山東寧陽第二實驗中學 王志豪 (郵編:271400)山東省泰安寧陽一中 蘇凡文 (郵編:271400)
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雙曲線化圓的兩個視角及其應用
山東寧陽第二實驗中學王志豪(郵編:271400)山東省泰安寧陽一中蘇凡文(郵編:271400)
我們知道,利用仿射變換可以將橢圓變換為圓,采用圓的性質(zhì)解決橢圓問題,但是極少見到將雙曲線仿射變換為圓的研究.一般來說,橢圓所具備的性質(zhì)雙曲線也具備.筆者經(jīng)過思考,從兩個視角談一下將雙曲線仿射變換為圓,利用圓的性質(zhì)解決雙曲線問題.想法不盡成熟,以期拋磚引玉,請同仁輔正.
1雙曲線化圓的兩個視角
視角一類比橢圓化圓將雙曲線化圓
視角二借助虛數(shù)單位i將雙曲線化圓
2兩視角下雙曲線化圓的應用
(1)利用直線與雙曲線的位置關系求參數(shù)取值范圍
例1若雙曲線x2-y2=1與直線y=kx-1有兩個不同的交點,求實數(shù)k的取值范圍.
解析視角一
視角二
(2)求雙曲線的切線方程
解析視角一
視角二
(3)雙曲線中的中點弦問題
解析視角一
視角二
仿射變換中有很多的變與不變,因仿射的角度不同,每種仿射下的“變與不變”也不相同,我們要充分利用“不變”的性質(zhì)解題,而“變”的性質(zhì)就決定了橢圓化圓、雙曲線化圓后,利用圓的性質(zhì)解題會有諸多的限制.例如中點弦問題,利用角度一仿射后,其中的一個“變”是雙曲線的弦中點不一定是圓的弦中點了,那么再利用圓的性質(zhì)求中點弦就不對了;其中的一個“不變”是點在雙曲線內(nèi)(外)經(jīng)仿射后仍然在圓內(nèi)(外),我們可以利用這個性質(zhì)判斷是否存在以此點為中點的弦.由此可見,利用仿射研究橢圓、雙曲線化圓問題仍有大量工作可做,希望各位數(shù)學同仁能夠加以補充.
參考文獻
1王敬賡,岳昌慶.關于雙曲線的“內(nèi)部”和“外部”的對話[J].數(shù)學通報,2014(12)
(收稿日期:2015-12-24)