控制系統(tǒng)蒙特卡洛方法應用分析

陳磊

摘要：鑒于蒙特卡洛方法在控制系統(tǒng)設計及分析中的廣泛應用，對蒙特卡洛仿真的工作流程及關(guān)鍵技術(shù)問題進行分析，并給出一種基于MTTLAB分布式計算引擎的控制系統(tǒng)蒙特卡洛仿真方案。

關(guān)鍵詞：控制系統(tǒng)；蒙特卡洛；分布式計算；項目管理器

DOIDOI：10.11907/rjdk.161500

中圖分類號：TP302

文獻標識碼：A 文章編號：1672-7800（2016）005-0010-03

0 引言

蒙特卡洛方法是利用隨機數(shù)進行統(tǒng)計試驗，求得統(tǒng)計特征值（如均值、概率等）作為待解問題的數(shù)值解，所作的統(tǒng)計試驗稱為蒙特卡洛仿真或者蒙特卡洛模擬。該方法是眾多研究不確定性傳遞的方法之一，目的是要確定不確定性（包括系統(tǒng)參數(shù)變化、建模誤差、外界擾動等）如何影響系統(tǒng)性能，其常用于復雜的非線性模型以及具有不確定參數(shù)的模型。

蒙特卡洛方法可以解決各種類型的問題，一般來說，該方法處理的問題可以分為兩類：第一類是確定性的數(shù)學問題。包括計算多重積分、求解逆矩陣、線性代數(shù)方程組、積分方程和微分算子的特征值等；第二類是隨機性問題，對于這類問題，有時可表示為多重積分或某些函數(shù)方程，并進而考慮用隨機抽樣方法求解。然而，一般情況下都不采用這種間接模擬方法，而是采用直接模擬方法，即根據(jù)實際物理情況的概率法則，首先建立一個與求所解有關(guān)的概率模型，使所求的解為所建立模型的概率分布或數(shù)學期望，然后對該模型進行隨機抽樣觀察，即產(chǎn)生隨機變量，最后用其算術(shù)平均值作為所求解的近似估計值。

當前，蒙特卡洛仿真及分析方法廣泛應用于控制系統(tǒng)設計及分析中，包括制導與控制系統(tǒng)設計缺陷的分析、軌道及特定飛行器參數(shù)的識別[1]；飛機魯棒性分析中實時穩(wěn)定裕度的測量[2]；魯棒自動著陸控制律的優(yōu)化設計[3][4]；電傳飛控系統(tǒng)的飛行品質(zhì)研究[5]等方面。本文對控制系統(tǒng)蒙特卡洛仿真的工作流程及關(guān)鍵問題進行分析，并給出一種控制系統(tǒng)的蒙特卡洛仿真方案。

1 蒙特卡洛仿真工作流程

Matlab環(huán)境下的蒙特卡洛仿真工作流程如圖1所示。

蒙特卡洛工作流程為：①首先確定系統(tǒng)仿真參數(shù)，仿真次數(shù)可以通過理論分析方法或試驗方法確定；②根據(jù)不確定性模型生成全部仿真所需的隨機偏差和初始狀態(tài)；③以預設的不確定偏差及初始狀態(tài)進行仿真調(diào)用，并記錄所需的結(jié)果及狀態(tài)數(shù)據(jù)；④仿真全部結(jié)束后，對記錄的數(shù)據(jù)進行分析，根據(jù)分析結(jié)果對仿真模型、控制系統(tǒng)設計進行相應的改進。在蒙特卡洛仿真過程中，需要重點考慮以下問題。

1.1 不確定性建模

大部分實際系統(tǒng)中總是包含有不確定性，蒙特卡洛仿真中需要采用隨機數(shù)進行統(tǒng)計試驗，所以需要建立系統(tǒng)不確定輸入的概率模型，即確定不確定輸入的分布類型。對于部分不確定性，根據(jù)經(jīng)驗或理論分析，可以知道其概率分布形式，但大部分情況概率分布是未知的。對于這類不確定性，較為普遍的方法是采用不確定性參數(shù)的標稱值均值的正態(tài)分布作為不確定性的概率模型。但有些情況下，不確定性明顯不服從正態(tài)分布，這就需要根據(jù)觀測樣本進行不確定性建模。

假定實際系統(tǒng)不確定性的觀測數(shù)據(jù)為互相獨立的隨機變量，不確定性建模步驟為：

（1）選擇概率分布類型。選擇概率分布的依據(jù)是隨機變量的知識以及占有的數(shù)據(jù)。很多情況下，可以根據(jù)先驗知識以及對產(chǎn)生該隨機變量過程的認識決定或者拒絕哪種分布。另外，數(shù)據(jù)對概率選擇具有決定性作用。一般有了足夠的數(shù)據(jù)就可以選擇出較好的概率分布，至少可以作出經(jīng)驗分布或者半經(jīng)驗分布，而且可以用數(shù)據(jù)檢驗所選擇概率分布的正確性。對于統(tǒng)計量連續(xù)分布的情況，可以采用點估計法、直方圖法和概率圖法確定隨機變量的概率分布類型。

（2）參數(shù)估計。初步確定概率分布類型后，需要確定出該分布的參數(shù)，常用的參數(shù)估計方法為矩估計法和極大似然估計法。

（3）擬合優(yōu)度檢驗。選擇參數(shù)分布類型，并估計具體參數(shù)后，應當進行分布的擬合優(yōu)度檢驗，即檢驗所選擇的具體分布是否符合給定的數(shù)據(jù)分布。擬合優(yōu)度檢驗是一種統(tǒng)計假設檢驗，用于檢驗觀測樣本是否服從于概率分布函數(shù)的理論分布。常用的擬合檢驗方法包括檢驗法和Kolmogorov-Smirnov檢驗法。

1.2 仿真調(diào)度機制

蒙特卡洛仿真通常需要將一個仿真任務執(zhí)行成千上萬次，要耗費大量的時間，使得系統(tǒng)設計周期過長，因此并行計算是進行蒙特卡洛仿真的一個必然選擇。Matlab的分布計算工具箱提供了利用計算機集群進行并行計算的功能。

分布計算工具箱通過MATLAB分布式計算引擎可支持開發(fā)能在多臺計算機上運行的分布式MATLAB計算應用程序，無需改換原有的MATLAB開發(fā)環(huán)境。用戶可先在MATLAB中完成計算程序的開發(fā)與調(diào)試，然后利用該工具箱將算法分解為多個相互獨立或相關(guān)的任務。MATLAB分布式計算引擎在多個遠程MATLAB進程中同步調(diào)度和處理這些任務，相比單一的MATLAB進程執(zhí)行，運行時間大大縮短。

MATLAB分布計算工具，仿真系統(tǒng)由以下部分組成：①客戶端：定義項目，將項目分解成多個任務，是用于進行MATLAB編程的計算機；②項目管理器：負責項目管理和任務分發(fā)，用戶可以通過項目管理器將項目提交到項目隊列以及將任務分發(fā)到工作機；③工作機：工作機接收項目管理器分配的任務，并進行計算。仿真系統(tǒng)各部分之間的交互如圖2所示。

Matlab分布計算工具應用分為分布式執(zhí)行以及并行計算，在應用分布計算工具進行蒙特卡洛仿真時，蒙特卡洛仿真作為用戶提交的項目，可以自然地分為各個單次仿真任務，各單次仿真相互獨立，因此屬于分布式執(zhí)行。

1.3 蒙特卡洛分析方法

對控制系統(tǒng)進行蒙特卡洛仿真本身不是目的，蒙特卡洛方法中重要的是應對蒙特卡洛仿真的結(jié)果進行充分有效的分析，使其能更好地服務于控制系統(tǒng)的設計及性能優(yōu)化。對控制系統(tǒng)可以開展以下幾方面的蒙特卡洛仿真分析。

（1）概率統(tǒng)計。首先確定任務成功的準則，然后通過蒙特卡洛仿真可以得到任務成功概率，能夠直接對控制系統(tǒng)的性能進行評價。

（2）仿真模型驗證。針對仿真模型中的某些錯誤和缺陷，單次仿真通常難以發(fā)現(xiàn)。因此對控制系統(tǒng)仿真模型，加入隨機擾動及隨機初始狀態(tài)，進行蒙特卡洛仿真。在進行系統(tǒng)驗證時，為充分暴露仿真系統(tǒng)的缺陷，設定的隨機擾動的幅值可大于正常擾動幅值。通過對仿真統(tǒng)計結(jié)果和失敗案例的概率分析，找出仿真系統(tǒng)的設計缺陷。

（3）控制系統(tǒng)靈敏度分析。采用靈敏度分析技術(shù)，確定特定輸出與隨機輸入變量之間的靈敏度。采用最小二乘估計回歸建立線性模型，使用多重測量的相關(guān)系數(shù)評估靈敏度。采用線性回歸方法搜索仿真輸入空間，找出對仿真輸出影響最大的變量。

（4）定量的系統(tǒng)魯棒性分析。采用蒙特卡洛方法計算系統(tǒng)的隨機魯棒性，得到定量的穩(wěn)定性描述。

（5）控制器參數(shù)優(yōu)化。在參數(shù)最優(yōu)化計算中，當目標函數(shù)為非線性、存在多峰值或維數(shù)較高時，往往受到限制。這時應用蒙特卡洛方法比較有效，包括隨機模擬算法，序貫隨機模擬算法及隨機搜索法等[6]。

（6）系統(tǒng)穩(wěn)定性及飛行品質(zhì)分析。對于電傳飛控系統(tǒng)，通?？己怂膭討B(tài)特性和飛行品質(zhì)，即輸入駕駛員桿指令，考察時間響應、短周期阻尼、CAP、延遲時間等品質(zhì)指標。

通過蒙特卡洛仿真，可獲得階躍響應時間常數(shù)、穩(wěn)態(tài)誤差、周期阻尼、CAP、延遲時間等指標的散布點，計算各品質(zhì)指標的數(shù)學期望、方差，可獲得飛行品質(zhì)的概率估計值。

2 控制系統(tǒng)蒙特卡洛仿真方案

本文建立一種基于MATLAB分布計算工具的蒙特卡洛仿真系統(tǒng)，主要由客戶端以及分布式計算機網(wǎng)絡構(gòu)成，仿真系統(tǒng)邏輯結(jié)構(gòu)如圖3所示。

2.1 客戶端

客戶端需安裝并啟用分布式計算引擎服務，并安裝MATLAB 分布計算工具箱，用于創(chuàng)建分布式仿真作業(yè)。用戶在客戶端計算機的Matlab中構(gòu)建Matlab仿真模型，創(chuàng)建蒙特卡洛仿真作業(yè)，并將作業(yè)提交給項目管理器，由分布式計算網(wǎng)絡進行并行的仿真計算?？蛻舳斯ぷ髁鞒倘鐖D4所示。

最終的系統(tǒng)仿真結(jié)果會返回到客戶端，因此蒙特卡洛分析工作也在客戶端計算機進行。

2.2 分布式計算網(wǎng)絡

分布式計算網(wǎng)絡中由仿真管理節(jié)點和若干仿真節(jié)點組成。 該網(wǎng)絡中的計算機都需要安裝并啟用MATLAB分布式計算引擎服務，管理節(jié)點運行作業(yè)管理器進程，仿真節(jié)點運行工作機進程。仿真管理節(jié)點負責仿真調(diào)度，它接收客戶端提交的作業(yè)，將作業(yè)所包含的仿真任務自動分配到各個仿真節(jié)點進行計算，收集各工作機的計算結(jié)果。所有任務完成后將仿真結(jié)果返回到客戶端。分布計算網(wǎng)絡環(huán)境下的蒙特卡洛仿真整體工作流程如圖5所示。

3 結(jié)語

可知蒙特卡洛方法本質(zhì)上是一種基于參數(shù)隨機抽樣的數(shù)值計算方法，通過這種方法得出的結(jié)果可信度基于兩個條件：①應建立可靠的數(shù)學模型，并將此數(shù)學模型與實際數(shù)據(jù)進行檢驗，盡可能在不使模型過于復雜的情況下令模型符合實際數(shù)據(jù)；②對模型中的隨機量分布有明確的了解，進而針對不同的分布采取合理的隨機抽樣方法。此外，如果條件許可，應該對計算得出的統(tǒng)計結(jié)果與實際對照。

蒙特卡洛方法由于能夠驗證復雜系統(tǒng)的環(huán)境變化、子系統(tǒng)、部件及全部參數(shù)同時變化下的系統(tǒng)特性，可以進行參數(shù)的遍歷性試驗，因此具有較高的可信度，目前在國內(nèi)外航空航天領(lǐng)域獲得廣泛應用，尤其在新型號飛行器控制系統(tǒng)的研制過程中，成為一種有效的、必備的檢測和驗證工具。

參考文獻：

[1]PEGGY S， WILLIAMS. A monte carlo dispersion analysis of the X-33 simulation software[Z].NASA Dryden Flight Research Center， AIAA，2001.

[2]JOHN T， BOSWORTH，SUSAN J STACHOWIAK.Real-time stability margin measurements for X-38 robustness analysis[Z].NASA Dryden Flight Research Center，2005.

[3]GERTJAN LOOYE， HANS-DIETER JOOS， DEHLIA WILLEMSEN.Application of an optimization-based design process for robust autoland control laws[Z].AIAA，2001.

[4]GHN， LOOYE，SANCHO，et al.Design of robust autoland control laws using mu-Synthesis[C].AIAA Guidance， Navigation， and Control Conference and Exhibit，2002.

[5]楊云，張平. 電傳飛控系統(tǒng)的蒙特卡洛分析與設計[J]. 航空學報， 2008，（29）：18-23.

[6]盧燕，舒?zhèn)髂? 蒙特卡洛法在導彈末制導雷達對目標的位置捕獲概率估計中的應用[J]. 戰(zhàn)術(shù)導彈技術(shù)， 2005（1）：29-33.

（責任編輯：陳福時）