董錦華，耿秀榮(桂林航天工業(yè)學(xué)院理學(xué)部，廣西桂林541004)

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高等數(shù)學(xué)一題多解樣例教學(xué)中的變式思維

董錦華，耿秀榮
(桂林航天工業(yè)學(xué)院理學(xué)部，廣西桂林541004)

摘要：運(yùn)用樣例進(jìn)行解題教學(xué)，會(huì)時(shí)常用到解題變式。其中的一題多解能夠充分體現(xiàn)變式思維。運(yùn)用不同數(shù)學(xué)分支中的方法、運(yùn)用在同一數(shù)學(xué)分支中不同的數(shù)學(xué)原理、運(yùn)用同一數(shù)學(xué)原理的不同時(shí)機(jī)與角度，都能解決同一個(gè)數(shù)學(xué)問題。因此，在高等數(shù)學(xué)一題多解樣例教學(xué)中，應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的變式思維能力。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；一題多解；樣例；變式思維

1 引言

樣例，即例子或范例，是一種能夠闡釋概念原理、展現(xiàn)事物性質(zhì)的實(shí)體或樣本，它值得模仿或推廣。[1]在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中具有重要作用。

作為一種思維方法，變式思維能夠幫助學(xué)習(xí)者建立新知識(shí)與原有知識(shí)的橋梁，從而降低認(rèn)知負(fù)荷。因此，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要意義。

解題變式常用于以樣例為教學(xué)手段的解題教學(xué)。它主要包括一題多解、一題多變和多題歸一。三者從不同側(cè)面觀照題目，進(jìn)而揭示其本質(zhì)和特征。[2]然而，限于篇幅，本文只研究高等數(shù)學(xué)一題多解樣例教學(xué)中的變式思維。

2 高等數(shù)學(xué)一題多解樣例教學(xué)中變式思維的體現(xiàn)

為了深入研究高等數(shù)學(xué)一題多解樣例教學(xué)中蘊(yùn)含的變式思維，我們從以下三個(gè)角度入手：運(yùn)用不同數(shù)學(xué)分支中的方法解決同一個(gè)問題、運(yùn)用在同一數(shù)學(xué)分支中不同的數(shù)學(xué)原理解決同一個(gè)問題、運(yùn)用同一數(shù)學(xué)原理的不同時(shí)機(jī)與角度解決同一個(gè)問題。

2.1 運(yùn)用不同數(shù)學(xué)分支中的方法解決同一個(gè)問題

采用高等數(shù)學(xué)不同分支中的方法解決同一個(gè)問題，是一題多解中常用的方法。下面，我們舉一個(gè)既可以用代數(shù)法解決，也可以用幾何法解決的樣例。

例1.求

解法1：（代數(shù)法）令x=Rcost(0

則原式=

解法1的思路為：既然被積函數(shù)是根式，那么就需要設(shè)法去掉根號(hào)，因而可以采用三角代換辦法。

解法2：（幾何法）

可見本題既可以用代數(shù)法，又可以用幾何法。這就體現(xiàn)了變式思維。運(yùn)用變式思維，采用不同數(shù)學(xué)分支中的方法，從不同角度觀察、解決同一問題，有利于拓展思路、培養(yǎng)發(fā)散思維能力和創(chuàng)新意識(shí)。

2.2 運(yùn)用在同一數(shù)學(xué)分支中不同的數(shù)學(xué)原理解決同一個(gè)問題

在高等數(shù)學(xué)的同一數(shù)學(xué)分支中，有著很多不同的數(shù)學(xué)原理。如果具有變式思維能力，學(xué)習(xí)者就易于想到靈活運(yùn)用這些原理解決同一問題。

解法1.

解法1的難點(diǎn)是三角函數(shù)的和差化積公式。如果對(duì)這些公式記憶不牢，就不容易想到運(yùn)用它們。因此，這類問題難以解決。

好在我們可以運(yùn)用變式思維，用同一數(shù)學(xué)分支中的不同數(shù)學(xué)原理解決同一問題。就型的未定式，我們完全可以運(yùn)用洛必達(dá)法則，而不需要運(yùn)用三角函數(shù)的和差化積公式。于是，出現(xiàn)下列解法：

在該解法中，通過兩次運(yùn)用洛必達(dá)法則，我們直接把原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的求極限問題。事實(shí)上，我們還可通過運(yùn)用泰勒公式對(duì)余弦函數(shù)進(jìn)行處理的方式得到更為簡(jiǎn)便的解法：

在該解法中，我們運(yùn)用泰勒公式把函數(shù)，然后，利用連續(xù)函數(shù)的積分上限函數(shù)的可導(dǎo)性質(zhì)，得到本題的新解法：

解法4

以上四種解法告訴我們，同一個(gè)問題可以用同一數(shù)學(xué)分支中的不同數(shù)學(xué)原理進(jìn)行解決。

2.3 運(yùn)用同一數(shù)學(xué)原理的不同時(shí)機(jī)與角度解決同一個(gè)問題

有時(shí)候，在不同時(shí)機(jī)、從不同角度運(yùn)用同一個(gè)數(shù)學(xué)原理，會(huì)帶來不同的解法。

2.3.1在不同時(shí)機(jī)運(yùn)用同一數(shù)學(xué)原理

例3 求極限

運(yùn)用第二個(gè)重要極限公式，就要對(duì)原題的函數(shù)進(jìn)行改造，轉(zhuǎn)化為的形式。其中里的表達(dá)式是根據(jù)需要硬湊出來的，而具體湊成“（）”的時(shí)機(jī)不同，因此，我們至少可以得到以下兩種解法：

解法1：

2.3.2 從不同角度運(yùn)用同一數(shù)學(xué)原理

從不同角度運(yùn)用同一數(shù)學(xué)原理，也可以得到多種解法。

在拆項(xiàng)的過程中，解法1和解法2都能產(chǎn)生的弧長(zhǎng)。

如果利用《高等數(shù)學(xué)》第266頁(yè)積分表中的第39個(gè)積分公式[]3：

我們可以得到如下解法：

結(jié)合曲線的對(duì)稱性，得到曲線的弧長(zhǎng)：

如果利用《高等數(shù)學(xué)》[]3第269頁(yè)積分表中的第79個(gè)積分公式

則出現(xiàn)如下解法：

解法2：由曲線的方程，得

利用曲線的對(duì)稱性，得到曲線的弧長(zhǎng)：

解法3：令y=tant，原式可化為

我們還可以通過換元，把[0,2]的定積分化成無窮積分，再利用分部積分與常用積分進(jìn)行求解，于是得到如下解法：

解法4：由曲線的方程，得

結(jié)合曲線的對(duì)稱性，得到曲線的弧長(zhǎng)：

于是

從不同角度運(yùn)用同一數(shù)學(xué)原理，將會(huì)產(chǎn)生不同的技巧和解法。

考慮三函數(shù)之間的相互關(guān)系，運(yùn)用變式思維，可以運(yùn)用不同的轉(zhuǎn)化技巧，可以得到不同的解法。

綜上所述，高等數(shù)學(xué)一題多解樣例教學(xué)中的變式思維有許多表現(xiàn)方式。無論是運(yùn)用不同數(shù)學(xué)分支中的方法解決同一個(gè)問題，運(yùn)用在同一數(shù)學(xué)分支中不同的數(shù)學(xué)原理解決同一個(gè)問題，還是運(yùn)用同一數(shù)學(xué)原理的不同時(shí)機(jī)、不同角度解決同一個(gè)問題，都能夠讓我們感受到變式思維的存在及其重要性。

3結(jié)語(yǔ)

在高等數(shù)學(xué)一題多解的樣例教學(xué)中，變式思維發(fā)揮著巨大作用。因此，我們要善于運(yùn)用變式思維，從不同側(cè)面入手，找到數(shù)學(xué)問題變化過程中的“不變”，然后，以此為切入點(diǎn)，找到解決問題的不同方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]邵光華.數(shù)學(xué)樣例學(xué)習(xí)的理論與實(shí)證研究[D].華東師范大學(xué)博士學(xué)位論文,2003.

[2]耿秀榮.“幾何畫板”在數(shù)學(xué)解題變式中的應(yīng)用和體現(xiàn)[J].銅仁學(xué)院學(xué)報(bào),2011（1）:141-144.

[3]黃立宏.高等數(shù)學(xué)（上，第四版）[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2014:6.

（責(zé)編：彭麟淋責(zé)校：明茂修）

The Variant Thinking during Exam ple Teaching ofM ulti-solution Questions in Higher M athematics

DONG Jin-hua,GENGXiu-rong
(Faculty ofScience atGuilin University of Aerospace Technology,Guilin,Guangxi541004,China)

Abstract:Examplesare used to teach studentshow to solve the problem,which uses the variantsofsolv?ing the problems.As one of the variants,multi-solution questions can fully reflect the variant thinking.The samemathematicalproblems can be solved usingmethodsofdifferentmathematicalbranches,differentprinci?ples of the samemathematical branch,differentopportunities and angles of the samemathematical principle.Therefore,during example teaching ofmulti-solution questions in highermathematics,we should pay atten?tion to the students'ability of the variant thinking.

Key words:HigherMathematics;Multi-solution Questions;Sample;Variable Thinking

作者簡(jiǎn)介：董錦華（1961-），男，廣西賀州人，桂林航天工業(yè)學(xué)院理學(xué)部教授。研究方向：數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論、微分方程。

基金項(xiàng)目：桂林航天工業(yè)學(xué)院基金項(xiàng)目“本科合格課程建設(shè)研究”，項(xiàng)目編號(hào)：2013HGKC02。

收稿日期：2015-10-23

中圖分類號(hào)：O1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：2096-0239（2016）01-0132-07