賀 偉

(南京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 南京 210046)

拓?fù)淙悍懂犙芯康娜舾蛇M(jìn)展

賀 偉

(南京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 南京 210046)

拓?fù)淙菏峭負(fù)浯鷶?shù)領(lǐng)域的重要研究對(duì)象，在調(diào)和分析、動(dòng)力系統(tǒng)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用.拓?fù)淙汉瓦B續(xù)群同態(tài)范疇具有許多重要且有趣的性質(zhì).介紹從范疇論角度研究拓?fù)淙悍懂牭娜舾蛇M(jìn)展.內(nèi)容涉及拓?fù)淙悍懂牭幕拘再|(zhì)、拓?fù)淙悍懂牭臏?zhǔn)緊反射、緊反射(Bohr緊化)、Raǐkov完備反射(Raǐkov完備化)、C-緊拓?fù)淙?、c-完備態(tài)射等.

拓?fù)淙? 連續(xù)群同態(tài); 準(zhǔn)緊群; 緊群; C-緊群; c-proper同態(tài); Raǐkov完備群

一個(gè)拓?fù)淙菏且粋€(gè)群(G,+)使得G同時(shí)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，并且加法運(yùn)算+:G×G→G和逆運(yùn)算-:G→G均連續(xù).拓?fù)淙菏峭負(fù)浯鷶?shù)領(lǐng)域的重要研究對(duì)象，在調(diào)和分析、動(dòng)力系統(tǒng)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用.關(guān)于拓?fù)淙汉瓦B續(xù)群同態(tài)范疇性質(zhì)的研究可以追溯到20世紀(jì)40年代，A. A. Markov[1]證明了任意給定拓?fù)淇臻g上的自由拓?fù)淙旱拇嬖谖ㄒ恍?，并用范疇論語(yǔ)言證明了Hausdorff拓?fù)淙悍懂牭酵負(fù)淇臻g范疇的遺忘函子存在左伴隨，并且當(dāng)限制到完全正則空間范疇時(shí)，伴隨的單位是一個(gè)閉嵌入.Markov的證明很復(fù)雜，隨后S. Kakutani[2]、P. Samuel[3]、以及T. Nakayama[4]簡(jiǎn)化了Markov的證明，其證明方法實(shí)質(zhì)上應(yīng)用了現(xiàn)在稱之為廣義伴隨函子定理.近年來從范疇論角度研究拓?fù)淙悍懂犘再|(zhì)得到了廣泛關(guān)注，例如拓?fù)淙旱腞aǐkov完備化、拓?fù)淙旱淖杂煞e、C-緊拓?fù)淙旱?本文從3個(gè)方面介紹該領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀(自由拓?fù)淙旱膬?nèi)容本文暫未涉及).文中用以下符號(hào)表示相關(guān)范疇.

Set為表示集合和映射范疇;Top為拓?fù)淇臻g和連續(xù)映射范疇;Gp為群與群同態(tài)范疇;TopGp2為Harsdorff拓?fù)淙汉瓦B續(xù)群同態(tài)范疇;TopAb2為Harsdorff拓?fù)浣粨Q群和連續(xù)群同態(tài)范疇;TopGp為拓?fù)淙汉瓦B續(xù)群同態(tài)范疇;TopAb為拓?fù)浣粨Q群和連續(xù)群同態(tài)范疇;CGp為緊拓?fù)淙汉瓦B續(xù)群同態(tài)范疇;PCGp為準(zhǔn)緊拓?fù)淙汉瓦B續(xù)群同態(tài)范疇.

關(guān)于拓?fù)淇臻g和拓?fù)淙旱南嚓P(guān)概念和事實(shí)請(qǐng)參考文獻(xiàn)[5-6],關(guān)于范疇論的有關(guān)概念和事實(shí)請(qǐng)參考文獻(xiàn)[7-8].

1 基本性質(zhì)

本節(jié)介紹拓?fù)淙悍懂牭囊恍┗拘再|(zhì)，包括單態(tài)射和滿態(tài)射的刻畫、嚴(yán)格單態(tài)射和嚴(yán)格滿態(tài)射的刻畫、拓?fù)淙悍懂牭某朔e、余積及其完備性和余完備性.

首先回顧幾個(gè)范疇論的相關(guān)概念.設(shè)C是一個(gè)范疇，f:A→B是C中的態(tài)射，如果對(duì)任意2個(gè)態(tài)射g:B→C,h:B→C滿足gf=hf蘊(yùn)含g=h，則稱f:A→B是一個(gè)滿態(tài)射.對(duì)偶地如果對(duì)任意2個(gè)態(tài)射g:D→A,h:D→A滿足fg=fh蘊(yùn)含g=h，則稱f:A→B是一個(gè)單態(tài)射.

設(shè)f:A→B是C中的單態(tài)射，并且滿足對(duì)任意的分解f=ge使得e是一個(gè)滿態(tài)射，則e是一個(gè)同構(gòu)，稱f:A→B是嚴(yán)格單態(tài)射.對(duì)偶地如果對(duì)f的任意分解f=mh使得m是單態(tài)射，則m是一個(gè)同構(gòu)，稱f:A→B是嚴(yán)格滿態(tài)射.以下定理參見文獻(xiàn)[9-11].

定理 1.1 范疇TopGp(TopAb)中的單態(tài)射是連續(xù)單同態(tài)；滿態(tài)射是連續(xù)滿同態(tài)；嚴(yán)格單態(tài)射是代數(shù)嵌入；嚴(yán)格滿態(tài)射是連續(xù)商同態(tài).

由群范疇的相關(guān)結(jié)果，該定理中關(guān)于單態(tài)射和嚴(yán)格單態(tài)射的證明比較簡(jiǎn)單，滿態(tài)射和嚴(yán)格滿態(tài)射的證明稍復(fù)雜.

對(duì)于Hausdorff拓?fù)淙悍懂?，不能再沿用拓?fù)淙悍懂犞械姆椒ǎ瑢?duì)于Hausdorff拓?fù)浣粨Q群范疇有下面好的性質(zhì).

定理 1.2 范疇TopAb2中的單態(tài)射是連續(xù)單同態(tài)；滿態(tài)射是連續(xù)稠密同態(tài)(即同態(tài)像在值域空間中稠密)；嚴(yán)格單態(tài)射是代數(shù)閉嵌入；嚴(yán)格滿態(tài)射是連續(xù)商同態(tài).

對(duì)于非交換的Hausdorff拓?fù)淙悍懂燭opGp2，可以證明其單態(tài)射是連續(xù)的單同態(tài)，嚴(yán)格滿態(tài)射是連續(xù)商同態(tài).但是范疇TopGp2中的滿態(tài)射是否連續(xù)稠密同態(tài)從20世紀(jì)60年代起一直是一個(gè)公開問題，直到1994年，V. V. Uspenskij[12-13]證明了該猜想是否定的.在此期間許多拓?fù)鋵W(xué)家討論了多種特殊情形，1970年,D. Poguntke[14]證明了緊拓?fù)淙悍懂犞械臐M態(tài)射是到上的映射,特別地E. Nummela[15]證明了對(duì)于局部緊群猜想是正確的，W. F. Lamartin[16]以及P. Nickolas[17]證明了對(duì)于k群猜想是正確的.

拓?fù)淙悍懂犞械某朔e就是乘積拓?fù)淙海o定一對(duì)連續(xù)群同態(tài)f:G→H與g:G→H，f與g的等值子就是拓?fù)渥尤簕a∈G|f(a)=g(a)}≤G，因此下面定理是明顯的.

定理 1.3 范疇TopGp(TopAb)都是良冪的、余良冪的完備范疇，遺忘函子TopGp→Top(TopAb→Top)保持極限.

對(duì)于Hausdorff群范疇有類似的結(jié)果.

定理 1.4 范疇TopGp2(TopAb2)都是良冪的、余良冪的完備范疇，遺忘函子TopGp→Top(TopAb→Top)保持極限.

拓?fù)淙悍懂牭挠鄻O限遠(yuǎn)比極限復(fù)雜，由文獻(xiàn)[18]的相關(guān)結(jié)果可知拓?fù)淙悍懂牶屯負(fù)銩bel群范疇均存在余極限，并且余極限的底群恰好就是群范疇中對(duì)應(yīng)圖表的余極限.

定理 1.5 范疇TopGp(TopAb)存在余極限，遺忘函子TopGp→Gp(TopAb→AbGp)保持余極限.

下面考慮拓?fù)淙悍懂犞械挠喾e問題，由定理1.5，范疇TopGp(TopAb)中的余積的底群是群范疇中的余積(又稱自由積).首先回顧群自由積的構(gòu)造.

(x1…xn)·(y1…ym)=x1…xn·y1…ym

是一個(gè)群，稱之為{Gs}i∈S的自由積，從范疇論角度就是{Gs}i∈S的余積.

定理 1.6 設(shè){Gi}i∈I是一族拓?fù)淙海瑊Gi}i∈I的余積co∏Gi存在，使得co∏Gi的底群是{Gi}i∈I的自由積，拓?fù)涫怯赏渡渥錑i→co∏Gi,i∈I生成的最終拓?fù)?，即使得每個(gè)投射連續(xù)的最細(xì)的拓?fù)?

但是很難給出拓?fù)淙河喾e的拓?fù)渲苯用枋?

文獻(xiàn)[19-21]中討論了拓?fù)淙河喾e(或稱自由積)的若干性質(zhì)，但是很難給出拓?fù)淙河喾e的拓?fù)涿鞔_描述.

問題 1.7 如何給出拓?fù)淙河喾e的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的明確刻畫?

對(duì)于拓?fù)浣粨Q群，2002年P(guān).Nickolas在文獻(xiàn)[22]中給出了拓?fù)銩bel群余積拓?fù)涞拿鞔_刻畫.

Nickolas在co∏Gs上構(gòu)造了如下余積拓?fù)洌?/p>

首先對(duì)于一個(gè)給定的拓?fù)淙篏，{Un}n∈Z+是單位元eG的一個(gè)開鄰域序列，如果U1?U2?…，稱{Un}n∈Z+是G的一個(gè)遞減序列.設(shè)是是G的一族遞減序列，且滿足下列條件：

(U1) eG的任意開鄰域U，存在{Un}∈使得U1?U；

(U2) 任意{Un}∈，存在{Vn}∈使得對(duì)任意的自然數(shù)n,Vn?Un+1；

(U3) 任意{Un}∈，存在{Vn}∈使得得對(duì)任意的自然數(shù)?Un；

(U4) 任意{Un}∈，存在{Vn}∈使得得對(duì)任意的自然數(shù)?Un；

(U5) 任意{Un}∈以及{Vn}∈，存在{Wn}∈使得得對(duì)任意的自然數(shù)n,Wn?Un∩Vn,

給定一個(gè)遞減序列U={Un}以及x∈G，定義：

設(shè){Gs}i∈S是一族拓?fù)銩bel群，co∏Gs是其自由積.對(duì)于每個(gè)s∈S，若s是Gs的一個(gè)相容的遞減序列族.對(duì)任意的s，記

2 拓?fù)淙悍懂牭姆瓷渥臃懂?/h2>

回顧反射子范疇的概念.設(shè)范疇A是C的滿子范疇，如果對(duì)C中任意對(duì)象B∈obC，存在A中對(duì)象A∈obA以及C中態(tài)射r:B→A(反射態(tài)射)使得對(duì)任意的g:B→A′，其中A′∈obA，存在A中唯一的態(tài)射h:A→A′滿足g=rh，即下面圖表交換

則稱A是C的反射子范疇.如果每個(gè)反射態(tài)射r:B→A都是滿態(tài)射，則稱A是C的滿反射子范疇.下面定理是范疇論經(jīng)典結(jié)果.

定理 2.1 設(shè)范疇A是C的滿子范疇，C具有(滿態(tài)射，嚴(yán)格單態(tài)射)分解結(jié)構(gòu).則A是C的滿反射子范疇當(dāng)且僅當(dāng)A對(duì)乘積和嚴(yán)格單子對(duì)象運(yùn)算封閉.

考慮到拓?fù)淙悍懂燭opGp以及拓?fù)浣粨Q群范疇TopAb都具有(滿態(tài)射，嚴(yán)格單態(tài)射)分解結(jié)構(gòu)，有下面定理.

定理 2.2 拓?fù)淙悍懂燭opGp(拓?fù)浣粨Q群范疇TopAb)的一個(gè)滿子范疇A是TopGp(TopAb)的滿反射子范疇當(dāng)且僅當(dāng)A對(duì)乘積和子拓?fù)淙悍忾].

由于Hausdorff性關(guān)于乘積和子拓?fù)淙悍忾]，因此Hausdorff拓?fù)淙悍懂燭opGp2是拓?fù)淙悍懂牭臐M反射子范疇.由于對(duì)于拓?fù)淙篢1分離性等價(jià)于完全正則性，因此Hausdorff反射等價(jià)于T1反射等價(jià)于完全正則反射，該反射非常簡(jiǎn)單.

設(shè)G是一個(gè)拓?fù)淙?，考慮商拓?fù)淙篏/{eG}-以及同態(tài)q:G→G/{eG}-，容易驗(yàn)證G/{eG}-是Hausdorff拓?fù)淙翰⑶疑掏瑧B(tài)q:G→G/{eG}-是G的Hausdorff反射.

注 2.1 如果群(G,+)同時(shí)是一個(gè)拓?fù)淇臻g使得加法運(yùn)算+:G×G→G連續(xù)，則稱G是一個(gè)仿拓?fù)淙?如果群(G,+)同時(shí)是一個(gè)拓?fù)淇臻g使得對(duì)任意的x∈G，左平移運(yùn)算λx:G→G,λx(a)=x+a,a∈G連續(xù)(任意的x∈G，右平移運(yùn)算μx:G→G,μx(a)=a+x,a∈G連續(xù))則稱G是一個(gè)左半(右半)拓?fù)淙?如果G既是左半拓?fù)淙河质怯野胪負(fù)淙?，則稱G是半拓?fù)淙?由于仿拓?fù)淙旱腡1分離性、Hausdorff分離性以及正則分離性互不等價(jià)，近年來許多學(xué)者研究仿拓?fù)淙汉桶胪負(fù)淙旱腡1反射、Hausdorff反射、正則反射以及完全正則反射.

推論 2.3 準(zhǔn)緊拓?fù)淙悍懂牶途o拓?fù)淙悍懂牼峭負(fù)淙悍懂牭臐M反射子范疇.

事實(shí)上可以給出拓?fù)淙簻?zhǔn)緊反射以及緊反射的具體構(gòu)造.由于Hausdorff拓?fù)淙悍懂燭opGp2是拓?fù)淙悍懂牭臐M反射子范疇，而反射是可復(fù)合的，因此只需考慮Hausdorff群.

記Υ=∏nU(n),其中U(n)是拓?fù)淙篏Ln(C)中所有行列式絕對(duì)值為1的n×n矩陣子群.由Peter-Weyl定理，對(duì)任意一個(gè)緊群K，所有的連續(xù)同態(tài)K→Υ分離K中的點(diǎn)(參見文獻(xiàn)[23])，因此任意一個(gè)緊群可以代數(shù)嵌入到Υ的某個(gè)冪.

引理 2.4 設(shè)G是一個(gè)Hausdorff拓?fù)淙?，記G∧是G到Υ的所有連續(xù)群同態(tài)集合，下面命題等價(jià):

1) (G,τ)是準(zhǔn)緊群；

3)G上由G∧誘導(dǎo)的拓?fù)涫荋ausdorff的并且與原拓?fù)湎嗤?

推論 2.5 準(zhǔn)緊群范疇PCGrp是Υ在TopGrp中的滿反射殼.

設(shè)G是一個(gè)拓?fù)淙?，U∈N(eG)是單位元eG的一個(gè)開鄰域，若存在連續(xù)群同態(tài)f:G→Υ以及V∈N(eΥ)使得U=f-1(V)，則稱U是態(tài)射開集.

記N(G)=∩{U?G|U是態(tài)射開集,eG∈U}.

引理 2.6N(G)是G的閉的正規(guī)子群.

在交換群情形下N(G)被稱為von Neumann核.

定理 2.7qG:G→ρG是G的準(zhǔn)緊反射.

G的準(zhǔn)緊反射也可以換一種途徑得到.記G+為群G賦予Bohr拓?fù)?，即由所有從G到Υ的連續(xù)同態(tài)生成的拓?fù)?，由引?.4，G+是全有界的.容易驗(yàn)證恒同映射G→G+是G的全有界反射.由反射具有復(fù)合性可知復(fù)合G→G+→G+/{eG}-是G的準(zhǔn)緊反射.

記μG=σρG是ρG的Raǐkov完備化，μ:G→μG為復(fù)合σρG·qG:G→μG.則下面結(jié)果明顯.

定理 2.8μ:G→μG是G的緊反射.

3 C-緊拓?fù)淙汉蚦-完備同態(tài)

在滿足一定條件的范疇中，人們可以完全從范疇論角度定義對(duì)象的分離性、緊性以及態(tài)射的完備性等類似于拓?fù)淇臻g范疇的性質(zhì)[24-25].在拓?fù)淇臻g范疇中，由著名的Kuratowski-Mrowka定理，空間X是緊空間當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意拓?fù)淇臻gZ，投影X×Z→Z是閉映射.D. N. Dikranjan等[26]應(yīng)用Kuratowski-Mrowka定理在Hausdorff拓?fù)淙悍懂犞幸肓朔懂牼o拓?fù)淙?簡(jiǎn)稱C-緊群)的概念.

定義 3.1 設(shè)G是一個(gè)Hausdorff拓?fù)淙?，如果?duì)任意的Hausdorff拓?fù)淙篐，投影G×H→H將閉子群映為閉子群，則稱G是一個(gè)范疇緊拓?fù)淙?簡(jiǎn)稱C-緊群).

如果一個(gè)連續(xù)群同態(tài)將定義域空間的閉子群映為值域空間的閉子群，則稱該映射為c-閉同態(tài).因此上述定義中的投影可改為是c-閉的.

緊群當(dāng)然是C-緊群，反之是否每個(gè)C-緊拓?fù)淙憾际蔷o的?2013年，A. A. Klyachko等[27]證明了存在可數(shù)以及不可數(shù)的C-緊的離散拓?fù)淙海瑥亩穸ɑ卮鹆嗽搯栴}.

C-緊群在任意連續(xù)群同態(tài)下的像是Raǐkov完備的，但反之不對(duì)，因此可以引入以下概念.

定義 3.2 設(shè)G是一個(gè)拓?fù)淙?，如果?duì)任意的連續(xù)滿同態(tài)f:G→H，H都是Raǐkov完備的(等價(jià)地對(duì)任意的連續(xù)群同態(tài)h:G→K，f(G)是K的閉子群)，則稱G是h-complete群.

任意一個(gè)C-緊群是h-complete群，但反之不成立，進(jìn)一步C-緊群的任意閉子群是C-緊的，有以下公開問題.

問題 3.3 如果拓?fù)淙篏的任意閉子群都是h-complete群，G是否是C-緊的?

對(duì)于交換群有以下結(jié)果.

定理 3.4 設(shè)G是一個(gè)拓?fù)銩bel群，則以下命題等價(jià)：

1)G是h-complete群；

2)G是C-緊群；

3)G是緊群.

C-緊群的任意乘積仍是C-緊群，C-緊群對(duì)于閉子群具有遺傳性，因此可以用通常的方法(類似于自由拓?fù)淙旱拇嬖谖ㄒ恍宰C明)證明以下結(jié)果.

定理 3.5 C-緊群范疇是拓?fù)淙悍懂牭臐M反射子范疇.

不同于緊群有萬有群Υ，C-緊群的表現(xiàn)更復(fù)雜，甚至存在無群的離散的C-緊群，因此不能像構(gòu)造緊群反射那樣構(gòu)造C-緊群反射.

問題 3.6 如何給出拓?fù)淙旱腃-緊群反射的明確刻畫?

從映射角度，與緊空間相對(duì)應(yīng)的就是完備映射.類似于Kuratowski-Mrowka定理，關(guān)于完備映射有以下經(jīng)典刻畫定理.

定理 3.7 設(shè)X與Y是Hausdorff空間，f:X→Y是連續(xù)映射，下面命題等價(jià)：

1)f是完備映射；

2) 對(duì)任意空間Z，乘積映射f×idZ:X×Z→Y×Z是閉映射；

3)f沿著任意連續(xù)映射g:K→Y的拉回是閉映射.

最近，W. He等[28]合作在拓?fù)淙悍懂?不假設(shè)Hausdorff性)中引入了c-proper和h-complete映射，從而將C-緊群和c-complete群的概念提升到映射角度.

設(shè)f:X→Y是一個(gè)連續(xù)映射，如果對(duì)角映射δf:X→X×YX是一個(gè)閉映射(等價(jià)地，對(duì)任意的y∈Y,纖維f-1(y)是X的Hausdorff子空間)，則f稱為Hausdorff(或纖維Hausdorff).顯然拓?fù)淇臻gX是Hausdorff的當(dāng)且僅當(dāng)常值映射f:X→1是纖維Hausdorff的，其中1表示單點(diǎn)空間.纖維Hausdorff性是空間的Hausdorff性在映射水平上的提升.

定義 3.8 設(shè)f:G→H是連續(xù)群同態(tài).

1) 如果對(duì)任意的連續(xù)群同態(tài)g:K→H,f沿著g的拉回是c-閉的，則稱f:G→H是一個(gè)c-proper同態(tài)；

2) 如果f:G→H是c-proper態(tài)射同時(shí)f是Hausdorff的，則稱f:G→H是一個(gè)c-完備同態(tài).

從以上定義容易看出，拓?fù)淙篏是C-緊的當(dāng)且僅當(dāng)常值映射f:G→1是c-完備的.c-proper同態(tài)和c-完備同態(tài)具有許多類似于C-緊群的性質(zhì)和刻畫(參看文獻(xiàn)[28]).

定理 3.9f:G→H是連續(xù)群同態(tài)，H是Hausdorff群.則f:G→H是c-proper同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的拓?fù)淙篕，乘積映射f×idK:G×K→H×K是c-閉的.

也可以將h-complete群的概念提升到態(tài)射的水平.

定理 3.10 設(shè)f:G→H是連續(xù)群同態(tài).

1) 如果對(duì)f:G→H的任意分解,

其中K是Hausdorff的，都有G在h下的像h(G)≤K是K的閉子群，則稱f:G→H是h-complete同態(tài).

2) 如果對(duì)f:G→H的任意分解f=k·h，其中k是Hausdorff的，都有h是c-閉的，則稱f:G→H是c-complete同態(tài).

3) 如果常值映射f:G→1是c-complete同態(tài)，則稱G是一個(gè)c-complete群.

容易驗(yàn)證拓?fù)淙篏是h-完備的當(dāng)且僅當(dāng)G是Hausdorff的且常值映射f:G→1是h-完備的，任意一個(gè)c-proper同態(tài)是c-complete同態(tài)，任意一個(gè)c-complete同態(tài)是h-complete同態(tài)，任意一個(gè)c-complete同態(tài)是c-閉的，但反之不成立.

問題 3.11 h-complete同態(tài)是否一定是c-complete同態(tài)?特別地是否存在一個(gè)h-complete的Hausdorff拓?fù)淙翰皇莄-complete群?

問題 3.12 設(shè)f:G→H是連續(xù)群同態(tài)，滿足對(duì)任意的閉子群k≤G，限制映射f|K:K→H是h-complete，f:G→H是否c-proper同態(tài)?

如果連續(xù)群同態(tài)f:G→H沿著任意連續(xù)群同態(tài)的拉回都是h-complete同態(tài)，稱f:G→H是穩(wěn)定h-complete同態(tài).

問題 3.13 設(shè)f:G→H是穩(wěn)定的h-complete同態(tài)，f:G→H是否c-proper同態(tài)?

對(duì)于Hausdorff拓?fù)浣粨Q群，C-緊群等價(jià)于緊群，也等價(jià)于h-complete群.下面是一個(gè)自然的問題.

問題 3.14 設(shè)f:G→H是連續(xù)群同態(tài)，其中G與H是Abel群.若f:G→H是c-proper同態(tài)，f:G→H是否是完備映射?進(jìn)一步若f:G→H是h-complete同態(tài)，f:G→H是否是完備映射?

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2010 MSC：18B05; 18B10; 18D35

(編輯 周 俊)

Some Progresses on the Category of Topological Groups

HE Wei

(School of Mathematics, Nanjing Normal University, Nanjing 210097, Jiangsu)

Topological groups are important research objects in the field of topological algebras, and they are applied to many fields such as harmonic analysis, dynamic systems, etc. The category of topological groups has many interesting properties. This paper is a survey of some results on the category of topological groups. The content includes some basic categorical properties, the precompact reflections of topological groups, the compact reflections of topological groups (the Bohr compactification), Raǐkov completions, C-compact groups and c-proper homomorphisms.

topological group; continuous homomorphism; precompact group; compact group; C-compact group; c-proper homomorphism; Raǐkov completion

2016-08-30

國(guó)家自然科學(xué)基金(11571175)

賀 偉(1964—),男,教授,主要從事Locale理論、Topos理論、拓?fù)鋵W(xué)(范疇拓?fù)?、拓?fù)浯鷶?shù))、范疇論、格論、不確定性理論的研究,E-mail:weihe@njnu.edu.cn

O154.1

A

1001-8395(2016)06-0915-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2016.06.026