湖北省陽新縣高級中學(xué) 鄒生書 (郵編:435200)
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一個猜想的再推廣及其拓展的簡證
湖北省陽新縣高級中學(xué)鄒生書(郵編:435200)
文[1]給出了如下不等式猜想:
文[2]證明了該猜想并對字母系數(shù)作了如下推廣:
推廣若正實數(shù)a、b、c∈(0,1),且a+b+c=1,且0<λ≤2,
文[3]對系數(shù)作了更加寬泛的如下再推廣:
再推廣若正實數(shù)a、b、c∈(0,1),且a+b+c=1,且λ≥-2,
文[4]在上述再推廣命題的基礎(chǔ)上,從常數(shù)和項數(shù)作了如下更具一般性的推廣:
(*)
文[4]又對再推廣的命題從指數(shù)作了如下拓展:
拓展若正實數(shù)a、b、c∈(0,1),且a+b+c=1,-2≤λ≤2,
文[5]在上述拓展的基礎(chǔ)上又從常數(shù)和項數(shù)作了如下推廣:
筆者認為這個拓展再推廣不等式中的指數(shù)與項數(shù)相等有點特殊不具一般性,稍作修改可得具有普遍性的較完美的不等式如下:
(**)
下面筆者對上述推廣后的一般性不等式(*)和完美不等式(**)給出簡證如下:
證明(一般性推廣)因為A>0,λ≥-A,ai∈(0,1),所以λai≥-Aai,
A+λai≥A-Aai=A(1-ai)>0.
由“Cauchy求反技術(shù)”和柯西不等式的變式,得
證明(完美不等式)因為A>0,-A≤λ≤A,ai∈(0,1),所以-Aai≤λai≤Aai.于是A+λai≥A-Aai=A(1-ai)>0,A-λai≥A-Aai=A(1-ai)>0.
由冪均不等式和不等式(**),得
不等式(**)是本文所有不等中最具一般性最為完美的一個不等式,在不等式(**)的條件下,其余不等式都是它的一個特例.比如:在不等式(**)中,當(dāng)m=n時,就是拓展再推廣中的不等式;當(dāng)m=A=2,n=3時,就是拓展中的不等式;當(dāng)m=1時,就是一般性推廣中的不等式.
參考文獻
1宋慶,周玉芽.關(guān)于證明不等式的一些思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2012(2)
2李韶.兩個猜想不等式的另證及推廣[J].數(shù)學(xué)通訊,2013(4)
3辛智文.一個猜想推廣命題的再推廣[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2013(11)
4石盛松.一個再推廣問題的思考[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2014(8)5王亞輝.簡證一個猜想的再推廣及拓展命題[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2015(7)
(收稿日期:2016-01-17)