王　佩　　祝　俊　　唐　斌(電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院　成都　611731)

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偽碼-線性調(diào)頻復(fù)合信號(hào)參數(shù)估計(jì)理論性能分析

王佩*祝俊唐斌
(電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院成都611731)

摘要：針對(duì)偽碼-線性調(diào)頻復(fù)合信號(hào)參數(shù)估計(jì)的理論性能評(píng)價(jià)問題，該文分析了分步估計(jì)方法對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響，給出了較高信噪比時(shí)分步估計(jì)方法的理論近似性能；推導(dǎo)了高斯白噪聲環(huán)境中偽碼-線性調(diào)頻信號(hào)參數(shù)無偏估計(jì)的修正克拉美-羅下限(MCRLB)的解析表達(dá)式。利用偽碼序列的統(tǒng)計(jì)特征推導(dǎo)出起始頻率、調(diào)制斜率、初始相位及碼元寬度參數(shù)聯(lián)合估計(jì)的修正Fisher信息矩陣，從而得到各參數(shù)估計(jì)的MCRLB。對(duì)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析，并通過數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，證明了該理論下限的有效性。

關(guān)鍵詞：參數(shù)估計(jì)；偽碼-線性調(diào)頻復(fù)合信號(hào)；分步估計(jì)法；修正克拉美-羅限

1　引言

偽碼-線性調(diào)頻(PRBC-LFM)復(fù)合信號(hào)兼具偽碼信號(hào)和線性調(diào)頻信號(hào)兩種信號(hào)的優(yōu)點(diǎn)[1]，在雷達(dá)、通信及引信等領(lǐng)域中均有應(yīng)用[2-5]。研究非合作環(huán)境中PRBC-LFM復(fù)合信號(hào)的參數(shù)估計(jì)問題對(duì)電子偵察具有重要意義。

對(duì)PRBC-LFM復(fù)合信號(hào)的參數(shù)估計(jì)研究已有部分文獻(xiàn)提及[6-9]。該類復(fù)合信號(hào)參數(shù)估計(jì)常用一種分步估計(jì)方法：首先平方消除偽碼信息，進(jìn)而估計(jì)線性調(diào)頻參數(shù)，然后解線性調(diào)頻得到相位編碼信號(hào)估計(jì)碼速率。不同算法之間的區(qū)別在于選取的常規(guī)信號(hào)參數(shù)估計(jì)算法不同[7-9]。然而在性能分析方面，現(xiàn)有文獻(xiàn)僅從仿真實(shí)驗(yàn)的角度給出算法均方根誤差的大小以證明其算法的有效性，并未給出分步估計(jì)算法的理論性能，也未給出一種類似于克拉美-羅下限(CRLB)的理論評(píng)價(jià)工具。當(dāng)信號(hào)中存在數(shù)字調(diào)制如二相編碼調(diào)制成分的時(shí)候，信號(hào)參數(shù)估計(jì)的CRLB難以解析推導(dǎo)，目前文獻(xiàn)中多使用均方根誤差來說明其性能[10，11]。

由于數(shù)字調(diào)制存在時(shí)，信號(hào)參數(shù)估計(jì)的CRLB難以解析推導(dǎo)。文獻(xiàn)[12]通過簡化CRLB推導(dǎo)過程中的一個(gè)條件概率密度計(jì)算，提出了單個(gè)參數(shù)估計(jì)的修正克拉美-羅下限(MCRLB)的概念，并將其用于合作通信中部分參數(shù)的估計(jì)；文獻(xiàn)[13]在此基礎(chǔ)上將MCRLB擴(kuò)展為多個(gè)信號(hào)參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)問題，通過Fisher信息矩陣的推導(dǎo)得到了各參數(shù)聯(lián)合估計(jì)的下限；文獻(xiàn)[14]給出了相位編碼信號(hào)在升余弦脈沖和矩形脈沖兩種情況下碼元寬度估計(jì)的MCRLB；文獻(xiàn)[15]討論了未知數(shù)字調(diào)制的連續(xù)相位調(diào)制信號(hào)參數(shù)估計(jì)的MCRLB，并對(duì)比了參數(shù)的單獨(dú)估計(jì)與聯(lián)合估計(jì)的區(qū)別；文獻(xiàn)[16]推導(dǎo)了基于全球移動(dòng)通信系統(tǒng)的多基地被動(dòng)雷達(dá)探測(cè)目標(biāo)的參數(shù)誤差的MCRLB；文獻(xiàn)[17]將MCRLB用于PRBC-LFM復(fù)合調(diào)制雷達(dá)信號(hào)的參數(shù)估計(jì)，得到了各參數(shù)單獨(dú)估計(jì)時(shí)的MCRLB，但未考慮多調(diào)制參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)問題。

本文針對(duì)高斯白噪聲環(huán)境中PRBC-LFM復(fù)合信號(hào)多參數(shù)聯(lián)合估計(jì)問題，首先分析了分步估計(jì)對(duì)信號(hào)參數(shù)估計(jì)的影響，然后通過合理假設(shè)推導(dǎo)了各參數(shù)估計(jì)的修正Fisher信息矩陣，從而得到參數(shù)聯(lián)合估計(jì)的MCRLB，并通過數(shù)值仿真與已有參數(shù)估計(jì)算法性能進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了理論下限的有效性。

2　PRBC-LFM分步估計(jì)方法性能

針對(duì)PRBC-LFM復(fù)合信號(hào)，文獻(xiàn)[7～9]選取的參數(shù)估計(jì)方法均基于一種分步估計(jì)方法。其框圖如圖1所示。

圖1　分步估計(jì)算法流程

從估計(jì)流程中可以看出，此類方法對(duì)起始頻率、調(diào)制斜率的估計(jì)受平方運(yùn)算的影響，對(duì)碼速率的估計(jì)受到解線性調(diào)頻誤差的影響。

2.1 平方運(yùn)算對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響

設(shè)具有N點(diǎn)觀測(cè)樣本的離散數(shù)字信號(hào)模型為

其中，{w(n)}為方差σ2的獨(dú)立同分布復(fù)高斯白噪聲隨機(jī)變量；為待估計(jì)信號(hào)，A為信號(hào)幅度，φ(n)為n時(shí)刻的信號(hào)相位。信噪比為。對(duì)信號(hào)進(jìn)行平方運(yùn)算，得到

平方后的噪聲序列包含兩部分，分別設(shè)為v1(n)和v2(n)，則有

根據(jù)w(n)的性質(zhì)可知：

其中v1(n)服從高斯分布；v2(n)實(shí)部為兩個(gè)相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量的平方差構(gòu)成的新隨機(jī)變量，虛部為這兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的積，其總的概率密度分布較為復(fù)雜；v(n)為兩種不同分布噪聲序列的和。此時(shí)信號(hào)的信噪比為

由式(7)可以看出，相比于平方前的信噪比，平方后的信噪比至少有4倍也即6 dB的降低，該結(jié)論也可通過頻域方法得出[18]。

由文獻(xiàn)[7～9]的結(jié)論可知，分步估計(jì)算法通常在信噪比優(yōu)于2 dB時(shí)估計(jì)誤差才可能收斂。此時(shí)，平方后的噪聲序列中v1(n)為主要成分，其占據(jù)噪聲總功率的比例為

根據(jù)式(8)可知，當(dāng)信噪比較高時(shí)，高斯分布的噪聲占據(jù)噪聲的主要成分。因此，在較高信噪比時(shí)，復(fù)合信號(hào)分步估計(jì)法對(duì)調(diào)頻參數(shù)的估計(jì)性能可以近似為高斯噪聲中的線性調(diào)頻參數(shù)估計(jì)。此時(shí)參數(shù)的估計(jì)下界分別為[19]

2.2 解線性調(diào)頻對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響

解線性調(diào)頻運(yùn)算的目的是將信號(hào)中的線性調(diào)頻成分通過重構(gòu)消除掉，以方便后續(xù)處理。此過程并不改變編碼信號(hào)的調(diào)制參數(shù)，且噪聲解線性調(diào)頻后依然是均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲，因此從理論上講也不會(huì)對(duì)相位編碼信號(hào)的參數(shù)估計(jì)性能產(chǎn)生影響。

綜上，PRBC-LFM復(fù)合信號(hào)的分步估計(jì)對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響主要由平方運(yùn)算產(chǎn)生。平方導(dǎo)致了至少6 dB的信噪比損失；在較高信噪比時(shí)，平方后的噪聲序列可以假設(shè)為均值為0的高斯隨機(jī)序列。

3　PRBC-LFM信號(hào)估計(jì)的MCRLB

3.1 信號(hào)模型與基本假設(shè)

設(shè)I(u)為CRLB對(duì)應(yīng)的Fisher信息矩陣，則

由文獻(xiàn)[13]可知，如果干擾向量v中存在未知數(shù)字調(diào)制或者非高斯噪聲成分，則其概率密度函數(shù)

通常難以解析計(jì)算，從而I(u)難以解析計(jì)算。此時(shí)經(jīng)典的CRLB雖然存在，卻難以解析給出。

從而給出了修正克拉美-羅下限：

由于計(jì)算時(shí)對(duì)概率密度分布的簡化，導(dǎo)致了MCRLB通常要比CRLB松弛。也即

但文獻(xiàn)[13]指出，很多實(shí)際情況下，MCRLB與CRLB是非常接近的，當(dāng)干擾向量v為確定已知參數(shù)且觀測(cè)時(shí)間充分長時(shí)，二者相等。因此在CRLB難以給出的情況下，利用MCRLB對(duì)算法的估計(jì)性能進(jìn)行評(píng)價(jià)具有重要意義。

針對(duì)式(1)的離散模型，設(shè)其中復(fù)合信號(hào)模型為

式中幅度A為常數(shù)，則碼元寬度近似采樣點(diǎn)數(shù)D、初始相位θ0、起始頻率f0、和調(diào)制斜率α等調(diào)制參數(shù)構(gòu)成待估計(jì)參數(shù)向量；未知隨機(jī)離散調(diào)制序列及噪聲功率σ2構(gòu)成干擾參數(shù)向量; g(n)為偽碼信號(hào)一個(gè)子脈沖的矩形包絡(luò)。

3.2 修正的Fisher信息矩陣計(jì)算

根據(jù)信號(hào)模型，可知條件概率密度函數(shù)

因此，修正的Fisher信息矩陣IM(u)的元素為

3.2.1對(duì)角元素計(jì)算考慮p=q時(shí)，有

則通過計(jì)算和化簡可以得到

同理，當(dāng)q =4，1，2，3

p =時(shí)，有

這表明，在基本假設(shè)成立情況下，碼元寬度的估計(jì)與起始頻率、調(diào)制斜率以及相位無關(guān)。

當(dāng)p≠4且q≠4時(shí)，分別可以得到

第1行第3列和第3行第1列元素為

第2行第3列和第3行第2列元素為

綜上，參數(shù)聯(lián)合估計(jì)的修正Fisher信息矩陣為

式中的3階方陣Iup為

對(duì)矩陣求逆可以得到

則各參數(shù)聯(lián)合估計(jì)的MCRLB結(jié)果為

選用歸一化均方根誤差(NRMSE)表征算法性能，對(duì)各參數(shù)的MCRLB進(jìn)行歸一化分析。由于要與文獻(xiàn)[7]估計(jì)性能進(jìn)行對(duì)比，故只考慮起始頻率、調(diào)制斜率和碼元寬度等參數(shù)。

設(shè)樣本數(shù)據(jù)的真實(shí)起始頻率為fc，調(diào)制斜率為K，碼元寬度為Td，采樣頻率為fs，則有，，則真實(shí)值估計(jì)的下限為

記均方根誤差意義下的歸一化標(biāo)準(zhǔn)差為std，則有

4　數(shù)值仿真與分析

選取具有代表性的文獻(xiàn)[7]中的估計(jì)方法進(jìn)行仿真，并與本文分析得到的分步估計(jì)得到的起始頻率、調(diào)制斜率的理論性能以及MCRLB的理論結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

實(shí)驗(yàn)采取與文獻(xiàn)[7]仿真實(shí)驗(yàn)類似的參數(shù)設(shè)置，但為了體現(xiàn)偽碼特性，每次Monte Carlo試驗(yàn)中將隨機(jī)產(chǎn)生一組偽碼序列。具體參數(shù)為：線性調(diào)頻初始頻率為16 MHz，信號(hào)脈寬10 μs，調(diào)制斜率1012Hz/s；偽碼速率為2 MHz，每次產(chǎn)生20個(gè)碼元長度的數(shù)據(jù)；信號(hào)采樣率為100 MHz，F(xiàn)FT點(diǎn)數(shù)為1024，滑動(dòng)求和點(diǎn)數(shù)為20；噪聲環(huán)境為高斯白噪聲；Monte Carlo試驗(yàn)次數(shù)為500。

起始頻率及調(diào)制斜率估計(jì)性能如圖2所示。由于分步估計(jì)算法在2 dB以上信噪比時(shí)估計(jì)誤差收斂，根據(jù)2.1節(jié)的分析可知，該理論界在噪聲收斂時(shí)可近似作為估計(jì)下限。

由圖2可知，在2～10 dB信噪比范圍內(nèi)，起始頻率估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差約為5～12倍的MCRLB，調(diào)制斜率估計(jì)的NRMSE約為2～4倍的MCRLB。假設(shè)參數(shù)的CRLB可以得到，則根據(jù)式(16)，其應(yīng)位于分步估計(jì)近似下限曲線與MCRLB曲線之間，因此可以推測(cè)此時(shí)的起始頻率與調(diào)制斜率估計(jì)的MCRLB已經(jīng)接近CRLB。

圖 2　參數(shù)估計(jì)性能對(duì)比

碼元寬度估計(jì)結(jié)果如圖3所示。由圖3可知，分步算法的碼元寬度估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差約為10～20倍的MCRLB。同理，由于經(jīng)典的CRLB應(yīng)位于MCRLB與分步算法性能曲線之間，可以推測(cè)此時(shí)復(fù)合信號(hào)碼元寬度估計(jì)的MCRLB已經(jīng)接近于CRLB。

圖 3　碼元寬度估計(jì)性能

另一方面，也可以看出分步估計(jì)算法估計(jì)性能在信噪比高于2 dB時(shí)趨于穩(wěn)定。這和文獻(xiàn)[7]中分步估計(jì)算法選用的參數(shù)設(shè)置有關(guān)。在起始頻率和調(diào)制斜率估計(jì)時(shí)，使用了FFT系數(shù)迭代插值算法，其迭代終止條件導(dǎo)致了算法的固有誤差。而碼元寬度估計(jì)時(shí)使用了常規(guī)的自相關(guān)算法和求倒數(shù)運(yùn)算，其估計(jì)精度也有一定誤差。故算法參數(shù)的設(shè)置和子算法的選取導(dǎo)致誤差下降到一定程度后，算法性能隨著信噪比的提升基本維持不變。

從理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)可以看出，復(fù)合信號(hào)參數(shù)估計(jì)的MCRLB作為估計(jì)算法的性能評(píng)價(jià)工具是合理和有效的。另一方面，目前PRBC-LFM復(fù)合信號(hào)參數(shù)的分步估計(jì)方法尚存在兩方面的問題：一方面在信噪比低于2 dB時(shí)如何使算法估計(jì)誤差快速收斂上沒有文獻(xiàn)涉及；另一方面，在高信噪比時(shí)分步估計(jì)方法的理論性能與白噪聲中參數(shù)無偏估計(jì)的修正理論下限仍有一定偏離。

5　結(jié)束語

針對(duì)PRBC-LFM復(fù)合信號(hào)參數(shù)估計(jì)的性能分析問題，從理論角度定量分析了分步估計(jì)方法的理論性能，并通過合理假設(shè)，首次導(dǎo)出了該復(fù)合信號(hào)參數(shù)聯(lián)合估計(jì)的修正Fisher信息矩陣，在此基礎(chǔ)上得到了各參數(shù)估計(jì)的修正的克拉美-羅下限，通過數(shù)值仿真試驗(yàn)對(duì)比了已有文獻(xiàn)的估計(jì)結(jié)果，證明了所得理論下限的有效性和合理性，為偽碼-線性調(diào)頻復(fù)合信號(hào)的參數(shù)估計(jì)方法性能評(píng)價(jià)提供了一種理論工具。尋找更低信噪比下的參數(shù)有效估計(jì)方法及高信噪比時(shí)誤差更小的參數(shù)估計(jì)方法是后續(xù)有待開展的工作。

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王佩：男，1988年生，博士生，從事雷達(dá)信號(hào)偵察方面研究.

?？。耗?，1974年生，博士后，從事電子對(duì)抗方面研究.

唐斌：男，1963年生，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事電子對(duì)抗與雷達(dá)抗干擾技術(shù)方面研究.

Theoretical Performance Analysis for Parameter Estimation of Hybrid Modulated Signal Combining Pseudo-random Binary-phase Code and Linear Frequency Modulation

WANG PeiZHU JunTANG Bin
(School of Electronic Engineering，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu 611731，China)

Abstract:According to the theoretical performance for parameter estimators of a signal combined Pseudo-Random Binary-phase Code(PRBC)and Linear Frequency Modulation(LFM)，this paper analyzes the impact of step-bystep method on the signal estimation problem and gives the analytical expressions of Modified Cramer-Rao Lower Bound(MCRLB)for parameter estimation of PRBC-LFM signal in white Gaussian noise.Using the statistical characteristics of PRBCs，the Fisher’s information matrix is derived for parameters including initial frequency，chirp rate，initial phase and code width.The MCRLBs are therefore calculated.The MCRLBs are analyzed by comparison and the validity is demonstrated by numerical simulation experiments.

Key words:Parameter estimation; Pseudo-Random Binary-phase Code and Linear Frequency Modulation(PRBCLFM)signal; Step-by-step estimation method; Modified Cramer-Rao Lower Bound(MCRLB)

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(61172116)

*通信作者：王佩wangpei1128@foxmail.com

收稿日期：2015-05-06；改回日期：2015-10-09；網(wǎng)絡(luò)出版：2015-11-18

中圖分類號(hào)：TN971.+1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-5896(2016)02-0472-06

DOI:10.11999/JEIT150523

Foundation Item:The National Natural Science Foundation of China(61172116)