金　瑾，黃　雕(.貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院理學(xué)院、循環(huán)經(jīng)濟研究院，貴州畢節(jié)55700；.貴州民族大學(xué)理學(xué)院，貴州貴陽55005）

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一類復(fù)高階非線性代數(shù)微分方程解的研究

金瑾1，黃雕2
(1.貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院理學(xué)院、循環(huán)經(jīng)濟研究院，貴州畢節(jié)551700；2.貴州民族大學(xué)理學(xué)院，貴州貴陽550025）

摘要：利用亞純函數(shù)的Nevanlinna值分布理論，研究一類復(fù)代數(shù)微分方程的亞純解的問題，得到一個結(jié)論，推廣和改進了高凌云等人的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：代數(shù)微分方程；亞純解；代數(shù)體函數(shù)；值分布理論

1 引言及主要結(jié)果

假設(shè)讀者熟悉Nevanl inna值分布理論的通常記號[1-11]。

關(guān)于微分方程的解問題，很多作者做了大量的工作，得到了一些結(jié)果(1-19)。

1983年N.Toda考慮了如下方程

得到結(jié)果如下：

定理A[1]當微分方程(1.1)不存在允許解，除了n-m是n的因子以及(1.1)有形式以外，其中a是一個常數(shù).

2004年，高凌云又研究了具有允許解的代數(shù)微分方程組的形式，得到如下結(jié)論：

定理D[2]設(shè)復(fù)代數(shù)微分方程組

2012年，高凌云還研究了Malmquist型復(fù)差分方程組，得到如下結(jié)論：

定理E[3]設(shè).如果復(fù)差分方程

2013年，高凌云再研究了復(fù)差分方程

得到下述結(jié)果：

定理B[4]設(shè)如果復(fù)差分方程(4)存在一個有限級的超越亞純解，則其中

對如下一類高階非線性代數(shù)微分方程：

其中：

W1(z,w)

有如下定義：

設(shè)u(z)為一v值代數(shù)體函數(shù)，z0是w(z)的一個極點，則在z0的一個鄰域內(nèi)，我們有w(z)的展開式

定義[5]設(shè)w(z)是v值代數(shù)體函數(shù)，令：

由定義1，我們?nèi)菀椎玫剑?/p>

本文利用Nevanl inna值分布理論，在高凌云等人研究的結(jié)果的基礎(chǔ)上，我們研究了高階非線性微分方程方程(1.5)的亞純解的存在問題，得到了高階非線性代數(shù)微分方程(1.5)的超越亞純解有如下結(jié)論:

定理 如果高階非線性微分方程(1.5)存在一個有限級的代數(shù)體函數(shù)的超越亞純解，則：

2 主要引理

引理1[6]設(shè)是關(guān)于w(z)的不可約的有理函數(shù)，系數(shù)如果w(z)是亞純函數(shù)，則有：是亞純函數(shù)。

引理2[7]設(shè)w(z)是v值代數(shù)體函數(shù)，和如上所述，則有：

其中

3 定理的證明

證明 （1）微分方程（1.5）可表示為：

應(yīng)用引理2于(3.2)式有：

其中：

另一方面，由引理1有：

由(3)和(4)以及(6)我們可得：

故：

時，可能除去一個對數(shù)測度為有限的例外值集I，我們有：

(2) 微分方程（1.6）也可表示為：

由(3.5)式可得：

應(yīng)用引理2于(3.7)式有：

其中

另一方面，由引理1有

由(3.8)和(3.9)以及(1.7)我們可得

故

綜上(1)和(2)可得，定理成立。

參考文獻:

[1]Toda N.On the conjecture of gackstatter and laine concerning the differential equation[J].Kodai Math.J.,1983(6):238-249.

[2]高凌云.具有允許解的代數(shù)微分方程組的形式[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2004(1):96-101.

[3]高凌云.M almquist型復(fù)差分方程組[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,2012(2):293-300.

[4]高凌云.高階差分方程的解[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,2013(4):451-458.

[5]Toda N，Kato M.On some algebraic differential equationsw ith adm issible algebroid solutions[J].Proc.Japan acad.A,1985(61):325-328.

[6]肖修治，何育贊.代數(shù)體函數(shù)與常微分方程[M].北京:科學(xué)出版社,1988.

[7]王鑰,高凌云.關(guān)于一類高階非線性代數(shù)微分方程解的增長級[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2014(1):37.

[8]高凌云.Malmquist型復(fù)差分方程組[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,2012(2):293-300.

[9]Gackstatter F,Laine I.Zur theorir der gewohnlichen differential chungenim Komplexen[J].Ann Polon Math,1980(38):259-287.

[10]高凌云.高階微分方程允許解的存在性[J].數(shù)學(xué)雜志,2003(3):381-384.

[11]肖修治，何育贊.代數(shù)微分方程的Malmquist定理[J].科學(xué)通報,1982（10）:583-586.

[12]金瑾，李澤清.一類高階非線性微分方程組的亞純允許解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2014（2）:292-298.

[13]金瑾.高階微分方程解與其小函數(shù)的關(guān)系[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2013(1):43-51.

[14]金瑾.關(guān)于一類高階齊次線性微分方程解的增長性[J].中山大學(xué)學(xué)報,2013(1):51-55.

[15]金瑾.一類高階齊次線性微分方程解的增長性[J].華中師范大學(xué)學(xué)報,2013(1):4-7.

[16]金瑾.單位圓內(nèi)高階齊次線性微分方程解與小函數(shù)的關(guān)系[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2014（4）:754-764.

[17]金瑾.一類高階齊次線性微分方程的亞純解與其小函數(shù)的復(fù)振蕩[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2014(3):399-405.

[18]金瑾,樊藝,左建軍,武玲玲.一類亞純系數(shù)高階非齊次線性微分方程解與小函數(shù)的增長性[J].上海大學(xué)學(xué)報,2014(6):726-732.

[19]金瑾.關(guān)于高階線性微分方程解與其小函數(shù)的增長性[J].上海交通大學(xué)學(xué)報,2013(7):1155-1159.

（責編：彭麟淋責校：明茂修）

Research of Solutionsof a Classof Higher-order Nonlinear Algebraic Differential Equations

JIN Jin1，HUANGDiao2
(1.SchoolofScience,Research Institute ofCircular Economy,Guizhou University ofEngineering Science,Bijie,Guizhou 551700,China; 2.Faculty ofScienceofGuizhou NationalitiesUniversity,Guiyang,Guizhou550025,China)

Abstract:Using Nevanlinna theory for value distribution of meromorphic function,we investigate the problem ofmeromorphic solution of a class of higher-order nonlinear algebraic differential equation,and ob?tain one resultwhich due toGao Lingyun etc is in proved and generalized.

Keywords:Algebraic Differential Equation;Meromorphic Solution;Algebraic Function;Theory of Value

中圖分類號：O1

文獻標識碼：A

文章編號：2096-0239（2016）01-0126-06 O1

作者簡介：金瑾（1962-），男，貴州大方人，貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院理學(xué)院、循環(huán)經(jīng)濟研究院教授，貴州民族大學(xué)碩士生導(dǎo)師。研究方向:復(fù)分析。

基金項目：貴州省科學(xué)技術(shù)基金資助項目“復(fù)微分方程解的復(fù)振蕩研究”，項目編號：2010GZ43286；貴州省科學(xué)技術(shù)基金資助項目“微分方程解的理論及應(yīng)用研究”，項目編號：2012GZ10526；貴州省畢節(jié)地區(qū)科研基金資助項目“喀斯特地區(qū)石漠化時空格局及其評價體系的模型研究”，項目編號：[2011]02。

收稿日期：2015-10-20