晏妮(貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院理學(xué)院，貴州畢節(jié)551700)

?

關(guān)于“線性空間中集合相對(duì)內(nèi)部性質(zhì)成立的條件”一文的注記

晏妮
(貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院理學(xué)院，貴州畢節(jié)551700)

摘要：指出文章“線性空間中集合相對(duì)內(nèi)部性質(zhì)成立的條件”中的命題4是錯(cuò)誤的，并以Banach空間和連續(xù)函數(shù)空間中的例子說明閉集的仿射包不一定是閉集。

關(guān)鍵詞：閉集；閉包；仿射包；空間；收斂；相對(duì)拓?fù)鋬?nèi)部

引言

凸性與廣義凸性在數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域起著舉足輕重的作用，而在凸性與廣義凸性研究中，仿射包有著十分重要的作用，例如集合的相對(duì)代數(shù)內(nèi)部與相對(duì)拓?fù)鋬?nèi)部本身就是用仿射包來定義的（文[1][2][3]）,文[4]中的第二部分主要得到了相對(duì)拓?fù)鋬?nèi)部的一些性質(zhì)、相對(duì)拓?fù)鋬?nèi)部與相對(duì)代數(shù)內(nèi)部的關(guān)系、拓?fù)鋬?nèi)部與相對(duì)拓?fù)鋬?nèi)部的關(guān)系，其中的命題4中得出了閉集的仿射包是閉集的結(jié)論，并應(yīng)用此結(jié)論證明了命題1，但我們發(fā)現(xiàn)文[4]中的命題4的結(jié)論是不正確的，證明過程中運(yùn)用的是對(duì)任意的定向族，有，則就是閉集這一結(jié)論，其中把中的表示為=的這一步以及后面的證明思想都不對(duì)，那么閉集的仿射包是閉集嗎？本文將討論此問題的反例，并對(duì)文[4]的命題1重新補(bǔ)充證明。

1預(yù)備知識(shí)

affE=包含E的最小的仿射集

2 兩個(gè)反例

命題2.1（文[4]中的命題4） 設(shè)A為線性空間E中的閉集，則affA也為E中的閉集。

此命題是不成立的，下面我們舉例說明閉集的仿射包不一定為閉集。

例2.1:取Banach空間C，其中C是由所有收斂數(shù)列組成的線性空間，對(duì)，簡(jiǎn)記為它是完備的。

等等。

由此知，

令

所以

那么我們有

進(jìn)而

依照上面的方法逐漸得到

3 文[4]命題1的證明

設(shè)X為實(shí)數(shù)域R上的線性空間,E為實(shí)數(shù)域R上的拓?fù)渚€性空間。

定義3.2[]1設(shè)A為E的子集，則點(diǎn)，滿足對(duì)a的任意一個(gè)鄰域V，

命題3.1[]4設(shè)A,B為X的兩個(gè)子集，任意的則有

，x0為X中的一個(gè)向量。

引理3.1[6]設(shè)A為E的子集，任意的則有

參考文獻(xiàn)：

[1]史樹中.凸分析［M］.上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1990:1-93.

[2]高國(guó)士.拓?fù)淇臻g論[M].北京：科學(xué)出版社，2000:1-116.

[3]寇述舜.凸分析與凸二次規(guī)劃[M].天津：天津大學(xué)出版社，1994:1-49.

[4]楊玉紅.周旭.線性空間中集合相對(duì)內(nèi)部性質(zhì)成立的條件[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007 (3):339-343.

[5]歐文·克雷斯齊格.泛函分析導(dǎo)論及應(yīng)用[M].蔣正新，譯.北京：航空工業(yè)出版社，1987:1-256.

[6]Tanaka T,KuroiwaD.The convexity of A and B assuresint A+B=int(A+B)[J].ApplMath Lett,1993(1):83-86.

[7]M.Adan,V.Novo.W eak efficiency in vector optim ization using a closure ofalgebraic type under con-convexlikeness[J].European JournalofOperationalResearch,2003:641-644.

（責(zé)編：郎禹責(zé)校：明茂修）

Noteson the Paper Conditions Assuring Propertiesof the Relative Interior of Sets in a Linear Space

YANNi
(Schoolof Science,Guizhou University of Engineering Science,Bijie,Guizhou551700,China)

Abstract:This paper notices that the proposition4 of the paper conditionsassuring properties of the rela?tive interior of sets in a linear space is incorrect,and examplesof Banach spaceand the continuous func?tion space in thisarticle illustrates thatclosed aggregate'saffinehull isnotnecessarily a closed aggregate.

Key words:Closed Aggregate;Closure；Affine Hull；Space；ConvergentSequence；Relative Topologi?cal Interior

作者簡(jiǎn)介：晏妮（1974-），女，貴州納雍人，貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院理學(xué)院講師。研究方向：最優(yōu)化原理。

收稿日期：2015-09-11

中圖分類號(hào)：O174.13

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：2096-0239（2016）01-0143-05