改編習(xí)題注重關(guān)聯(lián)，系統(tǒng)開發(fā)引領(lǐng)思考——以“勾股定理”相關(guān)編題為例

☉浙江省寧波市北侖區(qū)顧國和中學(xué)　陳　波

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改編習(xí)題注重關(guān)聯(lián)，系統(tǒng)開發(fā)引領(lǐng)思考——以“勾股定理”相關(guān)編題為例

☉浙江省寧波市北侖區(qū)顧國和中學(xué)陳波

華東師大鐘啟泉教授指出：“‘練習(xí)’的系統(tǒng)開發(fā)是每一個教師義不容辭的責(zé)任”“練習(xí)是一個系統(tǒng)，應(yīng)當(dāng)把練習(xí)作為一個系統(tǒng)來開發(fā)”.基于上述認(rèn)識，我們在新學(xué)期“勾股定理”教學(xué)期間，有計劃地研制了一系列深度改編的習(xí)題，并在所在學(xué)校、班級積極實踐，取得了一定的教學(xué)效果，本文展示相關(guān)題例，并跟進(jìn)解讀闡釋設(shè)計意圖，供研討.

一、題例展示與解讀說明

題1：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°.

圖1

（1）求AC；

（2）求證：△ACD是直角三角形；

（3）求四邊形ABCD的面積.

編題說明與教學(xué)手記：這道習(xí)題改編自教材原題，原題只要求四邊形ABCD的面積，根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)不少學(xué)困生往往找不到答題的思路，或者是直接“想當(dāng)然”認(rèn)為∠ACD是直角，從而造成“跳步解答”.基于上述教學(xué)現(xiàn)實，我們通過增設(shè)兩個小問，為學(xué)生設(shè)計了更為平緩的鋪墊，為一些學(xué)困生解決這類問題提供了方法上的引導(dǎo).

題2：如圖2，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且CF=CD.

圖2

（1）若正方形ABCD的邊長為4，求AF、EF的長；

（2）猜想△AEF的形狀，并說明理由；

（3）取AF的中點(diǎn)G，連接EG，設(shè)EG=m，記正方形ABCD的面積為S，試用含m的式子表示S.

編題說明與教學(xué)手記：這道習(xí)題源于教材，教材上一般都是直接設(shè)問“圖中有幾個直角三角形”，有些同學(xué)由于缺少深入的思考、演算，常常會缺少對△AEF的形狀的認(rèn)識.我們基于教學(xué)現(xiàn)實，重新增加了第一問，給正方形的邊長賦一個特殊數(shù)值，然后安排學(xué)生先計算、體驗一下相關(guān)線段的數(shù)據(jù)，這樣可以對學(xué)生思考第二問有所啟示.然而就練習(xí)反饋情況來看，又出現(xiàn)一些學(xué)生缺少對并列式設(shè)問與遞進(jìn)式設(shè)問的理解，造成將第一問的結(jié)論直接代入第二問演算說明的問題.到了第三問，將問題從常量引向變量，從特殊走向一般，也是滲透學(xué)生即將要接觸的變量與函數(shù)思想.

題3：如圖3，△ABC的三邊a、b、c滿足|a-3|+（b-4）2+（c-5）2=0.

（1）求證△ABC是直角三角形；

（2）求斜邊上的高；

圖3

（3）以△ABC的三邊為邊分別向外作正方形，它們的面積分別是S1、S2、S3，請直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系；

（4）以△ABC的三邊為直徑分別向外作3個半圓，通過計算分析這三個半圓的面積關(guān)系；

（5）以AB為邊向△ABC外作△ABD，使△ABD為等腰直角三角形，畫圖分析并直接寫出AD的長；

挑戰(zhàn)：（以下兩題，供選擇一題解答）

（6）若邊AB上有一點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)B關(guān)于直線CH的對稱點(diǎn)B′落在線段AB上時，求AB′的長；

（7）如圖4，分別以等腰Rt△ABC的邊AB、AC、BC為直徑畫半圓，若BC=a，求兩個月形圖案AGCE和BHCF的面積之和（圖中陰影部分）.（用含a的式子表示）

圖4

編題說明與教學(xué)手記：前的問屬于基礎(chǔ)問題，第三、四、七問屬于一個系列的問題；第二、六問可看成是一個變式拓展的過程.安排給學(xué)生的解答時間是25分鐘，一個班55個學(xué)生，有5人能全部答對；答對4問的全班達(dá)到40人，基本達(dá)到預(yù)期目的.值得一說的是，第七問還可以“從特殊走向一般”，即將“等腰Rt△ABC”變式為“Rt△ABC”，這樣的話兩個月形圖案AGCE和BHCF的面積之和仍然等于Rt△ABC的面積.

題4：如圖5，將一個邊長分別為4、8的長方形紙片ABCD折疊（折痕為EF），使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，設(shè)BE=x.

圖5

（1）用含x的式子表示AE；

（2）求x；

（3）求DF的長；

（4）求EF的長；

（5）連接AC，求證：AC、EF互相垂直平分；挑戰(zhàn)：

（6）將“題干”改成“邊長分別為a、b（b>a）的長方形…”，其余不變，記△AEF的面積為S，試用含a、b的式子表示S.

編題說明與教學(xué)手記：以矩形為背景的折疊問題，常常需要利用勾股定理、借助方程工具來實現(xiàn)求解.這道習(xí)題是各級各類考試中的高頻考題，為了在學(xué)生初學(xué)期間接觸該類問題就形成深刻印象，我們把這類問題的思考通過增設(shè)第一、二、三問，充分展開思考過程，既是提供引例、鋪墊，也是示范和引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會解決這類問題.對于第五問，則是關(guān)聯(lián)菱形的對角線性質(zhì)，而第六問鼓勵優(yōu)秀學(xué)生挑戰(zhàn)潛能，也是數(shù)學(xué)從特殊走向一般，從常量走向變量的數(shù)學(xué)研究取向.

題5：如圖6，平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，4）、B（b，-1），且S△AOB=6.

圖6

（1）求b的值.

（2）求線段AB的長.

（3）若點(diǎn)M（m，0），連接AM.

①當(dāng)m=3時，求AM的長；

②當(dāng)AM=8時，求m的值；

③當(dāng)m=1時，求∠MAO+∠BAO的度數(shù).

挑戰(zhàn)：

（4）若直線AB上有一點(diǎn)N（與點(diǎn)B不重合），滿足S△AON= 6，試探究點(diǎn)N的坐標(biāo).

編題說明與教學(xué)手記：將勾股定理與平面直角坐標(biāo)系關(guān)聯(lián)起來，通過變換坐標(biāo)的信息引導(dǎo)學(xué)生對應(yīng)坐標(biāo)的特點(diǎn)與線段之間的對應(yīng)關(guān)系.從練習(xí)情況來看，學(xué)生在解（3）②時容易出現(xiàn)漏解，而解決（3）③時由于不能想到構(gòu)造點(diǎn)M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，使得思路受阻.以下附我們講評（3）③時使用的PPT截圖（如圖7）.

（3）已知點(diǎn)D（1，0），求∠DAO+∠BAO的度數(shù).

圖7

二、關(guān)于練習(xí)設(shè)計的兩點(diǎn)隨感

1.備課應(yīng)該重視例、習(xí)題的設(shè)計，切忌隨手“拿來主義”

以我們在教學(xué)一線所見，當(dāng)前各級教輔資料、練習(xí)冊、試卷集，包括很多學(xué)生報刊，上面的例、習(xí)題多是經(jīng)由簡單的復(fù)制、粘貼而來，而有些試題貼上所謂最新年度的中考題的標(biāo)識，似乎就是一道新題，其實大多數(shù)的中考題都是陳題的低層次改編，如果備課過程中教師不加選擇地直接拿來，缺少自己的專業(yè)設(shè)計與改編，缺少基于學(xué)情、教情的深度變式、必要重組，常常會使得習(xí)題訓(xùn)練的效果大大降低，使得減負(fù)增效成為一句空談.我們認(rèn)為，備課時除對教學(xué)環(huán)節(jié)、概念引領(lǐng)的情境創(chuàng)設(shè)等常規(guī)追求之外，還應(yīng)該十分重視例、習(xí)題的改編設(shè)計.通過如上面提供的題例一樣的增設(shè)鋪墊、引導(dǎo)參與、注重關(guān)聯(lián)等編題策略，使得例、習(xí)題更有利于自己的教學(xué)，真正做到減負(fù)增效.

2.設(shè)計練習(xí)時要注意系統(tǒng)開發(fā)，包括預(yù)設(shè)“跟進(jìn)講評”

鐘啟泉教授還指出：“所謂練習(xí)系統(tǒng)的開發(fā)有兩層含義，一是強(qiáng)調(diào)練習(xí)的系統(tǒng)，即不是隨心所欲、簡單化的堆積，而是構(gòu)成一種結(jié)構(gòu)，一個階梯；二是強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)的開發(fā)，即不是零敲碎打，而是經(jīng)年累月，作為一個網(wǎng)絡(luò)來開發(fā).”從上面提供的5個題例來看，我們比較注意這些試題的結(jié)構(gòu)或階梯；此外也想通過長期堅持下來，作為一個網(wǎng)絡(luò)來研制，形成本校有特色的習(xí)題資源、校本資源庫，從而豐富課程資源.特別是，以題5來說，我們還預(yù)設(shè)了“跟進(jìn)講評”，即通過制成如圖7所示的PPT，漸次呈現(xiàn)啟發(fā)式的提示語，追問學(xué)生的理解，將求解思路、關(guān)鍵步驟揭示出來，追求了“產(chǎn)婆術(shù)”的啟發(fā)式習(xí)題教學(xué).

參考文獻(xiàn)：

1.鐘啟泉.讀懂課堂［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2015.

2.鐘啟泉.“批判性思維”及其教學(xué)［J］.全球教育展望，2002，31（1）.

3.劉東升.經(jīng)歷問題生成，深刻理解教材——人教八上“每日一題”的命題實踐與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（4）.