宋健健

高斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“在數(shù)學(xué)中重要的不是符號(hào)，而是概念?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念是重要的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)重點(diǎn)。而在數(shù)學(xué)概念體系中，核心概念又是其中的重要組成部分，它是指“在概念體系中某些處于核心、樞紐位置的概念，一般對(duì)其下行概念或相關(guān)概念起著同化性遷移作用?！睌?shù)學(xué)核心概念的建構(gòu)與運(yùn)用，不僅是獲取概念的基本手段，而且是建構(gòu)良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的載體，更能幫助學(xué)生在需要時(shí)靈活地調(diào)用、變通與轉(zhuǎn)化以解決數(shù)學(xué)問題。那么，我們?nèi)绾螐膹?fù)雜的概念體系中梳理和確定核心概念，完善核心概念教學(xué)？筆者就以圖形與幾何核心概念教學(xué)為例，談?wù)労诵母拍罱虒W(xué)的幾個(gè)策略。

一、 合理選材，強(qiáng)化概念的本質(zhì)屬性

在幾何與圖形體系中，核心概念往往是以“理想模式”出現(xiàn)的。這些理想的“標(biāo)準(zhǔn)”圖形，容易給學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程造成思維定勢(shì)，因?yàn)樗稚⒒蜓谏w了一些幾何圖形的本質(zhì)屬性而擴(kuò)大了非本質(zhì)屬性，造成學(xué)生對(duì)某一概念的內(nèi)涵理解不全面。因此，能否選取全面的、富有典型性的學(xué)習(xí)材料，能否實(shí)現(xiàn)概念本質(zhì)屬性的強(qiáng)感知，是圖形與幾何核心概念教學(xué)的關(guān)鍵。

1.亂中取正，以典型正核心

在圖形與幾何核心概念引入的過(guò)程中，要注意使學(xué)生建立清晰的、具有共性的、典型性的表象。在教學(xué)開始時(shí)，可以向?qū)W生提供豐富而典型的感性材料，如采用實(shí)物、模型、課件，引導(dǎo)學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、操作，從而建立起數(shù)學(xué)模型，理解概念的本質(zhì)屬性。

比如黃愛華老師在教學(xué)“三角形的認(rèn)識(shí)”時(shí)：首先開門見山，揭示課題，然后初步認(rèn)識(shí)、形成表象：見過(guò)三角形嗎？你們能從很多圖形中找出三角形嗎？出示圖1：

接著提問：在這些平面圖形中，哪些是三角形？哪些不是？為什么？（將其他不是三角形的圖形隱去）對(duì)比這些圖形，三角形有哪些共同特征？說(shuō)說(shuō)怎樣的圖形叫三角形？通過(guò)一系列問題串，讓學(xué)生感受三角形核心意義。

從感性材料入手，選擇幾個(gè)典型的、具有代表性的材料以及容易混淆的其他材料，使學(xué)生從這些對(duì)象各自具有的屬性中，發(fā)現(xiàn)三角形概念的本質(zhì)屬性，從而使學(xué)生建構(gòu)起三角形概念的強(qiáng)感知，并從觀察比較中建立起三角形概念模型。

2.異中求同，以變式顯本質(zhì)

學(xué)生在學(xué)習(xí)圖形與幾何核心概念的過(guò)程中，最重要的是弄清楚概念的本質(zhì)屬性。教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，在概念教學(xué)過(guò)程中恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行變式應(yīng)用，變更概念中的非本質(zhì)特征，變換問題中的條件、結(jié)論的形式或內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索出“變”的規(guī)律，幫助學(xué)生獲得深刻的理性認(rèn)識(shí)，提高識(shí)別、應(yīng)變、概括的能力。

比如筆者在教學(xué)“認(rèn)識(shí)平行”一課時(shí)，在學(xué)生明確辨析平行概念的基礎(chǔ)上，通過(guò)一個(gè)變式題，讓學(xué)生在情境變化中概括出“平行”的本質(zhì)特征。如圖2：

開窗時(shí)，窗戶在做什么運(yùn)動(dòng)？窗戶左邊的豎邊平移前所在的直線與平移后所在的直線是否互相平行？窗戶是沿什么平移的？最后再判斷圖3中哪些線段是互相平行的？從而完善平行概念的建構(gòu)過(guò)程，讓學(xué)生從變式中理解平行的本質(zhì)屬性：在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線互相平行。

筆者通過(guò)對(duì)平行概念的關(guān)鍵特征進(jìn)行變式，引領(lǐng)學(xué)生積極參與形成概念和明確概念的全過(guò)程，不僅讓學(xué)生真正把握概念的本質(zhì)特征，更通過(guò)多樣化的變式培養(yǎng)他們的觀察、分析及概括能力，培養(yǎng)他們的思維能力和創(chuàng)新意識(shí)。

二、 承上啟下，理清概念的脈絡(luò)結(jié)構(gòu)

圖形與幾何的核心概念往往來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活，具有現(xiàn)實(shí)意義和較強(qiáng)的再生意義。而小學(xué)生受到認(rèn)知水平和抽象概括能力的限制，在認(rèn)識(shí)概念過(guò)程中缺乏對(duì)圖形與幾何概念體系的整體感知，以及對(duì)概念間內(nèi)在聯(lián)系的感知。因此，加強(qiáng)圖形與幾何核心概念教學(xué)，既要明確概念在不同階段的核心目標(biāo)，又要對(duì)概念的脈絡(luò)體系進(jìn)行追溯與溝通，避免出現(xiàn)知識(shí)斷層。

1.明晰概念的階段核心

數(shù)學(xué)概念本身有自己嚴(yán)密的邏輯體系，在一定情況下，一個(gè)概念的內(nèi)涵和外延是固定的，但是由于受客觀事物發(fā)展的影響，作為客觀事物本質(zhì)屬性的概念，也在不斷發(fā)展中。而在小學(xué)階段的概念教學(xué)，考慮到小學(xué)生的認(rèn)知水平和思維能力，往往是分階段進(jìn)行的。因此，圖形與幾何核心概念教學(xué)要切實(shí)把握概念的階段核心。

如“長(zhǎng)方體和立方體的認(rèn)識(shí)”在許多教材中是分兩階段教學(xué)的。在低年級(jí)，主要通過(guò)對(duì)長(zhǎng)方體、立方體實(shí)物和實(shí)物圖的初步感知（如魔方、紙盒、木塊、茶葉盒等），建立起對(duì)長(zhǎng)方體和立方體的感性認(rèn)知，即能判斷形狀以及名稱。然后通過(guò)觀察操作等，初步了解長(zhǎng)方體和正方體的特點(diǎn)，如有幾個(gè)面，分別是什么形狀，再?gòu)膶?shí)物中抽象出圖形（非透視圖）。在高年級(jí)時(shí)，教學(xué)仍從實(shí)物引入，學(xué)生通過(guò)觀察、自學(xué)和交流，了解長(zhǎng)方體的面、棱長(zhǎng)和頂點(diǎn)，知道棱長(zhǎng)數(shù)和幾個(gè)面，以及它們的特點(diǎn)，歸納長(zhǎng)方體的特征，再?gòu)膶?shí)物抽象出幾何圖形，形成正確的表象。

2.理清概念的脈絡(luò)結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)概念不是孤立存在的，它們?cè)诒举|(zhì)上都是有聯(lián)系的，因?yàn)閿?shù)學(xué)中的任何一個(gè)概念，只有與其他概念相聯(lián)系，才能生成和發(fā)展。引導(dǎo)學(xué)生明確這些概念之間的聯(lián)系，對(duì)概念理解有積極的促進(jìn)作用，在學(xué)習(xí)由核心概念衍生出的相關(guān)概念時(shí)不易導(dǎo)致概念模糊或概念混淆。

如筆者教學(xué)“平行四邊形”一課時(shí)，在學(xué)生明確平行四邊形的基本特征以及能判斷普通平行四邊形后，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑：長(zhǎng)方形和正方形是否是平行四邊形，為什么？學(xué)生通過(guò)猜想、測(cè)量以及辯論，最后得出結(jié)論，因?yàn)殚L(zhǎng)方形和正方形都有兩組或兩組以上對(duì)邊分別平行，因此是特殊的平行四邊形。最后將正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形和四邊形的關(guān)系用圖示法進(jìn)行歸納總結(jié)，從而使學(xué)生直觀感受數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系。

三、 化虛為實(shí)，刻畫概念的形成過(guò)程

小學(xué)生處于具體運(yùn)算階段，概念獲得主要通過(guò)概念形成和概念同化兩種方式來(lái)實(shí)現(xiàn)，其對(duì)概念的理解是建立在經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的自主建構(gòu)過(guò)程。因此在圖形與幾何的核心概念教學(xué)中，要給學(xué)生充分的觀察、操作機(jī)會(huì)，完整展現(xiàn)概念的發(fā)生、發(fā)展、形成過(guò)程，并經(jīng)歷“個(gè)性化”的定義過(guò)程，以便使學(xué)生對(duì)概念的自主建構(gòu)與自我理解成為可能。

1.操作與演示，感性積累中形成概念

圖形與幾何知識(shí)，無(wú)論是線、面、體的概念，還是圖形特征、性質(zhì)的概念都非常抽象，通過(guò)演示、動(dòng)手操作形成正確的數(shù)學(xué)模型，能使抽象的數(shù)學(xué)概念得以具體化。

如費(fèi)嶺峰老師在“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”一課中設(shè)計(jì)了四個(gè)環(huán)節(jié)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)。

環(huán)節(jié)一：從基本圖形中感知“一周的長(zhǎng)度”。這三個(gè)平面圖形（圖5）有沒有“一周的長(zhǎng)度”并指一指。教師順著學(xué)生指的用紅色線段將學(xué)生描的部分呈現(xiàn)出來(lái)，并揭示周長(zhǎng)的概念。

環(huán)節(jié)二：根據(jù)周長(zhǎng)概念判斷并描畫有關(guān)圖形。以下圖形有沒有周長(zhǎng)？如果有，請(qǐng)用彩色筆描出它的長(zhǎng)度。

環(huán)節(jié)三：測(cè)量?jī)蓚€(gè)基本圖形周長(zhǎng)，深刻體會(huì)“周長(zhǎng)”意義。（大屏幕留下三角形和圓）學(xué)生通過(guò)測(cè)量三邊長(zhǎng)度并相加得出求三角形周長(zhǎng)的辦法，學(xué)生想到用軟尺量、用線量圓形周長(zhǎng)再化曲為直量線的長(zhǎng)度，從而確定圓的周長(zhǎng)。

環(huán)節(jié)四：根據(jù)周長(zhǎng)長(zhǎng)度畫出相關(guān)圖形，在點(diǎn)子圖上設(shè)計(jì)一個(gè)周長(zhǎng)是10厘米的圖形。

通過(guò)這四個(gè)活動(dòng)，充分體現(xiàn)了教師在幫助學(xué)生建構(gòu)“周長(zhǎng)”概念時(shí)，為學(xué)生創(chuàng)造了豐富表象的機(jī)會(huì)，而這正是概念形成不可或缺的。

2.觀察與辨析，邏輯辨識(shí)中同化概念

圖形與幾何核心概念的同化，要滿足原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識(shí)與新概念有本質(zhì)上的聯(lián)系這一條件，并且對(duì)原有概念的理解清晰到位。學(xué)生通過(guò)觀察、辨析、想象等方式辨別兩者異同，從而使學(xué)生將新概念納入原有概念體系，形成概念網(wǎng)絡(luò)。

比如筆者在教學(xué)“平行四邊形的面積”時(shí)是這樣處理的：首先出示一個(gè)活動(dòng)的長(zhǎng)方形框架，輕推這個(gè)框架，依次得到兩個(gè)圖形（圖7），

教師提問：在這個(gè)演示過(guò)程中大家發(fā)現(xiàn)了什么？為什么這些圖形的面積會(huì)越來(lái)越??？從而使學(xué)生理解平行四邊形的面積與底和高有關(guān)系。再請(qǐng)學(xué)生猜想一下它們之間可能有什么關(guān)系？你打算怎樣計(jì)算平行四邊形的面積？學(xué)生通過(guò)知識(shí)的遷移，紛紛表示可以通過(guò)拼剪等方式，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，最后師生共同歸納得出結(jié)論：

當(dāng)然，本課教學(xué)需要學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方形和正方形的面積概念的形成過(guò)程清晰明確，從而實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)方形面積到平行四邊形面積的同化。

總之，核心概念教學(xué)應(yīng)該緊緊圍繞其本質(zhì)屬性，精心選擇，利用多種方法引導(dǎo)學(xué)生理解概念，讓學(xué)生多一些數(shù)學(xué)思想感受和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累，讓其真正在學(xué)生概念認(rèn)知結(jié)構(gòu)中扎根。

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】