鄭 俊，王寶壽，陳瑋琪，王軍鋒，李鋒

（1.江蘇大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013；2.中國(guó)船舶科學(xué)研究中心，江蘇無(wú)錫214082）

噴管中氣液兩相混合物流動(dòng)的等熵分析

鄭 俊1，2，王寶壽2，陳瑋琪2，王軍鋒1，李鋒1

（1.江蘇大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013；2.中國(guó)船舶科學(xué)研究中心，江蘇無(wú)錫214082）

文章基于均質(zhì)混合物的等熵和正壓條件，建立了噴管內(nèi)定常氣液兩相流動(dòng)的等熵模型及其微分方程，并因此得到了噴管內(nèi)混合物壓力、體積分?jǐn)?shù)、馬赫數(shù)以及溫度之間的等溫與等熵的解析關(guān)系。解析解表明，氣液質(zhì)量流率之比增加，噴管內(nèi)混合物的溫度變化明顯，而混合物的臨界流動(dòng)特性與滯止點(diǎn)的氣體體積分?jǐn)?shù)有關(guān)。基于以上解析關(guān)系以及連續(xù)性方程得到噴管線型與壓力分布的解析關(guān)系，通過(guò)該關(guān)系可以根據(jù)期望壓力分布逆向設(shè)計(jì)得到噴管線型，或者根據(jù)給定噴管線型求解得到噴管內(nèi)的流動(dòng)。

氣液混合物；等熵流動(dòng)；解析模型；極限流動(dòng)；噴管設(shè)計(jì)

0 引 言

氣液兩相流動(dòng)的應(yīng)用是廣泛的[1-3]，比如在推進(jìn)系統(tǒng)的研制當(dāng)中，就有所謂通氣噴水推進(jìn)[3-4]。水沖壓氣液兩相推進(jìn)[5-7]，金屬水反應(yīng)兩相流推進(jìn)[8-9]，噴霧推進(jìn)[10-11]等多種推進(jìn)方式中都涉及氣液兩相流。兩相流推進(jìn)是水下高速推進(jìn)方式的研究方向，具有水下推進(jìn)傳統(tǒng)方式不具有的優(yōu)點(diǎn)。

在氣液兩相流理論和數(shù)值分析方面，噴管中泡狀流的研究得到了較廣泛的研究。其中Tangren[12]基于等熵條件和正壓模型，簡(jiǎn)單推導(dǎo)了噴管中的氣液兩相流動(dòng)的特性，但其得到的結(jié)果還不足夠簡(jiǎn)潔。而其它的理論分析，還主要集中在等溫模型。Mor[13]基于等溫條件和正壓模型，簡(jiǎn)單推導(dǎo)了管道中的泡狀流動(dòng)模型，但并未給出流動(dòng)參數(shù)滿足的解析關(guān)系?；诘葴啬Ｐ?，Wijngaarden[14]研究過(guò)幅度較小和中等的壓力波在泡狀流中的傳播問(wèn)題，并分析了氣泡大小、波長(zhǎng)、波幅、以及氣泡間距對(duì)壓力波的影響，并指出一維條件下波的傳播方程類似于Korteweg-de Vries方程。Eddington[15-16]較早地研究了氣液兩相的超音速流動(dòng)問(wèn)題，并且導(dǎo)出了無(wú)相對(duì)滑移的氣液兩相流的激波條件。Thang[17]則給出了氣液兩相具有定常相對(duì)滑移速度下的激波條件。針對(duì)水沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)，國(guó)內(nèi)的付英杰[6]和董磊[7]也進(jìn)行了一定的探索。其中付英杰基于Rayleigh氣泡動(dòng)力學(xué)方程求解了噴管中泡狀流動(dòng)等；而董磊基于CFD軟件Fluent中的不可壓縮均質(zhì)混合物模型探討了外懸式水沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的推進(jìn)性能，但兩者對(duì)于噴管中可壓縮泡狀流的解析模型或可壓縮泡狀流的CFD仿真，還未有針對(duì)性地開展過(guò)。

本文基于氣液兩相混合物的等熵條件以及正壓模型，對(duì)噴管中氣液兩相流動(dòng)的基本原理進(jìn)行分析，并且得到了一系列具有顯著物理含義的簡(jiǎn)化關(guān)系式，得到了流動(dòng)的基本微分方程及其相應(yīng)的解析解，最終用于噴管中的流動(dòng)計(jì)算和噴管線型的逆向設(shè)計(jì)。

1 氣液兩相等熵流動(dòng)的基本方程

對(duì)于噴管中的氣液兩相準(zhǔn)一維等熵流動(dòng)分析，基于以下的理論前提：（1）氣液兩相總體是等熵的，但是允許氣液兩相之間存在熱傳遞；（2）氣液兩相沒(méi)有相變；（3）氣液兩相共有壓力且無(wú)相對(duì)速度。需要指出的是，在氣體體積分?jǐn)?shù)過(guò)大的情況下，相對(duì)速度的影響將表現(xiàn)出來(lái)；關(guān)于相對(duì)滑移速度的影響，將在未來(lái)的工作中進(jìn)行。

1.1 氣液兩相等熵流動(dòng)的基本方程

質(zhì)量守恒方程

能量方程（等熵條件）

混合物組成

氣體狀態(tài)方程

馬赫數(shù)定義

等熵聲速定義

其中：物理量U為流速，P為壓力，A為噴管截面積，F(xiàn)為噴管軸向單位長(zhǎng)度上的摩擦力，為混合物質(zhì)量流率，α為氣體體積分?jǐn)?shù)，R為氣體常數(shù)，T為熱力學(xué)溫度，c為聲速，s為混合物熵。其中下標(biāo)a，l分別指氣體與液體。

根據(jù)（1）、（4）式和（5）式可知，如果壓力和溫度以及質(zhì)量流率可知，那么ρ，ρa(bǔ)，α可求，即它們之間并不獨(dú)立。因此如果流量給定,那么ρ，ρa(bǔ)，α都只是壓力P和溫度T的函數(shù)。而（3）式將給出壓力和溫度的關(guān)系，從而最終理論上可以求得混合物密度ρ和壓力P、溫度T的關(guān)系。

1.2 混合物狀態(tài)方程

將（4）式代入（1）式可以獲知

并因而可以得到：

引入氣液質(zhì)量流量之比為常數(shù)

并因而可以得到：

由（12）式可以得到

由（13）式可以得到

將（15）式代入（5）式，并將（14）式隨后代入，就可得到

或

其中

上述（16）式就是泡狀流正壓模型的狀態(tài)方程，需要注意P，Pt都是溫度T的函數(shù)。

1.3 氣液兩相混合物的等熵關(guān)系

等熵聲速需要從等熵關(guān)系導(dǎo)出。因此首先來(lái)研究混合物的等熵關(guān)系。將（3）式展開并寫成

即表明，氣液兩相混合物的總熵為0。由（19）式和（11）式可以得到

由熵增的定義可知

其中：dWa表示因?yàn)闅怏w微元體積變化時(shí)壓力對(duì)外做功；而水的熵增為

水體積不變，其壓力并不對(duì)外做功。將（21a）和（21b）代入到（20）式，可得：

如果氣液兩相為熱平衡，那么兩相的溫度相等

將上式代入（22）式有

又因?yàn)?/p>

將（5）式代入上式有

將（26）式代入（24）式可以得到

因?yàn)橛?/p>

其中

其中

為水和氣體的定容比熱的比值，因?yàn)樗谋葻崛荼葰怏w大很多，所以κ大于1。ω可以認(rèn)為是當(dāng)前噴管內(nèi)的氣液混合后的某個(gè)常數(shù)，它可以表示不同氣液質(zhì)量流率和不同比熱容氣體和液體定?；旌虾蟮男再|(zhì)。那么由（29）式就可方便地得到

這個(gè)式子的形式非常典型。當(dāng)氣體的質(zhì)量流率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于水的質(zhì)量流率時(shí)，那么有

（32）式的形式就退化為純氣體的等熵關(guān)系；在一般的泡狀流動(dòng)中，μ的量級(jí)很小，η是個(gè)接近0的量，這就導(dǎo)致ω接近0，從而使得（32）式右端的值接近1，從而流動(dòng)中溫度幾乎沒(méi)有變化?？梢詫ⅲ?2）式的等熵關(guān)系轉(zhuǎn)化為壓力和密度的關(guān)系。將（5）式代入（32）式，并繼而再將（15）式代入后有

（32）式和（34）式就是氣液混合物的等熵關(guān)系。

1.4 氣液兩相混合物的聲速方程

現(xiàn)在需要根據(jù)壓力和密度的等熵關(guān)系（34）式來(lái)求解聲速方程。對(duì)（34）式兩邊密度求導(dǎo)有

又因?yàn)閷ⅲ?6a），（16b）式兩邊各自相乘，并化簡(jiǎn)就可以得到

定義無(wú)量綱的壓力特性函數(shù)

（35）式就可以簡(jiǎn)化為

將（16a）式變形并寫為

定義虛擬聲速

可以得到

為方便，記

將（42）式代入（41）式可以得到

事實(shí)上由（14）式和（36）式，可以得知

那么聲速（43）式又可以表達(dá)為

注意，ct現(xiàn)在是溫度的函數(shù)。從（45）式可以看到，管道內(nèi)給定氣液混合比的氣液兩相流聲速是與體積分?jǐn)?shù)成反比的。由（6）式和（43）式可以得到

2 基本微分關(guān)系

為了得到流動(dòng)的微分方程，需要得到各變量的微分關(guān)系。因此要建立溫度、密度、壓力和速度之間的微分關(guān)系。由（18）式可知

由（16a）式兩邊取微分并利用（37）式可以得到

同理由（40）式可以得到

同理又由（37）式可以得到

為了進(jìn)一步運(yùn)算的簡(jiǎn)便，考慮將所有的量轉(zhuǎn)換成無(wú)量綱壓力特性函數(shù)Pˉ的微分關(guān)系。于是將（47）式以及（29）式代入上式并化簡(jiǎn)就有

于是將（51）式代入到（47）式和（29）式，可以得到

將（50）式代入（48）式可以得到

由（49）式和（52）式可知

由（44）式可以容易得到

可以很方便地由（1）式得到

也可以很方便地由（46）式得知

將（54）式代入（57）式可以得到

將（53），（58）式代入（56）式，可以得到

3 氣液兩相混合物等熵流動(dòng)微分方程

將（8）～（11）式以及（46）式以及（51），（58）式代入動(dòng)量方程（2），并忽略摩擦力，有

將（60）式代入到（59）式，可以得到

將（44）式和（55）式代入（60）式就可以得到

以上方程組（60）～（62）就是氣液兩相等熵流動(dòng)的基本微分方程組。注意，當(dāng)ω=0時(shí)，由（29）式可知，方程組的形式就完全退化為等溫流動(dòng)的情形。方程組（60）～（62）對(duì)于泡狀流和霧狀流都是近似合適的?，F(xiàn)在讓我們來(lái)進(jìn)一步分析方程組解的情況。將（62）式寫為

或

則，（63a）式進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為

在等溫情形下，即ω=0時(shí)，（65）式或（63a）式可以給出很簡(jiǎn)潔的結(jié)果：

等熵情況下，方程（65）給出的結(jié)果是

其中

為方便起見我們稱之為氣液混合指數(shù)。將邊界條件

也代入到（67）式，定出常數(shù)C，可以得到

這就是氣液兩相流動(dòng)等熵情形下的解析解；注意到（70）式不適用于ε=0或ω=0的情況，也就是不適用于等溫情形。等溫情形下，請(qǐng)采用（66）式進(jìn)行分析。注意到，當(dāng)（69）式中M0≈0時(shí)，該條件則為滯止條件；而一般情況下，（69）式也可以作為入口條件。

4 氣液兩相混合物等熵流動(dòng)特性分析

為方便繼續(xù)分析，讓我們來(lái)考察氣液不同混合條件下，混合指數(shù)ε的取值情況?？梢詮模?0），（68）式發(fā)現(xiàn)對(duì)于特定的氣體和液體（從而它們的定容比熱不變，以及氣體的絕熱指數(shù)γ固定），ε僅是隨氣液質(zhì)量流率比值μ變化的單增函數(shù)，如圖1所示。

圖1 氣液混合物指數(shù)εFig.1 The mixture exponent ε

當(dāng)氣體的質(zhì)量流率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于水的質(zhì)量流率時(shí)，即μ趨近于無(wú)窮大時(shí)，ε趨近于固定值，如圖1中的橫虛線所示，這個(gè)值僅由氣體的絕熱指數(shù)決定。當(dāng)氣液質(zhì)量流率相等，即μ為1時(shí)，ε取值為10-1；對(duì)于泡狀流動(dòng)而言，μ接近的量級(jí)在10-4～10-2之間時(shí)，ε取值僅在10-5～10-3之間。所以對(duì)于泡狀流動(dòng)而言，ε是一個(gè)絕小的量。由于氣體密度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于水，當(dāng)氣體與液體的質(zhì)量流率相當(dāng)甚至小一個(gè)量級(jí)時(shí)，即μ的量級(jí)接近10-1～100之間時(shí)，氣體體積分?jǐn)?shù)會(huì)相當(dāng)大，流態(tài)可能接近霧狀，此時(shí)ε取值僅在10-3～10-1之間。霧狀流動(dòng)的氣液相對(duì)滑移速度比較大，因此本文基于無(wú)相對(duì)滑移的考察，對(duì)于霧狀流動(dòng)，可能誤差會(huì)相對(duì)顯著一些。下文中，我們?cè)诙ㄐ苑治鲋兄唤o定氣液混合物的混合指數(shù)ε，并且始終注意到它對(duì)應(yīng)于某一特定的氣體和液體的質(zhì)量流率比值μ，ε較大時(shí)，對(duì)應(yīng)于μ也取較大的值。

4.1 氣液兩相混合物等熵流動(dòng)溫度變化

有必要來(lái)考察一下，氣液兩相流在噴管中流動(dòng)時(shí)，其溫度的變化。由（32）式和（37）式以及由（18）式和（68）式可以得知

利用（44）式可以得到

基于（72）式可以看到對(duì)于不同的氣液混合指數(shù)ε，在給定不同入口體積分?jǐn)?shù)α0下，流動(dòng)的溫度隨氣體體積分?jǐn)?shù)α的變化，如圖2所示。由圖中可以看到，給定入口體積分?jǐn)?shù)α0，隨氣體體積分?jǐn)?shù)α的增加，溫度不斷降低。也就是說(shuō)隨著氣體在流動(dòng)中的膨脹，混合物的溫度不斷降低，而隨著氣體被壓縮，混合物溫度則不斷增加。而且可以看到，在同樣的氣液混合指數(shù)ε下（也即同樣的氣液質(zhì)量流率和氣液的性質(zhì)），入口體積分?jǐn)?shù)α0越大，則流動(dòng)中的溫度與入口溫度的比值就越大，即溫度變化越不顯著；這說(shuō)明入口體積分?jǐn)?shù)α0越小，則膨脹到同樣的α?xí)r，溫降就越大。從圖2還可看到，對(duì)于同樣的入口體積分?jǐn)?shù)α0下，氣液混合指數(shù)ε對(duì)于溫度變化過(guò)程也有影響；可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)流動(dòng)中的氣體體積分?jǐn)?shù)α小于0.5時(shí)，ε大的氣液混合物的溫度比值要高于ε小的氣液混合情形，而當(dāng)氣體體積分?jǐn)?shù)α大于0.5時(shí)，ε大的氣液混合情形下的的溫度比值要小于ε小的氣液混合情形。這說(shuō)明當(dāng)氣液混合指數(shù)ε大時(shí)，流動(dòng)中的溫度變化較為明顯，氣體在其中的影響更大；這說(shuō)明為了更好地利用氣液混合物的內(nèi)能，一定程度上增加ε的值是有益處的。

圖2 溫度隨氣體體積分?jǐn)?shù)的變化Fig.2 The temperature variation vs.the air volume fraction

圖3 馬赫數(shù)隨氣體體積分?jǐn)?shù)的變化Fig.3 The Mach number variation vs.the volume fraction of air

4.2 氣液兩相混合物等熵流動(dòng)的基本特性

以上得到了流動(dòng)中溫度隨氣體體積分?jǐn)?shù)的變化關(guān)系，有必要繼續(xù)分析流速或流動(dòng)的馬赫數(shù)的變化特性，根據(jù)（66）或（70）式可以分析馬赫數(shù)與氣體體積分?jǐn)?shù)變化特性，如圖3所示。從圖3中可以發(fā)現(xiàn)，在不同的滯止點(diǎn)體積分?jǐn)?shù)α0下，隨著氣體體積分?jǐn)?shù)α的增加或氣體的膨脹，流動(dòng)的馬赫數(shù)是不斷增加的。可以發(fā)現(xiàn)，流動(dòng)膨脹到同樣的氣體體積分?jǐn)?shù)α，滯止體積分?jǐn)?shù)α0越小，流動(dòng)達(dá)到的馬赫數(shù)越大，也即流動(dòng)越快。還可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)氣液混合指數(shù)ε越大，那么在同樣的滯止體積分?jǐn)?shù)α0下，流動(dòng)達(dá)到同樣的氣體體積分?jǐn)?shù)α?xí)r，流動(dòng)的馬赫數(shù)也越大；當(dāng)α0越大時(shí)，氣液混合指數(shù)ε的影響就越小。結(jié)合圖2可知，氣液混合指數(shù)ε對(duì)流動(dòng)的影響，是來(lái)源于不同氣液混合情形下，溫度變化的不同。α0越大時(shí)，混合物膨脹的余量將越小，因此溫度變化也會(huì)越小，流動(dòng)基本是等溫狀態(tài)，因此氣液混合指數(shù)ε不同值的影響就越小。需要指出的是，當(dāng)ε極其小時(shí)，等熵流動(dòng)和等溫流動(dòng)是基本重合的，所以ε較大時(shí)與ε較小時(shí)流動(dòng)的差別，基本上反映了等熵流動(dòng)與等溫流動(dòng)的差別。

4.3 氣液兩相混合物等熵流動(dòng)的極限流動(dòng)

如果氣體以小氣泡的形式分布在液體中，并且氣泡與氣泡之間是獨(dú)立的，那么這種流動(dòng)就可看做是泡狀流。在這種流動(dòng)中，氣泡具有幾何極限，即保證氣泡分散時(shí)氣泡最大的半徑下的體積分?jǐn)?shù)。近似計(jì)算下，該極限下的氣泡體積分?jǐn)?shù)約為0.74[13]。因此當(dāng)氣體膨脹到最大體積分?jǐn)?shù)α為0.74時(shí)，那么根據(jù)（70）式就可得到不同滯止體積分?jǐn)?shù)α0下，對(duì)應(yīng)于α為0.74時(shí)的馬赫數(shù)，如圖4所示。從圖中可看到，不同的滯止體積分?jǐn)?shù)α0下，當(dāng)流動(dòng)達(dá)到的極限體積分?jǐn)?shù)α=αlim=0.74時(shí)，極限馬赫數(shù)是不同的；比如當(dāng)滯止體積分?jǐn)?shù)α0為0.3時(shí)，流動(dòng)能達(dá)到的極限馬赫數(shù)約為2。滯止體積分?jǐn)?shù)α0越小，則流動(dòng)能達(dá)到的極限馬赫數(shù)也越大，也即氣體膨脹的效率越高。

圖4 對(duì)應(yīng)于不同氣體極限體積分?jǐn)?shù)，不同滯止條件α0下能達(dá)到的極限馬赫數(shù)Fig.4 Limited Mach number could be reached for different limited volume fraction αlim

若極限體積分?jǐn)?shù)并不局限于泡狀流的0.74，而是可繼續(xù)膨脹以致流動(dòng)成為霧狀流，從而氣體的極限體積分?jǐn)?shù)可達(dá)到更高，那么在同樣滯止體積分?jǐn)?shù)α0下，流動(dòng)能夠達(dá)到的極限馬赫數(shù)更高。比如當(dāng)α= αlim=0.999時(shí)，那么當(dāng)滯止體積分?jǐn)?shù)α0為0.9而氣液混合指數(shù)ε為0.05時(shí)，則流動(dòng)能達(dá)到的極限馬赫數(shù)為3.25左右?？梢娫谕瑯拥臏裹c(diǎn)體積分?jǐn)?shù)α0下，霧狀流動(dòng)所能達(dá)到的極限馬赫數(shù)比泡狀流動(dòng)要高。從圖4中還可以看到，氣液混合指數(shù)ε越大，則同樣的滯止點(diǎn)條件下，流動(dòng)所能達(dá)到的極限馬赫數(shù)也越大，這說(shuō)明氣體的質(zhì)量流率增加的情況下，溫度對(duì)流動(dòng)影響增加，極限體積分?jǐn)?shù)αlim越大，ε的影響也越大。

4.4 氣液兩相混合物等熵流動(dòng)的臨界流動(dòng)

現(xiàn)在來(lái)考察，氣液兩相等熵流達(dá)到臨界時(shí)，即（70）式中

時(shí)，對(duì)應(yīng)于不同的滯止體積分?jǐn)?shù)α0，流動(dòng)達(dá)到的臨界特性。為便于分析，引入臨界壓力特性比

其中上標(biāo)“*”表示臨界流動(dòng)處的物理量。由（44）式可知，（74）式成為

由此可以得到

將（75）式代入（70）式，可得臨界壓力特性之比t與滯止點(diǎn)體積分?jǐn)?shù)α0的關(guān)系，如圖5所示。從圖5可以看到滯止點(diǎn)體積分?jǐn)?shù)α0越高，則臨界流動(dòng)處與滯止點(diǎn)處壓力特性之比越接近1，也就是臨界流動(dòng)處的壓力和滯止點(diǎn)處的壓力越接近，噴管內(nèi)的壓力梯度較小；相反，滯止點(diǎn)處體積分?jǐn)?shù)α0越小，臨界流動(dòng)處和滯止點(diǎn)處壓力特性相比就越小，噴管內(nèi)的壓力梯度就越大，壓力增效就越大。因此在相關(guān)的發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)中，必須要求在保證氣體流率的條件下，入口處的氣體體積分?jǐn)?shù)越小越好，也就是入口壓力越高越好，氣體被壓縮的程度越大越好。從圖5可以看到，氣液混合指數(shù)ε值不同時(shí)，臨界流動(dòng)壓力之比的特性基本是接近的；也就是說(shuō)，因?yàn)椴煌瑲庖毫髁恐圈潭鴮?dǎo)致的不同的ε下，臨界流動(dòng)處的壓力特性基本接近；即，不同氣液流量之比μ的混合物在達(dá)到臨界時(shí)，臨界流動(dòng)之前的壓力增效程度是接近的。對(duì)比圖5和圖4可以看到，氣液混合指數(shù)ε對(duì)混合物的極限流動(dòng)影響頗大，而對(duì)臨界流動(dòng)的影響則不顯著。

圖5 臨界流動(dòng)處與滯止點(diǎn)處壓力特性之比和滯止點(diǎn)體積分?jǐn)?shù)的關(guān)系Fig.5 The ratio between the pressures at the critical and stagnation points vs.the volume fraction at the stagnation point

5 噴管內(nèi)氣液兩相等熵模型的應(yīng)用

以上基本上分析了氣液兩相混合物在噴管內(nèi)的等熵流動(dòng)的基本特性?，F(xiàn)在嘗試將兩相混合物等熵流動(dòng)基本關(guān)系（70）等式用于噴管設(shè)計(jì)以及噴管內(nèi)相關(guān)流動(dòng)的計(jì)算。

5.1 噴管線型的設(shè)計(jì)方法

由于噴管內(nèi)質(zhì)量守恒，根據(jù)（8）～（11）式及（46）式得到

可以立即反算出

又因?yàn)椋?4）式，由（70）式可以得到

由（40）、（18）式以及（71）式可知

將（78）式以及（79）式代入（77）式，就可以得到

根據(jù)（80）式可知，當(dāng)給定氣液混合指數(shù)ε以及壓力特性函數(shù)Pˉ（x）的分布，就能夠根據(jù)方程的右邊算出方程的左邊，即噴管線型的無(wú)量綱分布。當(dāng)給定以下的壓力分布時(shí)

可得到噴管的線型如圖6所示。從圖6可以看到，所設(shè)計(jì)噴管為收縮擴(kuò)張噴管，噴管的喉部在馬赫數(shù)為1處。根據(jù)圖6可知，當(dāng)氣液混合指數(shù)ε較大，或者氣液質(zhì)量流率之比μ較大時(shí)，噴管的截面積也要相應(yīng)地增大。根據(jù)（80）式以及（40）式，很明顯，還可以基于流速分布來(lái)進(jìn)行噴管線型的設(shè)計(jì)，這里不再贅述。

圖6 基于期望的壓力特性分布P（ x）逆向設(shè)計(jì)得到的噴管線型Fig.6 The nozzle shape derived based on an expected pressure distribution P（ x）

5.2 噴管內(nèi)氣液兩相混合物流動(dòng)的計(jì)算

相應(yīng)地，如果我們給定（80）式右邊中噴管截面積的分布，那么就可以求解方程（80）來(lái)得到不同截面處噴管內(nèi)的流動(dòng)特性的分布P（ x），并因而反算其它流動(dòng)變量。但事實(shí)上要注意，并不是給定任何一個(gè)噴管的線型，（80）式就能解出對(duì)應(yīng)的流動(dòng)特性P（ x），或者說(shuō)（80）式并不是對(duì)于任意給定的噴管是適定的。比如當(dāng)給定入口處的壓力特性分別為2或2.5時(shí)，可以得到噴管截面積的分布如圖7所示?？砂l(fā)現(xiàn)，當(dāng)給定入口及M0后，在兩相流合理的膨脹范圍內(nèi)，噴管具有一個(gè)最小的收縮比。如為2.5時(shí)，那么當(dāng)=1.8時(shí)，噴管最小收縮比A/A0在0.4左右，如圖7所示。因此當(dāng)計(jì)算中給定一個(gè)噴管的最小收縮比A/A0小于0.4時(shí)，（80）式是無(wú)法給出該截面處的流動(dòng)的。

圖7 對(duì)于不同入口條件下的噴管收縮比的取值范圍Fig.7 The convergent ratio varies in a range for different inlet conditions of the nozzle

事實(shí)上，如果一個(gè)噴管的喉部相比較于入口，非常非常之小，那么這將導(dǎo)致以上的氣液兩相流模型不再合適。因?yàn)榭紤]到質(zhì)量流率守恒，即便單單考慮液相，其在喉部的流速也是相當(dāng)?shù)卮?，喉部的壓力將?huì)非常之小以至于導(dǎo)致空化。因此對(duì)于氣液兩相流動(dòng)，其它非定常流動(dòng)現(xiàn)象，比如激波可能出現(xiàn)；此時(shí)基于以上的定常分析將不再適合。所以，將（80）式應(yīng)用于求解一個(gè)噴管內(nèi)的流動(dòng)時(shí)，有必要考察（80）式對(duì)該噴管是否適定。

現(xiàn)在利用（80）式來(lái)求解一個(gè)給定噴管內(nèi)的泡狀流動(dòng)。噴管的基本參數(shù)為，入口高度4 cm，喉部高1.5 cm，出口高2 cm，收縮段長(zhǎng)度7.3 cm，擴(kuò)張段長(zhǎng)度15.7 cm，入口到收縮段的等高度段長(zhǎng)度為1 cm，噴管厚度為1.5 cm。噴管線型如圖8所示。

圖8 氣液兩相流動(dòng)計(jì)算采用的噴管線型[18]Fig.8 The nozzle used for the mixture flow

Ishii[18]試驗(yàn)條件中入口液體質(zhì)量流率為2.22 kg/s和氣體質(zhì)量流率為1.93×10-4kg/s，入口壓力為180 kPa，溫度300 K。可利用（1），（11），（16）～（18），（37），（44），（28），（30），（31）式得到以下噴管入口條件

在該入口條件下，利用（80）式算出等熵模型對(duì)噴管適定的最小收縮比為0.227 5，如圖9所示。

而圖8中Ishiii試驗(yàn)噴管的最大收縮比為0.375，大于0.235；所以（80）式在該噴管內(nèi)任何截面處都適定。將圖8中的噴管線型和（82）式的入口條件代入（80）式左右兩端，利用非線性代數(shù)方程求解方法，就可以求得噴管各個(gè)截面上流動(dòng)特性，利用（37），（71）式就可以反算出實(shí)際壓力，如圖10所示。與Ishii對(duì)比表明，泡狀流等熵解析模型的求解的結(jié)果是可接受的。由于（82）式ω=8.7×10-6，根據(jù)（71）式可知，流動(dòng)中溫度變化極其微小，因此根據(jù)等溫模型（66）式預(yù)測(cè)的結(jié)果也將是合理的，這里不再贅述。

圖9 入口條件為（82）式時(shí)，等熵模型適定的噴管最小收縮比Fig.9 The minimum convergent ratio for the inlet condition with applying the isoentropic flow model

圖10 噴管中泡狀流的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果[18]對(duì)比Fig.10 The comparison between the computation here and the experimental result[18]

6 結(jié) 論

本文建立了噴管中氣液兩相無(wú)滑移等熵流動(dòng)的基本模型，并且得到了相關(guān)的解析關(guān)系。研究表明，滯止點(diǎn)處的體積分?jǐn)?shù)決定了噴管內(nèi)能達(dá)到的極限馬赫數(shù)的大小，也決定了臨界流動(dòng)處的膨脹程度。在保持氣液質(zhì)量流率之比不變時(shí)，滯止點(diǎn)體積分?jǐn)?shù)越小或壓力越大，也就是氣體壓縮程度越大，那么流動(dòng)達(dá)到極限膨脹時(shí)的馬赫數(shù)就越大，流動(dòng)達(dá)到臨界時(shí)的壓力降就越大。研究表明，氣液流率之比越大，則流動(dòng)中溫度的變化將越明顯。

基于馬赫數(shù)與壓力的解析關(guān)系以及質(zhì)量連續(xù)方程，可以得到噴管線型與壓力分布的解析解?；谠撽P(guān)系，給定壓力分布時(shí)，可以逆向求得噴管線型，噴管喉部出現(xiàn)在流動(dòng)馬赫數(shù)為1處。在該解析解適定的噴管收縮比范圍內(nèi)，當(dāng)給定某噴管線型時(shí)，可以相應(yīng)求得該噴管內(nèi)的壓力分布以及其它流動(dòng)特性。本文的研究結(jié)果可用于氣液兩相流的相關(guān)分析和設(shè)計(jì)。在霧狀流動(dòng)中，氣液兩相的滑移影響在一定程度上是不可避免的。因此將來(lái)的工作是需要在進(jìn)一步考慮滑移的基礎(chǔ)上，對(duì)氣液兩相的等熵流動(dòng)進(jìn)行進(jìn)一步的理論分析。

[1]Vineet Ahujia,Ashvin Hosanadi.Analysis of the unsteady cavitation in rocket feed system and flow control elements[C]// Six International Symposium on Cavitation.Wageningen,Netherland,2006.

[2]Can F Delale,Zafer Baskaya,Steffen J Schmidt,Günter H Schnerr.Unsteady bubbly cavitating nozzle flows[C]//Proceedings of the 7th International Symposium on Cavitation,August,17-22,2009.Ann Arbor,Michigan,USA,2009.

[3]Konstantin Matveev.Ventilated waterjets for fast air cavity ships[C].Advanced Naval Propulsion Symposium American Society of Naval Engineers,2006.

[4]Amos R G,Maples G,Dyer D F.Thrust of an air-augmented waterjet[J].Journal of Hydrodynamics,1973,7(2):64-71.

[5]Varshay H,Gany A.Underwater two phase ramjet engine[P].United States Patent,1997:5598700.

[6]付英杰.水下氣液兩相噴射推進(jìn)技術(shù)數(shù)值模擬研究[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué),2010.

[7]董 磊.水下兩相沖壓式發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)值模擬研究[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué),2010.

[8]Glassman I.Mental combustion process[Z].American Rocket Society Preprint,1959:938-959.

[9]李 芳,張為華,張 煒,夏智勛.水反應(yīng)金屬燃料能量特性分析[J].固體火箭技術(shù),2005,28(4):256-259. Li Fang,Zhang Weihua,Zhang Wei,Xia Zhixun.Analysis on energy characterisitics of hydroreactive metal fuel[J].Journal of Solid Rocket Technology,2005,28(4):256-259.(in Chinese)

[10]魏文韞.高速氣霧兩相流弛豫過(guò)程相間動(dòng)量傳遞研究[D].成都:四川大學(xué),2002.

[11]彭一川,鄧安元,黃家永,李士杰.氣霧兩相流噴嘴的研究[J].鋼鐵研究,1998(3):8-11. Peng Yichuan,Deng Anyuan,Huang Jiayong,Li Shijie.Study on air-water mist jet nozzle[J].Research on Iron&Steel, 1998(3):8-11.(in Chinese)

[12]Tangren R F,Dodge C H,Seifert H.Compressibility effects in two-phas flow[J].Journal of Applied Physics,1949,20(7): 637-645.

[13]Marat Mor,Alon Gany.Analysis of two-phase homogeneous bubbly flows including friction and mass addition[J].Journal of Fluids Engineering,2004,126:102-109.

[14]Van Wijngaarden L.On the equations of motion for mixtures of liquid and gas bubbles[J].Journal of Fluid Mechanics, 1968,33(3):465-474.

[15]Eddington R B.Investigation of supersonic phonomena in a two-phase(liquid-gas)tunnel[J].AIAA,1970,8:65-74.

[16]Eddington R B.Investigation of shock phenomena in a supersonic two-phase tunnel[J].AIAA,1966,8:66-87.

[17]Thang N T,Davis M R.Pressure distribution in bubbly flow through venturis[J].International Journal of Multiphase Flow, 1981,7:191-210.

[18]Ishii R,Umeda Y,Murata S,Shishido N.Bubbly flows through a converging-diverging nozzle[J].Physics of Fluids,1993, 5(7):1630-1643.

Analytical investigation on the air-water isoentropic flows in nozzles

ZHENG Jun1,2,WANG Bao-shou2,CHEN Wei-qi2,Wang Jun-feng1,Li Chang-feng1
(1.Jiangsu University,Zhenjiang 212013,China;2.China Ship Scientific Research Center,Wuxi 214082,China)

Based on the baratropic model and isoentropic condition of the homogeneous air-water mixture, the isoentropic model for the multiphase flow in the nozzle was established.By the ODEs of the model,the isothermal and isoentropic analytical relationships among pressure,volume fraction of air,Mach number and temperature of the mixture were obtained.The isoentropic relation indicates that the temperature varies significantly with respective to the mass flux ratio of the phases.The relation also reveals that the property at the critical point of the flow is determined by the volume fraction at the stagnation point.By the isoentropic relation above along with the mass conservation equation,a formula connecting the pressure and nozzle shape was derived,which could be used to design a nozzle by giving an anticipated pressure distribution or to calculate the flow characteristics by giving a specific nozzle shape.

air-water mixture;isoentropic flow;analytical model;limited flow;nozzle design

O35

：A

10.3969/j.issn.1007-7294.2016.10.002

1007-7294（2016）10-1219-15

2016-05-19

國(guó)家自然科學(xué)基金（11502097）；江蘇省自然科學(xué)基金（BK20130478）；江蘇大學(xué)高級(jí)人才科研啟動(dòng)基金（1281130025）

鄭 ?。?983-），博士，工程師，E-mail:jszhengjun_fluid@126.com；王寶壽（1963-），男，研究員。