◇ 山東 李 去

(作者單位：山東省鄒平縣長山中學)

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等差數列中等比子數列的探究

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1 問題背景

從數列{an}中取出部分項,并將它們按原來的順序組成一個新數列,稱之為數列{an}的一個子數列.在等差數列中探究等比子數列是?？紗栴}之一,本文力求給出解決此類問題的一般思路和方法,供讀者參考.

2 問題解決

思路分析 寫出數列的一些項:1,4,7,10,13,16,19,…,觀察可以發(fā)現,其中1、4、16成等比數列,即a1、a2、a6成等比數列,且公比為4.是否存在無窮等比子數列,只要判斷首項為1,公比為4的等比數列中任意一項都是等差數列的項.

解 由an=3n-2,得a1=1,a2=4,a6=16,所以存在不同的3項成等比數列,且公比為4.

下證等比數列的第4項也是等差數列中的項.

所以n1=6+4×(6-2).

同理,可以算得等比數列的第5項an2,其中n2=n1+4(n1-6),…,依次可以得到下一項,從而一定存在無窮等比子數列.

2) 說明等差數列中存在無窮等比子數列是先找出3項構成等比數列,再證明等比數列中的任意一項都在等差數列中;

3) 從構造等比數列的過程可以發(fā)現,只要等差數列中存在2項且后項與前項的比為整數,則一定存在無窮等比子數列.

思路分析 數列{an}的每一項都是正整數且是遞增數列,所以先確定其等比數列子數列的公比一定是不小于2的整數,再運用子數列中項的雙重性建立等量關系,確定公比的最小值.

解 由an=3n-2,n∈N*知an∈N*,an+1>an.記其等比子數列{akn}的公比為q,首項為ak1,則q≥2且q∈N*,否則,一定存在n∈N*,使ak1qn-1?N*.

由akn是等差數列的第kn項,同時又是等比數列的第n項,得

akn=ak1+(kn-k1)×3,akn=ak1qn-1,

所以

.

由于ak1不是3的倍數,所以當n∈N*時,qn-1-1必是3的倍數.

當n≥2,n∈N*時,

qn-1-1=(q-1)(qn-2+qn-3+…+q+1),

其中qn-2,qn-3,…,q,1的最大公約數為1,從而q-1必是3的倍數,所以公比q的最小值為4.

2) 本題中等差數列的各項均為正整數,易得等比子數列的公比為正整數,實際上,一個等差數列中若存在等比數列子數列,其公比也是正整數.

總結提煉 一個等差數列的公差為非零,如果存在等比子數列,則其公比是大于1的整數.

3 變式演練

(1) 若a1=4, 求正整數m，使an1、an2、am成等比數列.

(2) 若a1=4,那么{an}是否存在無窮等比子數列{ank}？請說明理由.

答案 (1)m=6.

(2) 不存在(理由略).

(作者單位：山東省鄒平縣長山中學)