浙江省湖州市雙林中學(xué)　　李建潮　　(郵編：313012)

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初數(shù)研究

關(guān)于Nesbitt不等式的上、下界

浙江省湖州市雙林中學(xué)李建潮(郵編：313012)

著名Nesbitt不等式：若a、b、c∈R+,則

①

(1963年莫斯科數(shù)學(xué)競賽試題)

本文探究Nesbitt不等式①(下界)的加強，并延探其上界不等式.

1Nesbitt不等式(下界)的加強

賽題 (1983年瑞士數(shù)學(xué)競賽試題)已知a、b、c∈R+,求證：

②

定理1 若 a、 b、c∈R+,則

③

也曾在《中等數(shù)學(xué)》2007年第9期上看到Nesbitt不等式另一加強形式：

已知a、b、c∈R+,則

定理2若a、b、c∈R+,則

④

為此，不妨先給出以下恒等式：

引理1設(shè)a、b、c∈R+,則有

⑤

⑥

證明

即

同理可得

以上三式相加，即得⑤式；

下面轉(zhuǎn)入定理2的證明：由a、b、c的對稱性，而不妨設(shè)a≥b≥c>0.則a2≥b2≥c2,

定理2得證.

2Nesbitt不等式的上界

2.1順手牽“羊”話上界

由引理1的⑤式，立馬得到：

據(jù)此，順手牽“羊”得到關(guān)于Nesbitt不等式的一個上界不等式：

定理3若a、b、c∈R+,則

⑦

⑧

2.1創(chuàng)建恒等式獲取新上界

仿照引理1，再次創(chuàng)建恒等式：

引理2 設(shè)a、b、c∈R+,則有

⑨

=a2+b2+c2+(bc+ca+ab)

下面根據(jù)引理2探索關(guān)于Nesbitt不等式的新上界不等式：

據(jù)此，得到關(guān)于Nesbitt不等式更強的新“上界”：

定理4若a、b、c∈R+,則

⑩

3讓Nesbitt不等式加強的“下界”無上界

利用三維Cauchy(柯西)不等式，有

定理5 若a、b、c∈R+,則

如若直接應(yīng)用作為恒等式的引理2，則將會是怎樣一番景象呢？三維Cauchy不等式應(yīng)用于⑨的右邊，有

定理6若a、b、c∈R+,則

由此可見，由前面“怪異”證法得到的定理5是一個關(guān)于Nesbitt不等式“下界”的優(yōu)美、和諧、精準、實用的不等式，而定理6則較定理5更科學(xué)化的了.

參考文獻

1李建潮. 兩個相關(guān)數(shù)學(xué)問題的加強[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2010(11)

(收稿日期：2016-01-25)