劉振龍
在學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理之后,學(xué)生經(jīng)常對(duì)如何判斷三角形解的個(gè)數(shù)而煩擾。結(jié)合初中全等三角形的判定定理,若已知三角形的三邊(且符合任意兩邊之和大于第三邊)、兩邊一夾角、兩角一邊,則該三角形有唯一解。但是如果已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角時(shí),解的情況又如何呢?普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)必修5》在第8頁(yè)到第9頁(yè)的“探究與發(fā)現(xiàn)《解三角形的進(jìn)一步討論》”中有詳細(xì)的說(shuō)明(此處略),但分類(lèi)種數(shù)較多,學(xué)生容易混淆結(jié)論,故在實(shí)際操作中仍存在很多困惑。因此,針對(duì)學(xué)生的具體學(xué)情,筆者以課堂實(shí)例為依托,對(duì)已知“兩邊一對(duì)角”的三角形解的個(gè)數(shù)問(wèn)題進(jìn)行多種方法的探究討論。
方法二:畫(huà)圓找交點(diǎn)
解:由于角A為已知角,故先畫(huà)出角A,在角A的其中一邊上確定頂點(diǎn)C,使得AC=24,即b=24,接著以點(diǎn)C為圓心,a=18為半徑畫(huà)圓,觀察所畫(huà)得的圓與角A的另一邊出現(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)(交點(diǎn)即為三角形的頂點(diǎn)B),若沒(méi)有交點(diǎn),則說(shuō)明該三角形無(wú)解;若只有一個(gè)交點(diǎn),則說(shuō)明該三角形解的個(gè)數(shù)為1個(gè);若有兩個(gè)交點(diǎn),則說(shuō)明該三角形解的個(gè)數(shù)為2個(gè)。
如圖所示,以C為圓心,為半徑所畫(huà)得的圓與角A的另一邊交于B1,B2兩點(diǎn),故該三角形有兩解。在判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí),可利用半徑a與過(guò)點(diǎn)C作射線(xiàn)AB1的垂線(xiàn)段CH的長(zhǎng)度大小進(jìn)行對(duì)比:若a 數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中,不斷滲透、總結(jié)相關(guān)的數(shù)學(xué)思想并有效地理解掌握,對(duì)于尋找解題途徑和提高解題能力具有重大意義。上述方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見(jiàn)的分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等多種數(shù)學(xué)思想。當(dāng)面臨問(wèn)題時(shí),先思考該問(wèn)題所屬類(lèi)別,盡可能多地聯(lián)想解決此類(lèi)問(wèn)題所能包含的各種數(shù)學(xué)思想,選擇其中一種或多種思想予以解決。所以,平時(shí)注重對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)歸納和掌握,對(duì)于提升認(rèn)識(shí)并解決問(wèn)題的能力大有益處。 編輯 尹 軍