茅隆森

（三明市實(shí)驗(yàn)小學(xué)，福建 三明 365000）

“數(shù)形結(jié)合思想”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

茅隆森

（三明市實(shí)驗(yàn)小學(xué)，福建 三明 365000）

“數(shù)”與“形”貫穿整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)階段，這種數(shù)學(xué)思想方法對研究數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)具有重要意義，學(xué)生一旦學(xué)會(huì)和掌握將終身受益。文章主要談數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透。

小學(xué)教育；數(shù)學(xué)思想；教學(xué)方法；數(shù)形結(jié)合；教學(xué)滲透

數(shù)形結(jié)合思想指的是將抽象的數(shù)學(xué)語言同直觀的圖形相結(jié)合，既分析其代數(shù)含義又揭示其幾何意義，也就是使抽象思維同形象思維相結(jié)合。數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)［1］。用數(shù)形結(jié)合思想可以更好地把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，將抽象的數(shù)學(xué)語言變?yōu)橹庇^的圖形，使復(fù)雜、抽象的問題簡單化、具體化。

一、滲透數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)形結(jié)合的思想方法，即：以形思數(shù)，幫助學(xué)生記憶；數(shù)形對照，加深知識理解；數(shù)形聯(lián)系、互釋，利于解題。小學(xué)階段是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的啟蒙階段，而數(shù)形結(jié)合思想又是小學(xué)階段學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法，兩者不能截然分開，要做到數(shù)中有形，形中有數(shù)。［2］教師要充分利用教材中的主題圖或重設(shè)教材內(nèi)容，注重引導(dǎo)學(xué)生從“圖形”讀懂信息、并且會(huì)提出問題、分析問題、能找到解決問題的數(shù)量關(guān)系；在教學(xué)時(shí)，教師要留出足夠的時(shí)間和空間給學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生自主探索、合作交流、參與評價(jià)等的學(xué)習(xí)習(xí)慣，從而增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)知，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的意義。

二、指導(dǎo)數(shù)形結(jié)合的方式

數(shù)形結(jié)合的方式，包含“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”兩種情形：“以數(shù)解形”是借助于數(shù)的精確性、程序性和可操作性來闡述說明形的某些屬性；如在幾何知識的教學(xué)、探究過程中，很多內(nèi)容只憑直接觀察較難發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律和特點(diǎn)，就如判斷四邊形的對邊是否相等、兩個(gè)長方形的周長、面積是否相等，這時(shí)就需要用數(shù)來表示［3］?！耙孕沃鷶?shù)”則是借助形的幾何直觀來闡述說明某種概念、數(shù)量之間的關(guān)系：如在教學(xué)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識時(shí)，解決比較復(fù)雜的實(shí)際問題、特別是分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常要借助圖形來幫助分析和理解數(shù)量關(guān)系。

在小學(xué)數(shù)學(xué)的四大領(lǐng)域知識的學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合思想有著非常普遍和廣泛的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在：在數(shù)與代數(shù)中的應(yīng)用，如教學(xué)負(fù)數(shù)時(shí)，借助數(shù)軸的直觀感受負(fù)數(shù)、零、正數(shù)之間的大小關(guān)系，突出正數(shù)、負(fù)數(shù)可以表示相反意義的量，知道每一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上都有一個(gè)點(diǎn)與之一一對應(yīng)；利用面積圖來理解乘法分配律、完全平方公式；幫助學(xué)生更好地理解分?jǐn)?shù)加減法的算理，尤其是異分母分?jǐn)?shù)加減法，可以結(jié)合圖示將平均分的份數(shù)不同（也就是分?jǐn)?shù)單位不同的分?jǐn)?shù)）的圖形，轉(zhuǎn)化為份數(shù)相同的圖形。在圖形與幾何中的應(yīng)用，如教學(xué)三角形的面積時(shí)，先讓學(xué)生用兩個(gè)完全相同的三角形來拼擺出已經(jīng)會(huì)求面積的圖形，再通過演示課件、討論交流、得出結(jié)論：①兩個(gè)完全相同的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形。②一個(gè)三角形的面積等于拼成的平行四邊形面積的一半。③拼成平行四邊形的底與三角形的底相等，高與三角形的高也相等。從而推導(dǎo)出一個(gè)三角形面積等于拼成平行四邊形面積的一半，即三角形面積=底×高÷2，并加深理解為什么要“÷ 2”。在統(tǒng)計(jì)與概率中的應(yīng)用，如教學(xué)統(tǒng)計(jì)量平均數(shù)時(shí)，結(jié)合主題圖示使學(xué)生更好地理解求平均數(shù)的方法之一“移多補(bǔ)少”。

另外，統(tǒng)計(jì)圖本身就體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，統(tǒng)計(jì)圖能直觀地表示出抽象的、枯燥的數(shù)據(jù)，便于師生進(jìn)行分析判斷和做出決策。在綜合與實(shí)踐中的應(yīng)用，如教學(xué)“打電話”一課時(shí)，通過畫圖的方式，使學(xué)生找到打電話的最優(yōu)方法，培養(yǎng)學(xué)生借助圖形解決問題。

三、強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用

在日常的教學(xué)中，教師應(yīng)注重在教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)方法、教學(xué)手段等諸多方面對學(xué)生加以培養(yǎng)和訓(xùn)練，使之逐漸養(yǎng)成用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的習(xí)慣，這樣才能使學(xué)生真正發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，使學(xué)生的形象思維能力和抽象邏輯思維能力在訓(xùn)練中不斷提高。

典型案例一：教學(xué)等差數(shù)列1、3、5、7、…之和與正方形數(shù)的關(guān)系時(shí)，可以先讓學(xué)生計(jì)算1、1+3、1+3+5、1+3+5+7、1+3+5+7+9…的得數(shù)，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)加數(shù)的規(guī)律、得到和的規(guī)律都是“平方數(shù)”，再通過用圖形來表示數(shù)的規(guī)律，達(dá)到理解“平方數(shù)”和“正方形數(shù)”的含義。使學(xué)生發(fā)現(xiàn)每個(gè)正方形圖中都隱藏著一個(gè)算式，即1+3+5+…+（2n-1）的和等于n的平方。

典型案例二：在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加法后可以設(shè)計(jì)練習(xí)，求出等比數(shù)列1/2+1/4+1/8+1/16+1/32的和。

常規(guī)解法：利用通分的方法統(tǒng)一分母后，按分?jǐn)?shù)加法的法則進(jìn)行計(jì)算的。

數(shù)形結(jié)合解法：先畫一個(gè)大正方形（也可用圓形圖和線段圖）來表示“1”，在圖中分別表示出各分?jǐn)?shù)，可以通過圖形來解決。

從圖中可以直觀地看出：1/2+1/4+1/8+1/16+1/ 32=1-1/32=31/32。

讓學(xué)生在潛移默化中感悟數(shù)與形的完美結(jié)合，學(xué)會(huì)根據(jù)題意畫圖，幫助理解題目的意思，從而增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的興趣。

典型案例三：用兩個(gè)形狀和大小相同的長方體茶葉盒來拼搭包裝成一包，表面積將怎樣變化？怎樣包裝最省包裝紙？

常規(guī)解法：一般情況下先讓學(xué)生利用學(xué)具進(jìn)行動(dòng)手操作，學(xué)生拼出了三種包裝方法，再要求學(xué)生通過計(jì)算比較表面積的大小，從而找出怎樣包裝最省包裝紙的方案。

數(shù)形結(jié)合解法：先引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、交流幾個(gè)問題：①有幾種拼法？拼成的大長方體表面積怎么變化？②每種拼法分別減少幾個(gè)面？是哪幾個(gè)面？③每種拼法減少的表面積一樣嗎？④哪種拼法的表面積最?。恳龑?dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律：不管怎樣拼，每次都會(huì)減少兩個(gè)長方形面的面積；但不同的拼法減少的面積不一樣。再引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)思想思考，不用具體數(shù)量的計(jì)算，其方法是：設(shè)長方體的長、寬、高分別為 a、b、h（a＞b＞h）只要給出三個(gè)數(shù)的大小順序即可。首先讓學(xué)生明確，求怎樣包裝最省包裝紙？就是求拼搭后的大長方體的表面積最小。拼搭后大長方體的表面積的大小，取決于拼搭在一起時(shí)減少的兩個(gè)面的面積之和的大小，即拼搭重疊的面越大，減少的面積就會(huì)越大，所拼成的大長方體的表面積就越小。反之拼搭重疊的面越小，拼成的大長方體的表面積就越大。根據(jù)已知條件知道：ab＞ah＞bh，最省包裝紙的包裝是拼后大長方體的表面積為：S=4（ab+bh+ah）-2ab或S=2ab+4bh+4ah。

經(jīng)過在教學(xué)中、在解答問題時(shí)長期的培養(yǎng)和訓(xùn)練，學(xué)生可以養(yǎng)成運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的習(xí)慣，這有利于豐富表象，引發(fā)聯(lián)想，啟迪思維，拓寬思路，迅速找到解決問題的方法，從而提高學(xué)生的思維能力、分析能力和解決數(shù)學(xué)問題的能力，為學(xué)生長遠(yuǎn)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)［3］。正如我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)指出的——“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微?！睌?shù)形結(jié)合思想既是數(shù)學(xué)教師一種常用的教學(xué)方法，也是學(xué)生一種解決問題非常有效的思想方法。

［1］夏俊生.數(shù)學(xué)思想方法與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)［M］.南京：河海大學(xué)出版社，1998（12）.

［2］田慧生，李如密.教學(xué)論［M］.石家莊：河北教育出版社，1999（01）.

［3］張新愛.小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思想方法［J］.教育研究論壇，2011（13）.

G622

A

1673-9884（2016）05-0067-02

2016-04-06

茅隆森（1968-），男，福建沙縣人，三明市實(shí)驗(yàn)小學(xué)一級教師。