運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

☉江蘇省無錫市南長實(shí)驗(yàn)中學(xué)　王宇峰

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運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

☉江蘇省無錫市南長實(shí)驗(yàn)中學(xué)王宇峰

數(shù)學(xué)是揭示事物中數(shù)量與形體的本質(zhì)關(guān)系與聯(lián)系的科學(xué).數(shù)學(xué)的兩大研究對象“數(shù)”與“形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在因素，數(shù)形結(jié)合思想就是通過數(shù)與形之間的對立和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題.正如華羅庚先生所說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”.數(shù)形結(jié)合思想從根本上來看包含兩方面的內(nèi)容，即“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”，巧妙地應(yīng)用這一思想，不僅可以使問題變得更加簡單和自然，而且還能培養(yǎng)學(xué)生全面研究問題的能力，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維和直觀看待問題的能力.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果教師能夠有效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來進(jìn)行教學(xué)，那么就可以有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，最終讓學(xué)生提高數(shù)學(xué)品質(zhì).

一、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，提高學(xué)生分析問題的意識

學(xué)生在平常生活中都會有一些圖形方面的知識，積極利用學(xué)生的這些認(rèn)識基礎(chǔ)，將數(shù)與形相結(jié)合的方式轉(zhuǎn)移到教學(xué)中來，從而在課堂上滲透相應(yīng)的數(shù)形結(jié)合思想，并充分挖掘題目所提供的元素，提高學(xué)生分析問題的能力.

初三中考總復(fù)習(xí)時(shí)，筆者給學(xué)生出了這樣一道題.如圖1，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，2），P是△AOB外接圓上的一點(diǎn)，且∠AOP= 45°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______.

圖1

師：這是一個(gè)中考填空題，請大家仔細(xì)讀題，分析并自行解決.

生1：首先確定圓心的坐標(biāo)，然后通過勾股定理來解決.設(shè)Rt△AOB的斜邊AB的中點(diǎn)為M，則M是△AOB外接圓的圓心.由題意可得∠BAO=30°，AB=4.如圖2，連接PM、OM，則有PM=OM=AB，于是∠OPM=∠MOP=∠AOP-∠AOM=45°-30°=15°，OM=PM=2.

延長PM，作OT⊥PM，垂足為T，則∠OMT=30°.

在Rt△MOT中，由OM=2，∠OMT=30°，得OT=1，MT=，則PT=PM+MT=2+

過P作PH⊥x軸，垂足為H.

圖2

師：在直角三角形中，通過勾股定理解決是我們的常見思路，生1的思路是可行的，但對計(jì)算能力的要求較高，尤其涉及二次根號下的配方，計(jì)算正確確實(shí)不容易.下面的同學(xué)一定有其他不同的解法，愿意和大家分享一下嗎？

生2：我是通過解直角三角形的方法來解決的.如圖3，作BS⊥OP、PH⊥x軸，垂足分別為S、H，連接PB.

由題意可知△BOS是等腰直角三角形.

圖3

師：生2在圖形中發(fā)現(xiàn)了特殊的直角三角形，簡化了計(jì)算過程，思路也更加清晰.

通過數(shù)形結(jié)合思想，立即激發(fā)了其他同學(xué)對試題進(jìn)行再思考.在這樣的氛圍下，學(xué)生能夠強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想，逐步形成通過數(shù)形結(jié)合去分析問題、解決問題的思維方式.

二、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，提高學(xué)生的轉(zhuǎn)化遷移思維能力

數(shù)形結(jié)合思想是將數(shù)與形結(jié)合起來解決問題的一種思維方式.教師通過課堂教學(xué)問題的講解，使學(xué)生充分理解數(shù)中有形，形中有數(shù)，數(shù)形是緊密聯(lián)系的，用數(shù)形之間的對應(yīng)關(guān)系，幫助并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化，從而巧妙地解決一些看似復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題.

2012年無錫市中考有這樣一道題目：對于平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），我們把|x1-x2|+|y1-y2|叫做P1、P2兩點(diǎn)間的直角距離，記作d（P1，P2）.

（1）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足d（O，P）=1，請寫出x與y之間滿足的關(guān)系式，并在所給的直角坐標(biāo)系（圖4）中畫出所有符合條件的點(diǎn)P所組成的圖形；

圖4

（2）設(shè)P0（x0，y0）是一定點(diǎn)，Q（x，y）是直線y=ax+b上的動(dòng)點(diǎn)，我們把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直線y=ax+b的直角距離，試求點(diǎn)M（2，1）到直線y=x+2的直角距離.

這是一道充分滲透應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的綜合題，重點(diǎn)在第二問中.第二問中實(shí)際上是在點(diǎn)到點(diǎn)的直角距離的基礎(chǔ)上引入點(diǎn)到線的直角距離.同樣學(xué)生會根據(jù)第一問的方法先寫出點(diǎn)到線的直線距離的表達(dá)式：d（M，Q）= |x-2|+|y-1|=|x-2|+|x+2-1|=|x-2|+|x+1|，接下來關(guān)鍵是要找到表達(dá)式的最小值.

有學(xué)生說：老師，我們可以通過第一問的方法，分類討論化簡表達(dá)式.

師：可以，這是一種比較直接的解答途徑.還有其他方法嗎？

學(xué)生竊竊私語.筆者接著引導(dǎo)學(xué)生思考：我們在講絕對值的時(shí)候，它是怎么定義的？

生：絕對值是反映數(shù)軸上點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離.這樣學(xué)生就探索出這道題的內(nèi)涵，筆者讓學(xué)生通過畫數(shù)軸，發(fā)現(xiàn)|x-2|+|x+1|這一表達(dá)式，實(shí)際上是表達(dá)：數(shù)軸上一點(diǎn)到2和-1的距離之和.這樣學(xué)生很快就會發(fā)現(xiàn)|x-2|+|x+1|的最小值為3.

通過數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，讓學(xué)生將不同的知識元素進(jìn)行類比遷移，激勵(lì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；可以更好地了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的歷程，診斷學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的困難，幫助學(xué)生認(rèn)識自己在解題策略、思維方法或?qū)W習(xí)習(xí)慣上的長處和不足，及時(shí)調(diào)整和改善教與學(xué)的過程，這樣可以幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，開拓創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力，同時(shí)也自然而然地提升了應(yīng)試的技能.

三、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，深化學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力

教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，必須使學(xué)生明白要利用數(shù)形結(jié)合方法解決問題，就必須尋找兩者的契合點(diǎn)，然后根據(jù)相應(yīng)對象的屬性將數(shù)與形進(jìn)行巧妙地結(jié)合，通過對綜合題目中各方面的知識點(diǎn)進(jìn)行歸納總結(jié)，找到數(shù)、形之間的內(nèi)在聯(lián)系.

2015年山東日照的中考題：

圖5

（1）求拋物線的解析式和tan∠BAC的值；

（2）在（1）的條件下：①P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，過點(diǎn)P作PQ⊥PA交y軸于點(diǎn)Q，問：是否存在點(diǎn)P，使得以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

②設(shè)E為線段AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接DE，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DE以每秒一個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，再沿線段EA以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到A后停止，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少？

分析：本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)、拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、兩點(diǎn)之間線段最短、軸對稱的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識.通過這題的解答，利用數(shù)形結(jié)合思想將數(shù)學(xué)中解直角三角形、函數(shù)、動(dòng)點(diǎn)等知識綜合運(yùn)用，讓每個(gè)學(xué)生對相應(yīng)的知識能夠做出清楚地判斷，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的進(jìn)一步發(fā)展，合理引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會綜合運(yùn)用問題，掌握結(jié)論與條件的內(nèi)在聯(lián)系，令空間形式與數(shù)量關(guān)系巧妙結(jié)合，進(jìn)而深刻感悟數(shù)形結(jié)合思想，全面掌握數(shù)形結(jié)合的科學(xué)應(yīng)用.

數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，其目的是教授學(xué)生一些基礎(chǔ)性的知識，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、學(xué)習(xí)能力和解決生活實(shí)際問題的能力.初中數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的理性思維和責(zé)任感，所以在探尋教學(xué)的有效性方面需要進(jìn)行深入思考和挖掘.數(shù)形結(jié)合的方法可以將抽象的數(shù)量關(guān)系具體化，把無形的解題思路形象化，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生解題的靈活性、多樣性和變通性，對于發(fā)展學(xué)生的思維能力起著積極推動(dòng)作用.