基于轉(zhuǎn)化思想，探求一題多解

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基于轉(zhuǎn)化思想，探求一題多解

☉上海市嶺南中學(xué)劉華為
☉浙江省衢州市柯城區(qū)石梁中學(xué)余利英

由于一題多解既可激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、理清知識脈絡(luò)、深化認(rèn)知層次、提高課堂效率，又對培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、靈活性、深刻性和創(chuàng)新性大有裨益，因而深受廣大同仁的偏愛.那么如何才能探求一題多解呢？本文試圖基于轉(zhuǎn)化思想，從知識溯源、轉(zhuǎn)換視角和分類表述等角度對一題多解的生成談幾點拙見，以求拋磚引玉.

一、題目呈現(xiàn)

圖1

如圖1，已知△ABC中，∠BAC= 90°，四邊形ABDE、BCFG是兩個正方形，AB的延長線交DG于點P，求證：AC=2BP.

二、解法展示

一般地，數(shù)學(xué)習(xí)題是由課本的有關(guān)知識、信息、符號，通過遷移、發(fā)散和綜合而來的，因此，相關(guān)問題的知識源就是解決問題的最佳策略和一題多解的知識自然生成點.

1.利用線段中點定義證明

證法1：如圖2，延長BP至點Q，使BQ=AC.欲證BQ= 2BP，易想到連接GQ，可利用證明△BPD≌△QPG得BP= QP.為此需證明∠Q=90°且GQ=DB= BA，即證明△ABC≌△QGB.

由同角（∠ABC）的余角相等，可得∠ACB=∠QBG，再根據(jù)“邊角邊”可知△ABC和△QGB確實全等，故問題得證.

圖2

證法2：當(dāng)然圖2的輔助線也可表述為“過點G作GQ⊥BP，交BP的延長線于點Q”，則依據(jù)“角角邊”可證△ABC≌△QGB，得AC=QB且GQ=BA=DB.根據(jù)“角角邊”或“角邊角”可證△BPD≌△QPG，得BP=QP，所以AC= BQ=2BP.

證法3：圖2的輔助線還可表述為“過點G作GQ∥BD，交BP的延長線于點Q”，則∠GQB=∠QBD=∠BAC= 90°，由“角角邊”依然可得△ABC≌△QGB，于是AC=QB 且AB=QG=BD.進(jìn)而可證△BPD≌△QPG，得BP=QP，所以AC=QB=2BP.

深入分析可知：上述輔助線的作法雖然描述不盡相同，但本質(zhì)就是在射線BP的右側(cè)構(gòu)造一個與△ABC全等的△QGB，從而把線段間的兩倍關(guān)系轉(zhuǎn)化為另兩條線段間的相等關(guān)系.理所當(dāng)然，也可在射線BP的左側(cè)構(gòu)造一個與△ABC全等的△BDQ加以證明.

證法4：如圖3，過點D作DQ∥BG，交BP的延長線于點Q，思路同樣為證明AC =BQ =2BP，即證明△ABC≌△DBQ和△BPG≌△QPD.

圖3

易知∠BQD=∠QBG=∠ACB，根據(jù)“角角邊”可證△BDQ≌△ABC，得DQ=BC=BG且BQ=AC.再由△BPG≌△QPD得BP=QP，問題迎刃而解.

上面證明都是從“倍長”出發(fā)的，當(dāng)然也可從“截半”入手，打開思維通道.

證法5：如圖4，在AC上截取AM=BP，連接BM，則根據(jù)“邊角邊”易知△AMB≌△BPD，得∠AMB= ∠BPD.由等角的補(bǔ)角相等得∠CMB=∠BPG.再依據(jù)“角角邊”可證△BCM≌△GBP，得CM=BP=AM，所以AC=2BP.

圖4

當(dāng)然圖4中輔助線的作法也可表述為“在邊CA上截取CM=BP”，證明時只需把證法5的過程稍作調(diào)整即可.

2.利用三角形中位線定理證明

證法6：由上面證明可知：事實上點P就是DG的中點. 又BP∥DE，故想到延長GB交DE的延長線于點N（如圖5），構(gòu)造以BP為中位線的△GDN.下面只需證明GB=BN 和DN=AC，即△ABC≌△DBN即可.

由∠ABC+∠ABN=∠DBN+∠ABN=90°，得∠ABC= ∠DBN.又AB=DB，∠BAC=∠BDN，則△ABC≌△DBN，故問題得證.

圖5

圖6

證法7：當(dāng)然也可過G作GN⊥DB交DB的延長線于N點，從另一方向構(gòu)造以BP為中位線的Rt△DNG（如圖6）.由“同角的余角相等”可得∠ABC=∠NBG，再根據(jù)“角角邊”易證△ABC≌△NBG，得AC=NG、AB=NB=BD.而BP∥NG，所以NG=2BP，即AC=2BP.

三、證法反思

1.追根溯源巧定向

如何想到運(yùn)用“線段中點定義”和“三角形的中位線定理”來證明本題的呢？

從知識轉(zhuǎn)化角度略加分析可知：數(shù)學(xué)習(xí)題一般要運(yùn)用所學(xué)過的知識加以解決，因此與線段二倍有關(guān)的知識源就是解決本題的思考方向和突破口.而回顧初中平面幾何可知：與線段二倍關(guān)系有關(guān)的知識源除了上述兩個知識點，還有“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”和“直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”.考慮到本題缺少30°角且AC為直角邊而非斜邊，故解題方向宜定位在運(yùn)用“線段中點定義”（證法1-5）和“三角形中位線定理”（證法6、7）兩個知識源.

2.透過現(xiàn)象妙添線

利用線段中點定義證明AC=2BP無外乎有兩個思考方向：一是倍長BP，二是截半AC.不過“倍長”和“截半”是指效果而已，具體操作可不拘一格.如本題若直接延長BP至點Q，使BQ=2BP，連接QG，但由于不知點P是否為DG的中點，得不到△BPD≌△QPG，給利用△ABC≌△QGB來證明BQ=CA制造了不小的障礙.相反換個角度思考，先構(gòu)造BQ=AC再證明BQ=2BP，則可柳暗花明了！再如證法5中，若直接取AC的中點為M，也會給證明制造極大的障礙，但考慮到“截半”是為了確保三角形全等，不妨反其道而行之，直接構(gòu)造全等三角形.

3.轉(zhuǎn)換視角拓寬度

從上述七種證法中不難發(fā)現(xiàn)：轉(zhuǎn)換視角是一題多解產(chǎn)生的本源.具體體現(xiàn)在：首先，在不同的知識間切換，明確一題多解之方向；其次，在不同對象間切換，尋求多解突破口（如“倍長”和“補(bǔ)短”）；還有同一輔助線在不同描述間切換，打開多解的切入點（如證法1-3）；最后在不同位置間切換，探求多解的發(fā)散點.當(dāng)然，轉(zhuǎn)換視角遠(yuǎn)非以上四點，只要平時注重探索與積累，一題多解在習(xí)題教學(xué)中必能綻放奪目之花、累結(jié)碩放之果.

總之，探求一題多解應(yīng)基于知識轉(zhuǎn)化策略之上，通過追根溯源，明確解題方向，調(diào)控受阻思維，尋求解決問題的基本途徑.也就是說，首先明確解題目標(biāo)（如本題為“證明線段二倍關(guān)系”），然后追溯初中階段與此目標(biāo)相關(guān)的知識源，最后結(jié)合條件確定解決本題的知識源，再轉(zhuǎn)換視角，探求一題多解的自然生成.

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3.李艷娜.“蘭利問題”求解的多種途徑［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（1）.