàn)證了方法的正確性。

初始軌道確定；吉布斯方法；軌道根數(shù)；靈敏度矩陣

在軌道力學(xué)中，對(duì)空間目標(biāo)進(jìn)行軌道確定包括兩個(gè)過(guò)程：利用短弧段觀測(cè)數(shù)據(jù)的初始軌道確定以及長(zhǎng)弧段下的精密定軌[1]。初始軌道確定一般都是采用二體模型，經(jīng)典的初始軌道確定方法都是利用測(cè)角數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行計(jì)算的，主要有Laplace法和Gauss法兩種。

長(zhǎng)期以來(lái)，國(guó)內(nèi)外的眾多學(xué)者都針對(duì)以上兩種方法進(jìn)行了更加深入的研究，并提出了多種初始軌道確定的方法，解決了一些使用傳統(tǒng)方法會(huì)出現(xiàn)不收斂或不穩(wěn)定等問(wèn)題。文獻(xiàn)[2]基于單站單圈測(cè)量數(shù)據(jù)研究了低軌衛(wèi)星初軌確定的方法，對(duì)遺傳算法和最小二乘法在不同觀測(cè)條件下確定的初軌信息以及軌道預(yù)測(cè)信息進(jìn)行了分析和比較，確定了兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)和各自的適用條件。文獻(xiàn)[3]采用最小一乘方法建立了一種初軌計(jì)算的穩(wěn)健方法，將初軌計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)換為線性規(guī)劃問(wèn)題求解，并通過(guò)bootstrap方法給出估計(jì)精度，數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明該方法穩(wěn)健有效，并具有較高的崩潰點(diǎn)。文獻(xiàn)[4]將采用角度和角速率數(shù)據(jù)進(jìn)行初始軌道確定與只采用角度數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比，采用角度和角速率數(shù)據(jù)有著更好的平穩(wěn)性和可靠性。文獻(xiàn)[5]提出了一種采用單時(shí)刻 GPS測(cè)量的方法來(lái)對(duì)地球靜止衛(wèi)星進(jìn)行初始軌道的確定，并采用EKF對(duì)該算法進(jìn)行了驗(yàn)證。文獻(xiàn)[6]利用遺傳算法來(lái)對(duì)極短弧的光學(xué)觀測(cè)進(jìn)行初始軌道確定，并利用蒙特卡洛仿真來(lái)驗(yàn)證算法的可靠性。文獻(xiàn)[7]將天基角度測(cè)量與遺傳算法相結(jié)合來(lái)確定初始軌道，得到了滿意的結(jié)果，并且多種群遺傳算法（MPGA）可以有效解決角度測(cè)量方法的迭代過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題。文獻(xiàn)[8]中根據(jù)開(kāi)普勒運(yùn)動(dòng)定律推導(dǎo)出確定斜距的方法，5個(gè)數(shù)據(jù)一組進(jìn)行初始軌道的確定。除此之外，還可以利用其他方法來(lái)確定初始軌道，如利用高斯混合模型求解[9]。以上是對(duì)初始軌道確定方法研究現(xiàn)狀的概述，對(duì)軌道確定方法進(jìn)行誤差分析的相關(guān)文獻(xiàn)相對(duì)較少。文獻(xiàn)[10]中分析了星載GPS接收機(jī)的定位誤差對(duì)衛(wèi)星軌道根數(shù)的影響，只推導(dǎo)了長(zhǎng)半軸，軌道傾角和升交點(diǎn)赤經(jīng)的誤差與位置、速度誤差的關(guān)系式。

本文將主要對(duì)吉布斯三位置矢量定軌法進(jìn)行誤差分析。首先給出軌道根數(shù)的計(jì)算方法和吉布斯三位置矢量定軌法。利用3個(gè)位置矢量就能確定軌道根數(shù)，但目前沒(méi)有文獻(xiàn)給出位置矢量本身的測(cè)量誤差、夾角的大小等對(duì)于6個(gè)軌道根數(shù)確定誤差的影響程度。在整個(gè)軌道確定的過(guò)程中，初始軌道確定的精度大多數(shù)情況下無(wú)法滿足精度要求，需要進(jìn)行精密定軌，而初始軌道確定的精度往往會(huì)影響精密定軌初值的選取，高精度的初始軌道的確定可以減少整個(gè)軌道確定的時(shí)間。所以本文將對(duì)吉布斯方法進(jìn)行誤差分析，推導(dǎo)出6個(gè)軌道根數(shù)的靈敏度矩陣，明確誤差傳播特性，并對(duì)其進(jìn)行仿真分析與驗(yàn)證。

1 軌道根數(shù)與初始軌道確定

1.1 軌道根數(shù)

軌道根數(shù)是用來(lái)描述天體在其軌道運(yùn)行狀態(tài)的一組參數(shù)。6個(gè)軌道根數(shù)如圖1所示，其中，h為比角動(dòng)量的模，i為軌道傾角，Ω為升交點(diǎn)赤經(jīng)(RA)，e為偏心率，ω為近地點(diǎn)幅角，θ為真近點(diǎn)角，a為長(zhǎng)半軸。當(dāng)已知位置矢量和速度矢量

求解上述軌道根數(shù)的過(guò)程如下：

徑向速度大小vr為

根據(jù)文獻(xiàn)[11]，直接給出6個(gè)軌道根數(shù)的算法，比角動(dòng)量h：

圖1 軌道根數(shù)Fig.1 Orbital parameters

軌道傾角i：

升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω：

偏心率矢量e為地心O指向近地點(diǎn)的矢量，表達(dá)式為

偏心率e為偏心率矢量e的模。

近地點(diǎn)幅角ω：

真近點(diǎn)角θ：

長(zhǎng)半軸a：式中：μ = GMe是地心引力常數(shù)，μ = 398600km3/s2，Me是地球質(zhì)量。

下面針對(duì)a、i、Ω、e、ω、θ這6個(gè)軌道根數(shù)進(jìn)行誤差分析。

1.2 初始軌道確定——吉布斯三位置矢量定軌法

如果測(cè)量出空間目標(biāo)軌道上P1、P2、P3位置的位置矢量 r1、r2和r3后，便可用吉布斯三位置矢量定軌法來(lái)計(jì)算6個(gè)軌道根數(shù)。如圖2所示。

其中，

根據(jù)式(9)，角動(dòng)量h可由r1、r2和r3通過(guò)如下關(guān)系得到：

圖2 吉布斯三位置矢量定軌Fig.2 Gibbs’ method for initial orbit determination

從式(13)可以看出，測(cè)量得到3個(gè)位置矢量，能計(jì)算過(guò)度矢量N、D、S及其相應(yīng)的標(biāo)量，再計(jì)算速度矢量，最后根據(jù)式(1)～(8)確定6個(gè)軌道根數(shù)。然而測(cè)量的矢量r1、r2和r3是有誤差的，而且它們之間的夾角有大有小，如何根據(jù)位置矢量的誤差來(lái)確定6個(gè)軌道根數(shù)的誤差就是下面將要研究的內(nèi)容。

2 初始軌道確定方法的誤差分析

對(duì)吉布斯三位置矢量定軌法進(jìn)行誤差分析，要根據(jù)6個(gè)軌道根數(shù)的計(jì)算公式寫成關(guān)于3個(gè)位置矢量r1、r2和的微分表達(dá)式，求取關(guān)于 r1、r2和r3的偏導(dǎo)，轉(zhuǎn)換成矩陣的形式，得到6個(gè)軌道根數(shù)a、i、Ω、e、ω、θ的靈敏度矩陣，并且h作為重要的中間變量同樣需要求取靈敏度矩陣。在求解過(guò)程中，主要利用向量對(duì)向量求偏導(dǎo)的相關(guān)計(jì)算公式以及如下幾個(gè)常用的求取偏導(dǎo)公式：

1）如果M為矢量M的模，m為另一矢量，則：

首先求取比角動(dòng)量的模 h對(duì)位置矢量的靈敏度矩陣。根據(jù)軌道比角動(dòng)量為常矢量，h=r×v，將第2個(gè)位置的速度v2的表達(dá)式代入可以得到

NDr

2

將比角動(dòng)量h對(duì)r1、r2和r3求導(dǎo)，則h的誤差與位置誤差δ1r、δr2和δr3的關(guān)系為

對(duì)位置矢量求導(dǎo)，得：

根據(jù)式(15)，寫出矩陣：

式中，比角動(dòng)量的靈敏度矩陣

為3×9維的矩陣，其中各個(gè)元素的計(jì)算可將公式(16)～(24)代入即可計(jì)算，它們均是矢量 r1、r2和r3及其標(biāo)量的函數(shù)。計(jì)算比角動(dòng)量的模的靈敏度矩陣為其他5個(gè)軌道根數(shù)的靈敏度矩陣求取方法

類似，略去詳細(xì)推導(dǎo)。

速度的靈敏度矩陣Av為

其中，

長(zhǎng)半軸a的靈敏度矩陣為

軌道傾角i的靈敏度矩陣為

升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω的靈敏度矩陣為

偏心率e的靈敏度矩陣由偏心率矢量e的靈敏度矩陣得到，則：

真近點(diǎn)角θ的靈敏度矩陣Aθ為

求取近地點(diǎn)幅角的靈敏度矩陣前先求解出矢量B關(guān)于位置誤差的靈敏度矩陣ΑB為

繼而求解出近地點(diǎn)幅角的靈敏度矩陣Αω為

標(biāo)量對(duì)位置矢量的靈敏度矩陣均為1×9維矩陣，假設(shè)各個(gè)位置矢量測(cè)量的不確定度相等，均為σ，并假設(shè)各次測(cè)量均為獨(dú)立測(cè)量，再結(jié)合不確定度的合成公式，即當(dāng)所求取軌道根數(shù)的靈敏度矩陣為A時(shí)，那么軌道根數(shù)的不確定度為表示靈敏度矩陣的元素，就可求出6個(gè)軌道根數(shù)的不確定度。

3 初始軌道確定方法的仿真分析

利用STK軟件繪制軌道，設(shè)定軌道參數(shù)如下：

在繪制好的軌道上選取3個(gè)位置矢量（km）：

對(duì)吉布斯三位置矢量定軌法進(jìn)行Matlab編程，經(jīng)過(guò)計(jì)算可以得到6個(gè)軌道根數(shù)，長(zhǎng)半軸軌道傾角偏心率 e= 0.100132，升交點(diǎn)赤經(jīng)近地點(diǎn)幅角真近點(diǎn)角

把以上建立的運(yùn)行軌道模型中的位置信息當(dāng)作基準(zhǔn)數(shù)據(jù)，在基準(zhǔn)數(shù)據(jù)中加入0.1 km的位置隨機(jī)誤差，多次取值，求取6個(gè)軌道根數(shù)的不確定度，并在此基礎(chǔ)之上逐步增大選取的 3個(gè)位置矢量之間的夾角，最大到120°左右，觀察6個(gè)軌道根數(shù)不確定度的變化趨勢(shì)，繪（相對(duì)于位置矢量r）。制出變化曲線。令位置不確定度根據(jù)前面得到的6個(gè)軌道根數(shù)的靈敏度矩陣，計(jì)算6個(gè)軌道根數(shù)的不確定度，與由仿真數(shù)據(jù)計(jì)算得到的不確定度進(jìn)行比較，仿真結(jié)果如圖3～8所示。

圖3 長(zhǎng)半軸a與位置誤差的關(guān)系Fig.3 Relationship between semimajor axis and position error

圖4 軌道傾角i與位置誤差的關(guān)系Fig.4 Relationship between inclination and position error

圖5 升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω與位置誤差的關(guān)系Fig.5 Relationship between right ascension of the ascending node and position error

圖6 偏心率e與位置誤差的關(guān)系Fig.6 Relationship between eccentricity and position error

從上述仿真結(jié)果可以看到，利用吉布斯三位置矢量定軌法計(jì)算得到的軌道根數(shù)與預(yù)設(shè)的軌道根數(shù)接近，由實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算得到的軌道根數(shù)的不確定度與由靈敏度矩陣計(jì)算得到的軌道根數(shù)的不確定度，兩者的結(jié)果十分接近，驗(yàn)證了前面所求取的軌道根數(shù)的靈敏度矩陣的準(zhǔn)確性。從軌道根數(shù)的不確定度的變化趨勢(shì)可以看到，增大選取位置矢量之間的夾角，6個(gè)軌道根數(shù)的不確定度在減小，所以盡量增大選取的3個(gè)位置矢量之間的夾角有利于減小軌道根數(shù)的誤差。但實(shí)際確定初始軌道時(shí)，增大3個(gè)位置的夾角可能受到所需確定時(shí)間的限制，可根據(jù)具體所需的軌道確定精度和效率進(jìn)行取舍。

圖7 真近點(diǎn)角θ與位置誤差的關(guān)系Fig.7 Relationship between true anomaly and position error

圖8 近地點(diǎn)幅角ω與位置誤差的關(guān)系Fig.8 Relationship between argument of perigee and position error

4 結(jié) 論

針對(duì)吉布斯方法確定的6個(gè)軌道根數(shù)的誤差，推導(dǎo)了6個(gè)軌道根數(shù)誤差相對(duì)于位置矢量測(cè)量誤差的靈敏度矩陣，用Matlab軟件編程計(jì)算了6個(gè)軌道根數(shù)的不確定度；然后，利用STK軟件繪制軌道，驗(yàn)證了空間目標(biāo)初始軌道確定方法的有效性；最后，對(duì)選取位置矢量之間的夾角做出改變進(jìn)行了仿真分析，繪制了軌道根數(shù)不確定度的變化曲線，將真實(shí)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的不確定度與由靈敏度矩陣計(jì)算得到的不確定度進(jìn)行比較，驗(yàn)證了前面所求取的靈敏度矩陣的準(zhǔn)確性。由仿真結(jié)果可知，為減小軌道根數(shù)的誤差，可以通過(guò)增大選取的3個(gè)位置矢量之間的夾角來(lái)實(shí)現(xiàn)。在實(shí)際的初始軌道確定中，可根據(jù)本文給出的6個(gè)軌道根數(shù)靈敏度矩陣可以計(jì)算出所求解的軌道的軌道根數(shù)誤差。

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Error analysis of Gibbs’ method for initial orbit determination of space target

LIU Qing-bo, REN Shun-qing

(Space Control and Inertial Technology Research Center, Harbin Institute of Technology, Harbin 150080, China)

In modern war, the space weapon platform can capture enemy’s space target and then attack it after determining the orbit, so the error analysis of orbital parameters is of great significance. To precisely analyze the orbit-determination accuracy of orbital elements by Gibbs three-position vector method, the sensitivity matrices of orbit parameters versus the position errors are deduced by using the vector derivatives according to the model of Gibbs’ method. The precision of initial orbit determination and error propagation characteristics are determined by the relationship between the orbital parameter errors and position errors. Simulation results show the correctness of the Gibbs method and its error analysis.

initial orbit determination; Gibbs’ method; orbital parameter; sensitivity matrix

U666.1

A

1005-6734(2016)02-0263-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.02.023

2015-12-14；

2016-03-11

裝備預(yù)研基金項(xiàng)目（9140A09030313HT01121）；國(guó)家重大科學(xué)儀器設(shè)備開(kāi)發(fā)專項(xiàng)（2013YQ310737）

劉慶博（1991—），男，博士研究生，從事慣性技術(shù)研究。E-mail: lqb9104@163.com

聯(lián) 系 人：任順清（1967—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail: renshunqing@hit.edu.cn