宋修朝李建全楊亞莉

(1-空軍工程大學(xué)理學(xué)院，西安 710051;2-陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710062)

1 引言

由Kermack和Mckendrick在1927年提出的倉室模型[1]是迄今為止研究傳染病動(dòng)力學(xué)的最基本的模型.目前，大多數(shù)模型仍假設(shè)發(fā)生率為雙線性型的或標(biāo)準(zhǔn)型的[1-3].鑒于很多傳染病的傳播機(jī)制并沒有完全為人所知，所以近年來具有非線性發(fā)生率的傳染病模型越來越受到重視[4-10]，其中文獻(xiàn)[4–7]考慮了非線性發(fā)生率為(q和p是正數(shù))的傳染病模型，文獻(xiàn)[8–10]考慮了非線性發(fā)生率為g(I)S的傳染病模型.Korobeinikov和Maini[11]研究了非線性發(fā)生率為f(S,I,N)的傳染病模型，函數(shù)f(S,I,N)滿足如下條件：

1)

2)對于所有的S,I＞0;

3)對所有的S,I＞0.

該文在一定條件下，證明了模型的全局穩(wěn)定性.

文獻(xiàn)[9]考慮了非線性發(fā)生率為g(I)S的時(shí)滯的SEIR傳染病模型，其中β表示一個(gè)染病者的傳染能力，1/(1+εI)表示當(dāng)染病者I數(shù)目增加時(shí)其對發(fā)生率的影響.文獻(xiàn)[10]考慮了非線性發(fā)生率也為g(I)S的SIRS傳染病模型，其中(H是正數(shù)).顯然，g(I)都滿足

所以，我們將考慮一類具有形式為f(S)g(I)的非線性發(fā)生率的SEIR傳染病模型，其中函數(shù)f(S)和g(I)滿足如下條件：

本文考慮的模型是對文獻(xiàn)[9]中所考慮模型的發(fā)生率的推廣，也是對文獻(xiàn)[10]中所考慮模型的推廣，并且得到了模型全局穩(wěn)定性的充要條件.在文獻(xiàn)[12]中，作者提出了證明具有雙線性發(fā)生率的傳染病模型的全局穩(wěn)定性的一種代數(shù)方法.我們將利用此代數(shù)方法證明本文的主要結(jié)論.

2 模型及平衡點(diǎn)的存在性

考慮如下傳染病模型

在模型(1)中，總?cè)丝诜譃樗膫€(gè)倉室：易感者S(t)、潛伏者E(t)、傳染者I(t)和恢復(fù)者R(t).μA是總?cè)丝诘某?shù)輸入；μ是自然死亡率；q是潛伏者向傳染者的轉(zhuǎn)換率；γ是傳染者的恢復(fù)率；α是因病死亡率.函數(shù)f(S)和g(I)滿足條件(i),(ii)和(iii).

模型(1)中前三個(gè)方程與R無關(guān)，因此，考慮如下子系統(tǒng)

由于

所以系統(tǒng)(2)的初值在R3+中的解的非負(fù)性得到了保證.將系統(tǒng)(2)的三個(gè)方程相加可得

則

因此，集合是系統(tǒng)(2)的一個(gè)正不變集.

顯然系統(tǒng)(2)總存在一個(gè)無病平衡點(diǎn)P0(A,0,0).利用再生矩陣[13]可求得系統(tǒng)(2)的基本再生數(shù)

系統(tǒng)(2)的地方病平衡點(diǎn)由方程組

確定.由(3)的最后一個(gè)方程可得

將(3)的前兩個(gè)方程相加得

所以

為了保證S＞0，只需

當(dāng)I/=0時(shí)，由(3)的第二個(gè)方程和(4)可知

將(5)代入(6)，得

令

因?yàn)閒′(S)＞0，所以當(dāng)

時(shí)，函數(shù)F(I)是遞減的，并且

由條件(ii)和(iii)可知：函數(shù)G(I)是遞增的，并且

所以當(dāng)R0＞1，即

時(shí)，方程(7)存在唯一的正根I?，且

當(dāng)R0≤1時(shí)，方程(7)不存在正根.此時(shí)，系統(tǒng)(2)不存在地方病平衡點(diǎn).所以我們有如下結(jié)論：

定理1系統(tǒng)(2)總存在一個(gè)無病平衡點(diǎn)當(dāng)除了外，系統(tǒng)(2)還存在唯一的一個(gè)地方病平衡點(diǎn)其中

I?是方程(7)在區(qū)間內(nèi)的正根.

3 平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

在本節(jié)中，我們將證明系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性.第一個(gè)結(jié)論是：

定理2當(dāng)R0≤1時(shí)，系統(tǒng)(2)的無病平衡點(diǎn)P0(A,0,0)是全局穩(wěn)定的；當(dāng)R0＞1時(shí)，P0是不穩(wěn)定的.

證明 構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

計(jì)算L1沿系統(tǒng)(2)解的全導(dǎo)數(shù)得

由條件(ii)和(iii)知

所以

因?yàn)閷τ谌我獾腟＞0，都有所以當(dāng)S＞0時(shí)，

成立.故當(dāng)時(shí)，又因?yàn)?/p>

所以系統(tǒng)(2)在集合上的最大不變集是單點(diǎn)集

因此，由LaSalle不變性原理[14]可知：當(dāng)R0≤1時(shí)，無病平衡點(diǎn)P0(A,0,0)在集合?上是全局穩(wěn)定的.

系統(tǒng)(2)在P0處的雅可比矩陣為

顯然，?μ是矩陣J(P0)的一個(gè)負(fù)特征根，它的另外兩個(gè)特征根分別是如下矩陣的特征根

而trA＜0.當(dāng)R0＞1時(shí)，detA＜0，所以矩陣A存在一個(gè)正特征值，故當(dāng)R0＞1時(shí)，P0是不穩(wěn)定的.

本節(jié)的第二個(gè)結(jié)論是：

定理3當(dāng)R0＞1時(shí)，系統(tǒng)(2)唯一的地方病平衡點(diǎn)在?的內(nèi)部是全局穩(wěn)定的.

證明 構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

計(jì)算L2沿系統(tǒng)(2)解的全導(dǎo)數(shù)得

利用(3)可得到

為了書寫簡單，記

則

再次利用等式可得

由條件(ii)，可知以下兩個(gè)式子成立

即

我們知道若干個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù)，所以

成立.由上可知是負(fù)定的，利用李雅普諾夫直接方法[15]可知：當(dāng)R0＞1時(shí)，系統(tǒng)(2)唯一的地方病平衡點(diǎn)在?的內(nèi)部是全局穩(wěn)定的.

4 討論

考慮了一類具有非線性發(fā)生率的SEIR傳染病模型.利用再生矩陣的方法得到了基本再生數(shù)，直接計(jì)算得到了平衡點(diǎn)的存在性.通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)，理論上證明了當(dāng)R0≤1時(shí)，無病平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定的；當(dāng)R0＞1時(shí)，地方病平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定的.

為了更直觀的描述系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，應(yīng)用Matlab軟件對系統(tǒng)(2)進(jìn)行數(shù)值模擬.不妨取

易證f(S),g(I)滿足條件(i),(ii)和(iii)，進(jìn)一步，選取各參數(shù)分別為

則R0=0.26＜1，此時(shí)以三組初值分別為(0.6,0.4,0.3),(0.4,0.5,0.1)和進(jìn)行數(shù)值模擬，如圖1(a).可見當(dāng)時(shí)，三條軌線都趨于同時(shí)我們也對應(yīng)給出了傳染者I(t)的變化曲線，如圖1(b).此時(shí)傳染者即疾病最終滅亡.當(dāng)β值取為0.2，其他參數(shù)值和初值不變，則相應(yīng)的基本再生數(shù)再進(jìn)行數(shù)值模擬，如圖2(a).在這種情形下當(dāng)時(shí)，三條軌線都趨于地方病平衡點(diǎn).同樣，我們也對應(yīng)給出了傳染者I(t)的變化曲線，如圖2(b).此時(shí)傳染者，即形成地方病.這與本文所得定性分析結(jié)果一致.這里所用的發(fā)生率是已有文獻(xiàn)中不曾見到的.

本文所考慮的非線性發(fā)生率是通過對文獻(xiàn)[8–10]中的發(fā)生率的歸納、總結(jié)、推廣而得到的，具有較好的一般性.我們采用了文獻(xiàn)[12]提出的代數(shù)方法成功證明了地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性，所以說本文將文獻(xiàn)[12]提出的證明具有雙線性發(fā)生率的傳染病模型全局穩(wěn)定性的代數(shù)方法推廣到了更一般地具有非線性發(fā)生率的傳染病模型中.

此外，在文獻(xiàn)[16]中，作者假設(shè)，顯然，此時(shí)條件不再成立.受此啟發(fā)，我們將在以后的工作中考慮在沒有條件下，系統(tǒng)(2)的全局穩(wěn)定性.

圖1:R0＜1時(shí)無病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

圖2:R0＞1時(shí)地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

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