沈敏鑒

摘 要：學(xué)習(xí)應(yīng)該是學(xué)生自主建構(gòu)知識的過程，APOS理論指導(dǎo)下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)強調(diào)學(xué)習(xí)過程中數(shù)學(xué)活動的重要性，倡導(dǎo)教師構(gòu)建直觀的概念學(xué)習(xí)背景，引導(dǎo)學(xué)生在實踐、思維運算和反思抽象等一系列數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中實現(xiàn)數(shù)學(xué)概念形式定義和本質(zhì)理解的統(tǒng)一，豐富學(xué)生構(gòu)建概念的過程，提升內(nèi)化知識的效率.

關(guān)鍵詞：APOS理論；自主建構(gòu)；高中數(shù)學(xué)概念

概念是數(shù)學(xué)知識大廈的主框架，那么我們該如何有效實施高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)呢？從數(shù)學(xué)教學(xué)觀和新課程教學(xué)理念來看，我們的概念教學(xué)必須擺正學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性地位，將數(shù)學(xué)概念教學(xué)視為學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)以及體驗建立概念過程的一個探索歷程，即充分認(rèn)識到數(shù)學(xué)教學(xué)是“數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)建構(gòu)的教學(xué)”. 那么，如何幫助學(xué)生建構(gòu)知識呢？筆者發(fā)現(xiàn)APOS理論非常適合我們當(dāng)下的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實踐，現(xiàn)就該話題結(jié)合函數(shù)教學(xué)談幾點筆者的看法，望能有助于課堂教學(xué)實踐.

APOS：一種基于建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的教學(xué)模式

何為APOS？APOS教學(xué)理論起源于對皮亞杰的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“自反抽象”理論進(jìn)行拓展的一種嘗試. APOS教學(xué)模式分為四個階段：（1）A—action（操作或活動）；（2）P—process（過程）；（3）O—object（對象）；（4）S—scheme（圖式）.

筆者對該教學(xué)理論的解讀為，前三個階段是學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，最后圖式是學(xué)生構(gòu)架的學(xué)習(xí)結(jié)果. 只要我們教師能夠科學(xué)地設(shè)置數(shù)學(xué)問題情境和直觀地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念所在的知識背景，學(xué)生經(jīng)過思維的操作、合作探究過程后，必然會對“對象”有較為深刻的認(rèn)識，這三個階段都應(yīng)該是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下主動建構(gòu)和反思的過程，由此為基礎(chǔ)，繼而完成圖式，理順?biāo)鶎W(xué)概念在學(xué)科知識體系中的位置，同時應(yīng)用知識順利地解決問題.

APOS理論指導(dǎo)下的“函數(shù)”概念教學(xué)

結(jié)合APOS理論，下面以函數(shù)概念教學(xué)為例，就如何有效實施操作、過程、對象和圖式4個階段進(jìn)行分析.

第一階段：action階段

action階段即操作（或活動）階段，即將數(shù)學(xué)教學(xué)看成是“數(shù)學(xué)活動”的教學(xué)，在教學(xué)過程中，學(xué)生的操作運算行為是其數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展進(jìn)程中的 基礎(chǔ)性行為.課堂上，學(xué)生用數(shù)學(xué)家的思維投入數(shù)學(xué)問題探究中來，通過活動得到的實際經(jīng)驗來建構(gòu)知識，當(dāng)然，數(shù)學(xué)的實踐性與理化學(xué)科的觀察性實驗有所區(qū)別，數(shù)學(xué)活動和操作更多的是學(xué)生的實際操作演算，或是思維性實驗，即動腦思考提取原有認(rèn)知，通過操作、活動學(xué)生形成反省、被反省的基礎(chǔ)，對新的問題進(jìn)行反省抽象推動概念學(xué)習(xí)本質(zhì)化、直觀化. 從心理學(xué)角度看操作，學(xué)生對于感知到的對象，通過外部刺激對對象再進(jìn)行轉(zhuǎn)換的過程. 如果缺失了學(xué)生的推演和思維性活動，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是缺失思想方法的，那么，學(xué)生習(xí)得的“概念”也必然是無本之木.

我們在函數(shù)概念教學(xué)過程中，需要進(jìn)行一系列的活動（或操作）.

活動1：給學(xué)生提供有現(xiàn)實背景的問題，引導(dǎo)學(xué)生從中建立一種函數(shù)關(guān)系y=2x；

活動2：要求學(xué)生計算出在一個給定點的函數(shù)值，如：1→2，2→4，3→6等等.

上述2個過程即action，通過上述活動，有助于學(xué)生真正地理解函數(shù)的意義.

第二階段：procoss階段

procoss階段是在學(xué)生不斷重復(fù)“活動或操作”的基礎(chǔ)上不斷反思，活動過程和成果不斷地刺激學(xué)生的大腦，繼而完成自身數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)內(nèi)部的心理建構(gòu)，即完成“過程”體驗. 過程階段使得第一階段的操作有了自動呈現(xiàn)的機會和形式，與第一階段相比，該階段不再需要外因的不斷刺激.

在“函數(shù)”這個概念的學(xué)習(xí)過程中，一旦學(xué)生認(rèn)識到“所謂函數(shù)只不過是給定一個不同的數(shù)就會得出相應(yīng)的不同值，而不必再進(jìn)行具體的運算”，其實此時他就已經(jīng)完成從action階段向procoss階段的跨越，即完成過程模式的建構(gòu).

例如，學(xué)生把上文提到的2個活動可以綜合成函數(shù)過程，得到一般地有x→2x，由此不需要外部刺激，學(xué)生可以完成其他各種函數(shù)一般對應(yīng)過程的概括，即x→f（x）.

這個階段，“概念”學(xué)習(xí)變得有操作性、相對直觀，而且思維過程容易遷移到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的其他章節(jié)，仿效學(xué)習(xí)，提高自身的提取信息、分析信息和歸納總結(jié)的能力.

第三階段：object階段

該階段是與前面兩個階段構(gòu)成一個整體的，通過前面兩個階段的探索，學(xué)生已經(jīng)對“對象”有了一定的認(rèn)識，并能夠?qū)⑵渥鳛橐粋€具體的“實體”參與到其他數(shù)學(xué)問題的研究、轉(zhuǎn)化或其他概念操作過程之中. 經(jīng)過該階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生對“概念”有了深刻的認(rèn)識，不僅能夠具體而明確地指出“概念”所具有的各種性質(zhì)，同時將概念用于實施特定的數(shù)學(xué)演算之中.

例如“函數(shù)”的概念，一旦學(xué)生經(jīng)過了object階段形成一個“實體”，那么，學(xué)生的認(rèn)識會自然有所提升，看到函數(shù)“可復(fù)合”、“可微分、積分”，而且可以進(jìn)一步通過這些數(shù)學(xué)演算、操作和過程，逐步地形成更高一級概念.

筆者認(rèn)為作為“object階段”是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的轉(zhuǎn)折點，作為“對象”的概念，學(xué)生的既定性知識目標(biāo)基本上達(dá)成，同時這個概念又作為與更高一級層次之間相聯(lián)系的樞紐，構(gòu)建新概念的最近發(fā)展區(qū)，推動學(xué)生的認(rèn)知有序向前推進(jìn).

第四階段：scheme階段

scheme階段：圖式階段，也常被稱為“概型階段”，是學(xué)生經(jīng)歷了前面3個學(xué)習(xí)階段，將“對象”與自己頭腦中原有的與此相關(guān)聯(lián)的圖式（概念、知識）進(jìn)行整合形成新的圖式的過程. 很顯然，在該階段，學(xué)生的思維和對概念的認(rèn)識狀況超出了對“概念”本身的認(rèn)識，上升到對學(xué)科更大的知識框架和更高的思維層次的認(rèn)識. 該階段學(xué)生對“概念”進(jìn)行更高層次的加工和表征.

例如，學(xué)生通過上述3個階段，對“函數(shù)概念”有了較為全面的理解，此時會將其與頭腦中原有的知識相綜合，形成一種綜合的心理圖式寄存在腦海之中，這種心理圖式是什么呢？筆者認(rèn)為不僅僅是函數(shù)的概念，還應(yīng)該包含完整的定義、具體的函數(shù)實例、函數(shù)抽象和定義的過程、函數(shù)概念與其他概念（如方程、曲線、圖象等）之間的聯(lián)系與區(qū)別等等，如此一來，“函數(shù)”這個概念才能在數(shù)學(xué)知識體系中有血、有肉、有骨頭，占有其特定的位置.

那么，該階段是不是孤立或突然出現(xiàn)的呢？筆者認(rèn)為該階段與前面所講的“object階段”密不可分，數(shù)學(xué)對象、圖式的形成是一種漸進(jìn)的建構(gòu)過程.

在概念教學(xué)中，一個數(shù)學(xué)概念（如本文的例子“函數(shù)”）由第二個階段“過程”到第三個階段“對象”的建立，有時是既困難又漫長的，甚至?xí)霈F(xiàn)思維上的障礙或錯誤，需要學(xué)生經(jīng)歷多次的嘗試和反復(fù)“操作”，才能完成，這個過程是循序漸進(jìn)、螺旋上升的，缺失了這一過程學(xué)生對概念的理解便無從嘆氣，同時“對象”的建立，如何表征呢？筆者認(rèn)為，在學(xué)生建構(gòu)概念、描述對象的過程中，教師的主導(dǎo)性地位是不可缺失的，我們要關(guān)注學(xué)生對“對象”的表征，要提升學(xué)生注意概念文字表征的簡練度、符號表征的準(zhǔn)確性和圖象表征的直觀性，即學(xué)生在頭腦中建立起多維度的，具有直觀結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)概念的形象. 筆者在數(shù)學(xué)教學(xué)中也發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中圖式的形成往往并非是一種自覺的行為，而是一個不知不覺的漸進(jìn)的建構(gòu)過程. 在整個環(huán)節(jié)中，相應(yīng)的操作為圖式的形成提供了必要的基礎(chǔ). 經(jīng)過提煉和拓展，圖式的形成要經(jīng)歷三個階段：單個圖式、多個圖式、圖式的遷移. 單個圖式階段的特點就是只是注意離散的操作、過程和對象，而把具有類似性質(zhì)的其他知識點隔離開來：多個圖式階段就是注意了各個圖式中蘊含的知識點之間的關(guān)系和銜接，這時個體就能把這些知識點組成一個整體；然后只有到了遷移階段，個體才能徹底搞清楚在上一個階段中提到的相關(guān)知識點之間的相互關(guān)系，并建構(gòu)出這些知識點之間的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，形成一個大的圖式.