章建斌
可以說證明兩條線段相等是初中幾何證明中比較基本的題目。證明兩條線段相等看似簡單,但所適用的定理也比較多,要想熟練掌握,其實(shí)也不是一件容易的事情,為此,現(xiàn)就從三角形相關(guān)知識出發(fā)進(jìn)行探究,僅供同學(xué)們參考。
一、利用兩三角形面積相等地,等底必等高,等高必等底證明
在三角形中需要證明等底或等高時(shí),可以利用面積相等證明。
[例1]求證:等腰三角形兩腰上的高相等。
證明:如圖1,在等腰中,作BD⊥AC于D,CE⊥AB于E
∵,而AB=AC,∴BD=CE
二、利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”證明線段相等
如果所證兩線段所在的圖形能構(gòu)成直角三角形,并且可能構(gòu)成斜邊及斜邊上的中線,用上面方法一時(shí)證不出來,可以考慮此法。
[例2]如圖2,正方形ABCD中,E、F分別為AB、BC的中點(diǎn),EC和DF相交于G,連接AG,求證:AG=AD。
證明:作DA、CE的延長線交于H
∵ABCD是正方形,E是AB的中點(diǎn)
∴AE=BE,∠AEH=∠BEC,∠EBC=∠EAH=90°
∴△AEH≌△BEC(ASA)∴AH=BC,AD=AH
又∵F是BC的中點(diǎn)
∴Rt△DFC≌Rt△CEB
∴∠DFC=∠CEB
∴∠GCF+∠GFC=∠ECB+∠CEB=90°
∴∠CGF=90 ∴DGH=∠CGF=90°
∴△DGH是Rt△ ∵AD=AH
∴AG==AD
三、利用等腰三角形三線合一證明線段相等
若要證明兩條線段在同一直線上并且有共同端點(diǎn),可以考慮此法。
[例3]如圖3,已知△ABC為Rt△,D為,DEAC于E,DF⊥BC于F。求證:AE=CE,BF=CF,證明:連結(jié)CD
∵D為RtABC的斜邊AB的中點(diǎn)
AD=CD=BD
∴△ADC與△CDB均為等腰三角形
又∵DE⊥AC,DF⊥BC
∴AE=CE,BF=CF.(等腰三角形底邊上的高線平分底邊)
四、利用等腰三角形的判定(等角對等邊)證明線段相等
如果兩條所證線段在同一三角形中,證全等一時(shí)難以證明,可以考慮用此法。
[例4]如圖4,
在△ABC中,∠ACB=90°,角平分線BE與高CD相于F,求證:CE=CF.
證明:在Rt△DBF與Rt△BCE中
∵∠DBF=∠CBF,∴∠DBF=∠CEF
又∵∠DBF=∠CFE,∴∠CFE=∠CEF
∴CE=CF(等邊對等角)
五、利用三角形內(nèi)心性質(zhì)證明線段相等
題中如有多條三角珙內(nèi)角角平分線,可以考慮是不是能用內(nèi)心的性質(zhì)。
[例5]如圖5,已知:△ABC中,AB=AC,AD是底邊BC上的中線,∠B、∠C的平分線交于H,求證:H到AB、BC、CA的距離相等。
證明:AB=AC,AD是BC邊上中線
∴AD平分∠ADC且AD⊥BC,而∠B、∠C的平分線交于H
∴H是△ABC內(nèi)心,∴所以H到AB、BC、CA的距離相等
六、利用全等三角形的性質(zhì)證明線段相等
利用全等三角形證明線段相等是比較常用方法。如果兩條線段分別在不同三角形中,它們所在三角形看似全等,或者通過簡單處理看似全等,可以優(yōu)先考慮此法。
[例6]如圖6,C是線段AB上一點(diǎn),△ACD和△BCE是等邊三角形。求證:AE=BD。
證明:∵△ACB和△BCE都是等邊三角形
∴∠ACD=60°,∠BCE=60°,∠DCE=60°
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=120°
∠BCD=∠BCE+∠DCE=120°
∴AC=CD,CE=CB
∴△ACE≌△DCB(SAS)
∴AE=DB
總之:證明線段相等的方法還有很多,如利用平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線,中垂線等等,方法眾多,不一一列舉,教師應(yīng)把握住幾何證明題的關(guān)鍵、尋找有價(jià)值的解題方法,因勢利導(dǎo)、另辟蹊徑,從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,為學(xué)生的成長奠定基礎(chǔ)。