張鳳國,周洪強,胡曉棉,2,王 裴,邵建立,馮其京

(1.北京應(yīng)用物理與計算數(shù)學(xué)研究所，北京 100094;2.北京應(yīng)用物理與計算數(shù)學(xué)研究所計算物理重點實驗室，北京 100088)

強動載作用下孔洞匯合對延性金屬層裂損傷演化過程的影響*

張鳳國1,周洪強1,胡曉棉1,2,王 裴1,邵建立1,馮其京1

(1.北京應(yīng)用物理與計算數(shù)學(xué)研究所，北京 100094;2.北京應(yīng)用物理與計算數(shù)學(xué)研究所計算物理重點實驗室，北京 100088)

針對強動載作用下延性金屬的層裂問題，在分析孔洞之間幾何關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上，定義了一個新的耦合損傷及孔洞幾何信息的孔洞匯合判定方法，同時，基于能量守恒原理，解析了孔洞匯合對損傷快速增長影響的物理機理．通過分析數(shù)值計算結(jié)果和對比相關(guān)文獻的實驗可知：孔洞匯合后不僅引起損傷增長，而且導(dǎo)致了損傷材料內(nèi)部微孔洞數(shù)目的減少、孔洞平均尺寸的增加。

固體力學(xué)；層裂;強動載;延性金屬;孔洞匯合;損傷演化

在不同厚度飛片相互撞擊過程中，沖擊波從材料自由表面反射，材料內(nèi)部或近自由表面區(qū)域受到卸載稀疏波作用，如果延性金屬材料內(nèi)部的拉伸應(yīng)力足夠高，以孔洞形式的損傷將經(jīng)歷成核、增長和匯合演化過程，當微孔洞的數(shù)量和尺寸增長到一定階段之后，它們的(強)相互作用就變得十分重要，這時，微孔洞之間的匯合以及細觀尺度上的不穩(wěn)定性將導(dǎo)致材料的最終破壞。實驗結(jié)果分析表明：在強動態(tài)拉伸載荷作用下，孔洞匯合可能開始于孔洞成核后，并伴隨損傷演化整個過程，此時，孔洞匯合對孔洞增長起到抑制作用[1]；孔洞增長不僅以孤立孔洞形式增長，而且可能主要以孔洞匯合形式增長[2]。因此，在連續(xù)損傷模型中耦合孔洞匯合的影響，有助于精細描述延性材料損傷演化過程、分析不同因素對損傷演化過程的影響[3-5]。

由于微孔洞之間強相互作用在理論分析方面遇到的困難，至今還沒有一個較好的模型對孔洞匯合進行合理的描述[6]。一個合理的孔洞匯合模型不僅應(yīng)給出開始匯合的準則，而且還應(yīng)該對其間的應(yīng)力松弛或材料軟化予以適當?shù)拿枋?。當然要作以上分析是非常困難的，因而許多學(xué)者通過數(shù)值模擬兩個孔洞之間的相互關(guān)系給出一些半經(jīng)驗性的孔洞匯合臨界條件，即以孔洞之間的相互距離或臨界損傷作為孔洞匯合的臨界判據(jù)：T.Pardoen等[7]認為孔洞匯合的臨界損傷依賴于微孔洞初始體積分數(shù)、加載應(yīng)力三軸度及微孔洞形狀；M.F.Horstemeyer等[8]采用微力學(xué)有限元計算方法研究準靜態(tài)加載條件下兩個孔洞之間的貫通行為，指出孔洞開始匯合的臨界韌帶距離依賴于邊界條件和材料韌性，且約為2～8倍的孔洞直徑；E.T.Seppala等[9]采用分子動力學(xué)方法對動態(tài)條件下銅材料中孔洞的增長和聚集行為進行了數(shù)值模擬，結(jié)果顯示臨界韌帶距離約為0.5倍孔洞直徑時，孔洞周圍塑性區(qū)相遇，孔洞增長速度突然增加，從而導(dǎo)致孔洞匯合。此外，在理論分析方面，P.F.Thomson[10]簡化了塑性極限載荷的滑移線場解, 提出了一種孔洞匯合的判斷準則；D.L.Tonks等[11]進一步用高應(yīng)變率下的隨機濾滲理論解釋了斷裂點, 提出了一種通過孔洞聚集形成小尺度孔洞簇增長的模型；T.Pardoen等[12]討論了基于微結(jié)構(gòu)機理的孔洞匯合模型的進展，并指出因微孔洞匯合引起金屬斷裂過程最后階段的模擬需要反映微結(jié)構(gòu)演化重要信息的延性損傷模型。在過去的十多年里，孔洞匯合研究的重要進步是基于簡單的孔隙度準則或臨界應(yīng)變準則發(fā)展為基于微觀機理認識的進展。不過，目前的研究主要是分析相同大小孔洞間的匯合，還需要將其擴展到更一般的情況，即不同大小的孔洞之間的匯合問題；此外，對于孔洞匯合最初發(fā)生于相同的大孔洞之間、小孔洞之間亦或不同大小孔洞之間，目前還沒有確切的說明。同時，現(xiàn)有的孔洞匯合模型嚴格來說是描述孔洞變形對損傷的影響，且一般采用指數(shù)函數(shù)來唯像描述孔洞匯合后損傷的快速增長[13]，而根據(jù)損傷度的定義，孔洞匯合時刻并沒有引起損傷的改變，但實際卻促進了損傷的快速發(fā)展，目前對于其物理機理至今仍處于探討之中。

本文中基于兩個不同大小孔洞之間的幾何關(guān)聯(lián)，給出孔洞匯合的臨界判定方法，并基于能量守恒原理，揭示孔洞匯合后引起損傷增長的物理機理，同時，耦合孔洞匯合的影響，采用數(shù)值方法討論孔洞匯合對延性金屬層裂損傷演化特性的影響。

1 孔洞匯合的判定方法

現(xiàn)階段對于孔洞匯合機理的分析已經(jīng)成為層裂損傷研究的主要關(guān)注點[14-16]，不過，現(xiàn)有的匯合判據(jù)還存在不足之處：距離判據(jù)沒有考慮損傷的影響；損傷(或應(yīng)力、應(yīng)變)判據(jù)沒有考慮孔洞大小的影響。此外，在強動態(tài)加載情況下，孔洞增長過程不易發(fā)生塑性局域化，孔洞幾乎仍然保持球形形狀，孔洞匯合時，損傷度較高，且孔洞之間產(chǎn)生相互接觸，這可能是因為慣性對孔洞間的頸縮起了阻礙作用[14]，這種情況在一些層裂實驗[17-18]以及裂紋擴展實驗[19]中均可以觀測到(見圖1)。因匯合前孔洞基本保持球形形狀，且相鄰孔洞間距較小，則因孔洞間基體材料頸縮引起孔洞變化對損傷的影響較小，因此相對于基于頸縮過程分析得到的孔洞匯合判據(jù)，采用孔洞間距離判據(jù)更加簡單、適宜。

圖1 孔洞匯合實驗結(jié)果Fig.1 Void coalescence by direct impingement in tantalum

圖2 孔洞間的幾何關(guān)系Fig.2 Porous material model

為此，我們考慮兩個空心球殼之間的幾何關(guān)聯(lián)(見圖2)，并定義孔隙度：

α=b3/(b3-a3)

則孔洞間距離可以表示為：

(1)

本文中仍將采用孔洞間的距離作為孔洞開始匯合的判據(jù)，并根據(jù)實驗結(jié)果確定臨界孔洞距離dcr(根據(jù)文獻[2]的實驗結(jié)果，本文中采用dcr=4min(a1,a2))，即當兩個孔洞間的距離d≤dcr時，認為相應(yīng)的兩個孔洞之間發(fā)生匯合。與現(xiàn)有的距離計算方法不同，公式(1)不僅包含了孔洞大小，同時也包含了損傷度的影響。眾所周知，在相同加載條件下小孔洞周邊的應(yīng)力集中更明顯，同時，在大孔洞不變的情況下，小孔洞越小，其對應(yīng)的損傷度越小，因此，孔洞匯合應(yīng)該首先發(fā)生于最大孔洞與最小孔洞之間，這也從側(cè)面說明了實驗最后的觀測結(jié)果以及相關(guān)的數(shù)值模擬結(jié)果中小孔洞很少的可能原因。

取a1=ka2、d=ma1=mka2，則公式(1)可以轉(zhuǎn)化為損傷度D的表達式：

(2)

兩個特例：

當m=k=1時，D=0.296，這與分析層裂問題時常采用的臨界斷裂損傷度相近；

這與L.M.Brown等[20]和D.L.Tonks等[11]分析的孔洞匯合初始臨界損傷度完全一致，換句話說，文獻[11,20]中所采用的孔洞匯合臨界損傷度只是我們所討論的特例，圖3顯示了孔洞匯合損傷度與匯合孔洞相對大小比值之間的對應(yīng)關(guān)系，同時，計算結(jié)果也顯示了孔洞匯合損傷度的取值范圍在0.296～0.125之間。

當k=10時，圖4顯示了孔洞匯合損傷度與孔洞距離之間的對應(yīng)關(guān)系。綜合分析圖3～4和公式(2)可知，孔洞匯合是損傷、孔洞相對大小以及孔洞間距離綜合影響的結(jié)果。對于材料性質(zhì)、應(yīng)力狀態(tài)對孔洞匯合的影響：一方面，損傷與應(yīng)力、應(yīng)變耦合在一起[21]，損傷對孔洞匯合的影響也間接地反映了材料性質(zhì)和應(yīng)力狀態(tài)對孔洞匯合的影響；另一方面，針對強加載情況，直至匯合前孔洞仍基本保持球形形狀，因此，材料的性質(zhì)和應(yīng)力狀態(tài)的影響主要反映在匯合前的孔洞增長過程。

圖3 孔洞相對大小與孔洞匯合臨界損傷度關(guān)系Fig.3 Critical damage for void coalescence vs.relative difference in size between two voids

圖4 孔洞間距離與孔洞匯合臨界損傷度關(guān)系Fig.4 Critical damage for void coalescence vs.distance between two voids

2 孔洞匯合對損傷增長的影響

現(xiàn)有的孔洞匯合判據(jù)(模型)，包括距離判據(jù)或應(yīng)力、應(yīng)變判據(jù)(如Tonks模型和Thomason模型)，都是基于孔洞間材料頸縮過程得到的，描述的是匯合前孔洞的變化情況，而沒有涉及孔洞匯合后對損傷的影響。對于在強動態(tài)拉伸載荷作用下，因匯合前孔洞基本保持球形形狀，且孔洞間距很小，則孔洞間材料頸縮過程對損傷的影響減弱。目前已經(jīng)有大量的文獻研究孔洞間材料頸縮過程對損傷的影響，因此本文中忽略頸縮的影響，主要討論孔洞匯合后對損傷度增長的影響。

孔洞匯合遵循能量守恒原則，即在孔洞匯合前后有：

(3)

對于內(nèi)能的變化，在絕熱條件下有：

(4)

式中：e、p、v分別表示單位體積的內(nèi)能、壓力和材料的相對比容。因基體材料不可壓假設(shè)，并且假設(shè)孔洞匯合并沒有改變材料內(nèi)部的孔隙度，因此有：

即孔洞匯合時內(nèi)能守恒。

此外，針對單一的空心球殼，設(shè)r0為基體材料內(nèi)部的Lagrange坐標，相應(yīng)的r為Euler坐標，a0、α0為初始孔洞半徑和初始孔隙度，則根據(jù)不可壓縮假設(shè)有[21]：

(5)

(6)

則其動能可以表示為：

(7)

損傷材料內(nèi)部含有大量不同大小的孔洞，不妨將其等效為不同大小的空心球殼，且每一個空心球殼的內(nèi)外徑之比相同，即α和α0相同，這樣不僅方便損傷的計算，而且可以間接地考慮孔洞之間的相互作用[22-23]。因孔洞匯合前后α、α0和基體材料的密度ρ不變，則根據(jù)動能守恒原則，由公式(7)有：

(8)

3 孔洞匯合影響的數(shù)值分析

對于延性金屬層裂損傷的研究，我們已經(jīng)建立了反映初始損傷及孔洞大小、慣性和材料彈塑性效應(yīng)的層裂損傷物理統(tǒng)計描述方法[22]，同時，基于材料晶粒尺寸與潛在孔洞成核數(shù)之間的關(guān)系，構(gòu)建了一個耦合晶粒尺寸影響的孔洞成核方程[24]。在前期工作的基礎(chǔ)上，我們將孔洞匯合的影響引入到已有的層裂損傷模型中，即在計算損傷演化過程中，根據(jù)公式(1)，當孔洞間距離d≤dcr時，采用公式(8)調(diào)整孔隙度的增長率，同時結(jié)合相關(guān)文獻對實驗結(jié)果的分析[2]，探討孔洞匯合對層裂損傷演化過程的影響。層裂實驗靶材料分別選用30、60、100和200 μm等4種晶粒尺寸的高純銅，靶厚均為4 mm；飛片材料為石英(Z-cut quartz)，厚度約2 mm，飛片速度約131 m/s。對4種靶材料的實驗結(jié)果進行了數(shù)值模擬，同時，在30 μm晶粒尺寸高純銅的計算模型中考慮了孔洞匯合的影響。計算中所采用的模型參數(shù)和材料參數(shù)均與我們前期的工作[22,24]所采用的參數(shù)相同。

圖5顯示了匯合對孔洞尺寸d增長的影響：因匯合以及匯合導(dǎo)致孔隙度增長率的提高，相對于沒有考慮匯合的計算結(jié)果，孔洞尺寸迅速增長。圖6的計算結(jié)果顯示：雖然孔洞匯合時損傷度沒有增加，但因為匯合引起孔隙度增長率的提高，從而導(dǎo)致了損傷的快速增長。

圖5 孔洞匯合對孔洞增長的影響Fig.5 Influences of void coalescence on void size

圖6 孔洞匯合對損傷發(fā)展的影響Fig.6 Influences of void coalescence on spall damage

圖7左圖顯示了晶粒尺寸、孔洞匯合對自由面速度vf的影響：隨著材料平均晶粒尺寸的增加，自由面速度曲線的回跳點降低，即層裂強度增加，這與P.B.Trivedi等[25]對不同晶粒尺寸高純鋁層裂實驗結(jié)果的分析在定性上一致；同時，對于平均晶粒尺寸為30 μm的材料，考慮孔洞匯合的影響，曲線回跳后的斜率顯著增加，上升的幅度增高，圖7右圖為對應(yīng)的自由面速度曲線實驗結(jié)果：平均晶粒尺寸dg=30、200 μm的損傷材料中存在大量的孔洞匯合現(xiàn)象，相對于沒有發(fā)生孔洞匯合的自由面速度曲線(60、100 μm)，自由面速度曲線回跳后的斜率和上升的幅度增加[2]，關(guān)于孔洞匯合的計算結(jié)果和實驗結(jié)果定性上符合也較好。

圖7 晶粒尺寸、孔洞匯合對自由面速度曲線的影響Fig.7 Influences of void coalescence and grain size on free surface velocities

圖8 孔洞匯合臨界損傷度對自由面速度曲線的影響Fig.8 Influences of critical damage for void coalescence on free surface velocities

表1列出了不同平均晶粒尺寸dg損傷材料內(nèi)部層裂面處孔洞數(shù)N和平均孔洞直徑dv的實驗統(tǒng)計結(jié)果和數(shù)值計算結(jié)果(注：實驗給出的是可觀測到的孔洞數(shù)，而計算給出的是單位體積(cm3)內(nèi)的孔洞數(shù))。實驗觀測結(jié)果顯示：隨著晶粒尺寸的增加，損傷材料內(nèi)部的孔洞數(shù)減少、平均孔洞尺寸增加。計算結(jié)果與實驗定性符合。同時，對實驗觀測結(jié)果和計算結(jié)果的分析表明(30 μm樣品)：孔洞匯合引起孔洞數(shù)減少、平均孔洞尺寸增加。

圖8顯示了選取不同孔洞匯合臨界損傷度D對自由面速度曲線的影響：孔洞匯合發(fā)生越早，材料內(nèi)部損傷發(fā)展越快，即自由面曲線回跳后曲線上升的斜率和幅度越大。

表1 損傷材料內(nèi)部孔洞數(shù)及孔洞大小的統(tǒng)計結(jié)果Table 1 Damage statistics

4 結(jié) 語

耦合孔洞匯合的影響是精細化描述延性金屬材料層裂損傷演化過程的關(guān)鍵。針對強動態(tài)拉伸載荷作用下延性金屬層裂損傷問題，嘗試建立了一個反映材料損傷和材料內(nèi)部孔洞之間幾何信息的孔洞匯合判定方法，從而彌補了現(xiàn)有判據(jù)只考慮單一影響因素的不足。同時，基于孔洞匯合前后能量守恒原理，給出了孔洞匯合對損傷增長影響的關(guān)系式，明確了孔洞匯合引起損傷增長的物理機理。

將材料平均晶粒尺寸影響和孔洞匯合影響引入到層裂損傷模型中，結(jié)合相關(guān)文獻的實驗分析結(jié)果，數(shù)值計算分析結(jié)果顯示：晶粒尺寸越小，損傷材料內(nèi)部成核孔洞越多、平均孔洞尺寸越小，自由面速度回跳點增高(即層裂強度降低)、回跳后速度曲線上升的斜率降低；孔洞匯合引起回跳后速度曲線上升的斜率增加、損傷材料內(nèi)部的孔洞數(shù)減少、平均孔洞尺寸增加。計算結(jié)果與實驗結(jié)果定性上符合較好，從而在一定程度上推進了延性金屬層裂損傷的微細觀物理建模研究。

[1] Thomason P F. A view on ductile-fracture modelling[J]. Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures, 1998,21(9):1105-1122.

[2] Escobedo J P, Dennis-Koller D, Cerreta E K, et al. Effects of grain size and boundary structure on the dynamic tensile response of copper[J]. Journal of Applied Physics, 2011,110(3):033513.

[3] Tvergaard V, Needleman A. Analysis of the cup-cone fracture in a round tensile bar[J]. Acta Metallurgica, 1984,32(1):157-169.

[4] Benzerga A A. Micromechanics of coalescence in ductile fracture[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2002,50(6):1331-1362.

[5] Gao X, Kim J. Modelling of ductile fracture: Significance of void coalescence[J]. International Journal of Solids and Structures, 2006,43(20):6277-6293.

[6] 黃筑平,楊黎明,潘客麟.材料的動態(tài)損傷和失效[J].力學(xué)進展，1993，23(4)：433-467. Huang Zhuping, Yang Liming, Pan Keling. Dynamic damage and failure of materials[J]. Adavances in Mechanics, 1993,3(4):433-467.

[7] Pardoen T, Hutchinson J W. An extended model for void growth and coalescence[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2000,48(12):2467-2512.

[8] Horstemeyer M F, Matalanis M M, Sieber A M, et al. Micromechanical finite element calculations of temperature and void configuration effects on void growth and coalescence[J]. International Journal of Plasticity, 2000,16(7):979-1015.

[9] Seppala E T, Belak J, Rudd R E. Three-dimensional molecular dynamic simulation of void coalescence during dynamic fracture of ductile metals[J]. Physics Review: B, 2005,71(6):064112.

[10] Thomason P F. Ductile spallation fracture and the mechanics of void growth and coalescence under shock loading conditions[J]. Acta Materials, 1999,47(13):3633-3646.

[11] Tonks D L, Zurek A K, Thissell W R. Coalescence rate model for ductile damage in metals[J]. Journal de Physique Ⅳ France, 2003,110:893-898.

[12] Pardoen T, Scheyvaerts F, Tekoglu C, et al. Recent progress in micromechanics-based modeling of void coalescence[C]∥The SEM Annual Conference. New Mexico, Albuquerque, USA, 2009.

[13] Feng J P, Jing F Q, Zhang G R. Dynamic ductile fragmentation and the damage function model[J]. Journal of Applied Physics, 1997,81(6):2575-2578.

[14] Jacques N, Mercier S, Molinari A. Void coalescence in a porous solid under dynamic loading conditions[J]. International Journal of Fravture, 2012,173(2):203-213.

[15] Hosokawa A, Wilkinson D S, Kang J D, et al. Void growth and coalescence in model materials investigated by high-resolution X-ray microtomography[J]. International Journal of Fracture, 2013,181(1):51-66.

[16] Hosokawa A, Wilkinson D S , Kang J D, et al. Onset of void coalescence in uniaxial tension studied by continuous X-ray tomography[J]. Acta Materialia, 2013,61(4):1021-1036.

[17] Llorca F, Roy G. Metallurgical investigation of dynamic damage in tantalum[C]∥13th APS Topical Conference on Shock Compression of Condensed Matter. Portland, Oregon, 2003:589-592.

[18] Lii G T G, Bourne N K, Vecchio K S, et al. Influence of anisotropy (crystallographic and microstructural) on spallation in Zr, Ta, HY-100 steel, and 1080 eutectoid steel[J]. International Journal of Fracture, 2010,163(1):243-258.

[19] Venkert A, Guduru P R, Ravichandran G. Effect of loading rate on fracture morphology in a high strength ductile steel[J]. Journal of Engineering Materials and Technology, 2001,123(3):261-267.

[20] Brown L M, Embury J D. The initiation and growth of void at second phase particles[C]∥3rd International Conference on the Strength of Metals and Alloys. London, England, 1973:164-169.

[21] Johnson J N. Dynamic fracture and spallation in ductile solids[J]. Journal of Applied Physics, 1981,52(4):2812-2825.

[22] Zhang F G, Zhou H Q, Hu J, et al. Modelling of spall damage in ductile materials and its application to the simulation of the plate impact on copper[J]. Chinese Physics: B, 2012,21(9):094601.

[23] Jacques N, Mercier S, Molinari A. Effects of microscale inertiaon dynamic ductile crack growth[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2012,60(4):665-690.

[24] 張鳳國,周洪強.晶粒尺度對延性金屬材料層裂損傷的影響[J].物理學(xué)報,2013,62(16)：164601. Zhang Fengguo, Zhou Hongqiang. Effects of grain size on the dynamic tensile damage of ductile polycrystalline metall[J]. Acta Physica Sinica, 2013,62(16):164601.

[25] Trivedi P B, Asay J R, Gupta Y M, et al. Influence of grain size on the tensile response of aluminum under plate-impact loading[J]. Journal of Applied Physics, 2007,102(8):083513.

(責任編輯 曾月蓉)

Influence of void coalescence on spall evolution of ductile polycrystalline metal under dynamic loading

Zhang Fengguo1, Zhou Hongqiang1, Hu Xiaomian1,2, Wang Pei1, Shao Jianli1, Feng Qijing1

(1.InstituteofAppliedPhysicsandComputationalMathematics,Beijing100094,China;2.KeyLaboratoryofComputationalPhysics,InstituteofAppliedPhysicsandComputationalMathematics,Beijing100088,China)

In the present study, with a view to solve the spallation of ductile metal under intense dynamic loading, we develop a new void coalescence criterion accounting for the damage and void geometry based on the geometric relationship between voids. Following the principle of energy conservation, we reveal the physical mechanism explaining the influence of void coalescence on the growth of damage. The comparison between calculated results and experiment data indicates that void coalescence leads to rapid growth of damage, reduction of void numbers, and increase of average void size.

solid mechanics; spallation; intense dynamic loading; ductile metal; void coalescence; damage evolution

10.11883/1001-1455(2016)05-0596-07

2015-03-11； < class="emphasis_bold">修回日期：2016-01-20

2016-01-20

國家自然科學(xué)基金項目(U1530261,11372052,11572054)；計算物理重點實驗室基金項目； 中國工程物理研究院科學(xué)技術(shù)發(fā)展基金項目(2013B0101013)

張鳳國(1969— )，男，碩士，研究員，zhang_fengguo@iapcm.ac.cn。

O347.3 <國標學(xué)科代碼：13035 class="emphasis_bold"> 國標學(xué)科代碼：13035 文獻標志碼：A國標學(xué)科代碼：13035

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