數(shù)值積分的基本思想、術(shù)語及Maltab實現(xiàn)

楊亞輝,李志平,齊圓華（海南軟件職業(yè)技術(shù)學(xué)院,海南　瓊海　571400）

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數(shù)值積分的基本思想、術(shù)語及Maltab實現(xiàn)

楊亞輝,李志平,齊圓華
（海南軟件職業(yè)技術(shù)學(xué)院,海南瓊海571400）

摘 要：介紹了數(shù)值積分的基本思想、術(shù)語及MATLAB實現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：數(shù)值積分，Newton-Cotes公式；高斯求積法；自適應(yīng)求積法；MATLAB

1　引語

用牛頓-萊布尼茲公式（Newton-leibniz formula）計算定積分在理論和解決實際問題中有很大的作用，但求解積分仍有很多困難。如涉及的初等函數(shù)的積分沒有或很難找到其有由初等函數(shù)構(gòu)成的解析表達(dá)式?；虮环e函數(shù)沒有函數(shù)表達(dá)式，只是一些由實驗數(shù)據(jù)或計算機(jī)的模擬輸出得到的函數(shù)關(guān)系（表格或圖形）。因此，探討近似計算的數(shù)值積分方法是有明顯的實際意義的。

在這些情況下, 必須對定積分

的值進(jìn)行數(shù)值逼近（近似），這就是數(shù)值積分（numerical integration）。我們來看兩個例子：

例1：制造橢圓管

用平板材料制造橢圓管。為構(gòu)成一個軸長分別為a和b的橢圓，首先要找一個寬為L=2 aE的薄板，其中E是完全橢圓的積分

k2=。E沒有初等函數(shù)的理論分析表達(dá)式。

例2：用數(shù)值積分求誤差函數(shù)

誤差函數(shù)erf( x )

常出現(xiàn)在統(tǒng)計應(yīng)用和一些拋物線類的微分方程的解中。方程（1）的積分也不能通過解析的辦法求值。數(shù)值積分在積分的解析式已知時也很有用，但是這樣做計算起來會有困難或不方便。對數(shù)值積分方法的選擇多少與f( x )的性質(zhì)或類型有關(guān)。所有的數(shù)值積分方法都要求f( x )可以在區(qū)間的任意x上求值。如果f( x )有奇異點（即對區(qū)間上的某些x*來說有，就要特別警惕。到目前為止，還沒有任何一種數(shù)值積分法可以適用于所有的積分。

2　數(shù)值積分的基本思想和術(shù)語

數(shù)值積分也叫數(shù)值求積（numerical quadrature）。術(shù)語“求積”的本意是“求與某個平面圖形有相同面積的正方形的邊長”。這表明了數(shù)值積分的一個基本的計算策略：考慮定積分，

在積分所限定的區(qū)間中，被積函數(shù)f( x )的插值式在n個點處求值，這些點稱為節(jié)點（node）。節(jié)點用xi表示，并假設(shè)它們有序且各不相同（即。

已經(jīng)知道，分段多項式的插值比單個多項式的全局插值更加優(yōu)秀，這個結(jié)論對數(shù)值積分方法也適用。將整個閉區(qū)間[a , b ]劃分為N個小段（panel）。在每個小段上對f( x )進(jìn)行低階多項式逼近。對每個小段上的逼近多項式積分時，就得到基本公式（basic rule）：)。

基本公式涉及用足夠的(x , f ( x ))對來定義分段多項式的某一段，將此公式應(yīng)用到N個小段并把結(jié)果相加得到了復(fù)合公式（composite rule），或稱為擴(kuò)展公式（extended rule）：

截斷誤差可用代數(shù)精度衡量，代數(shù)精度越高，誤差越??；反之誤差越大。代數(shù)精度是用來衡量數(shù)值積分公式近似程度的辦法，如果是一個次數(shù)不超過m的代數(shù)多項式，（2）式等號成立；而當(dāng)是一個m + 1次多項式時，（3）式不能精確成立，則稱（3）式的代數(shù)精度為m。

在一個小段中節(jié)點的位置和數(shù)目決定了基本公式的很多重要特性。當(dāng)節(jié)點均勻分布時，所用的積分公式就叫做Newton-Cotes公式。相反，高斯求積公式要選擇作為正交多項式零點的節(jié)點。高斯求積公式的截斷誤差比相同數(shù)目節(jié)點的Newton-Cotes公式的要小得多。雖然高斯求積公式難于推導(dǎo)，但是在程序中實現(xiàn)時不會有明顯的困難。

自適應(yīng)（adaptive）數(shù)值積分法通過估計截斷誤差來決定是否需要更密的分布節(jié)點，從而達(dá)到指定精度。若需要增加節(jié)點，函數(shù)會在新節(jié)點處重新求值，截斷誤差也要重新估計。

3　數(shù)值積分的Maltab實現(xiàn)

MATLAB符號數(shù)學(xué)工具箱(Symbolic Math Toolbox)求數(shù)值積分的常用命令如下：

矩形公式命令sum(y) %輸出一個向量y的分量的和，按矩形公式計算積分的近似值。

梯形公式命令trapz(x,y)%輸入向量x=[x0,x1,…,xn]，輸出同維數(shù)的向y=[f0,f1,… ,fn],按梯形公式計算積分近似值。

梯形公式命令trapz(y)%按梯形公式計算積分，但取步長h=1.辛普森公式quad('fun',a,b)%計算函數(shù)fun從a到b的定積分,自動選擇步長，誤差為10-3。

辛普森公式quad8('fun',a,b)%用高精度計算，效果比quad更好。

參考文獻(xiàn)：

[1]Gerala Reckttenwald（美）.數(shù)值方法和Mtalab實現(xiàn)與應(yīng)用[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社.

[2]王能超.計算方法簡明教程[M].北京:高等教育出版社,2004.

[3]姜健飛.數(shù)值分析及其Matlab實驗[M].北京:科學(xué)出版社,2004.

[4]黃明游.數(shù)值計算方法[M].北京:科學(xué)出版社,2005.

基金項目：海南省自然科學(xué)基金資助項目（編號：112008）

DOI :10.16640/j.cnki.37-1222/t.2016.01.250