曹松峰

一、數(shù)與式

數(shù)與式部分的內(nèi)容具有概念多、算理算法多、層層遞進(jìn)的突出特點(diǎn).實(shí)數(shù)與整式的化簡(jiǎn)求值具有相通性，都是恒等變形，所有運(yùn)算推理中出現(xiàn)的錯(cuò)誤都是與基本概念或法則相悖，破壞了變形過程中的恒等性，具體說來，實(shí)數(shù)概念的易混點(diǎn)是相反數(shù)與倒數(shù)的區(qū)別以及絕對(duì)值、平方根、算術(shù)平方根的概念等，整式加減法的實(shí)質(zhì)是去括號(hào)與合并同類項(xiàng)，冪的運(yùn)算是整式乘除法的基礎(chǔ)，而整式乘法是對(duì)有理數(shù)的乘法、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方等法則以及加法、乘法運(yùn)算律的綜合運(yùn)用，運(yùn)算推理過程中，須注意去（添）括號(hào)、合并同類項(xiàng)時(shí)數(shù)字符號(hào)的優(yōu)先確定，自覺遵守運(yùn)算順序，正確運(yùn)用混合運(yùn)算法則等.實(shí)數(shù)的估值則應(yīng)把握題目對(duì)精確度的要求，因式分解要正確提取公因式和運(yùn)用乘法公式.下面舉例進(jìn)行分析.

（一）冪的運(yùn)算

1.混淆同底數(shù)冪的乘法與合并同類項(xiàng)

例1下列計(jì)算中，正確的是（）

A. b⁵+b⁵=b¹⁰

B.a³·a³ =2a³

C.a²·a³ =a^<6/sup>

D.a²·a³=a⁵

錯(cuò)解：A或B或C.

錯(cuò)解分析：A錯(cuò)在合并同類項(xiàng)將指數(shù)相加；B錯(cuò)在同底數(shù)冪相乘未將指數(shù)相加；C錯(cuò)在把指數(shù)相乘.

解：D.

評(píng)注：合并同類項(xiàng)，同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母及字母的指數(shù)不變；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加而不是相乘.

2.誤用積的乘方法則

例2下列計(jì)算的結(jié)果正確的是（）

A.（-5xy）³=125x³y³

B.（-3a）³=3a³

C.（3+4）²=3²+4²=25

D.（-3x²）³ （2x³）²=108x¹²

錯(cuò)解：A或B或C.

錯(cuò)解分析：A，B錯(cuò)在沒有將-1，-3乘方；C將積的乘方法則誤用到和的平方中，

解：D.

評(píng)注：積的乘方應(yīng)等于積中各因式乘方的積.

3.誤用同底數(shù)冪的除法法則

例3下列運(yùn)算正確的是（）

A.-a⁵÷（-a）³=-a²

B.x⁶÷x⁶=0

C.x²⁰÷X²=x¹⁰

D.x²⁰÷x² =x¹⁸

錯(cuò)解：A或B或C.

錯(cuò)解分析：A錯(cuò)把-a的冪當(dāng)成n的冪計(jì)算；B誤將x⁰中的指數(shù)0當(dāng)成最后結(jié)果；C錯(cuò)把指數(shù)相除，

解：D.

4.誤解同底數(shù)冪的含義

例4計(jì)算：-a⁸·（-a）⁸.

錯(cuò)解1：-a⁸·（-a）⁸=（-a）⁸⁺⁸=（-a）¹⁶=a¹⁶.

錯(cuò)解2：-a⁸·（-a）⁸=a⁸·（-a⁸）=a¹⁶.

錯(cuò)解分析：對(duì)同底數(shù)冪的概念、運(yùn)算法則理解有誤，

解：-a⁸·（-a）⁸=-a⁸·a8=a⁸⁺⁸=-a¹⁶.

5.顛倒運(yùn)算順序

例5 計(jì)算：（1）-x²·（x³）⁴；

（2）2¹⁰÷2⁴÷2⁴.

錯(cuò)解：（1）-x²·（x³）⁴=-（x²⁺³）⁴=-x²⁰.

（2）2¹⁰÷2⁴÷2⁴=2¹⁰÷1=2¹⁰.

錯(cuò)解分析：未按規(guī)定的運(yùn)算順序進(jìn)行，

解：（1）-x²·（x³）⁴=-x²·x¹²=-x¹⁴.

（2） 2¹⁰÷2⁴÷2⁴=2^10-4÷2⁴=2^6-4=2²=4.

評(píng)注：在乘方與乘除并存的式子中，先算乘方，再算乘除；同級(jí)運(yùn)算應(yīng)從左至右依次計(jì)算.

（二）因式分解

1.方向不明走回頭路

錯(cuò)解分析：混淆了因式分解與整式乘法的概念.

解：原式=2ab（3a2b2 -2ab+6）.

2.符號(hào)處理失誤

錯(cuò)解分析：在對(duì)后三項(xiàng)添括號(hào)運(yùn)算時(shí)，沒有遵循“在括號(hào)前添負(fù)號(hào)，括入括號(hào)里的每一項(xiàng)都要變號(hào)”的法則.

3.分解不徹底

評(píng)注：因式分解時(shí)，應(yīng)將多項(xiàng)式中所有的公因式都提取出來，分解到不能再分解為止，切忌半途而廢.

4.錯(cuò)誤套用公式

評(píng)注：為避免此類錯(cuò)誤，可先將要分解的式子整理成符合公式的形式.

（三）分式

1.概念理解有誤

評(píng)注：判斷一個(gè)式子是不是分式，應(yīng)看原式形式上是否符合定義的條件（分母中含有字母），而不能依據(jù)對(duì)原式約簡(jiǎn)后的結(jié)果判斷，對(duì)分式是否有意義的推斷也應(yīng)如此.

2.遺忘分母不能為0的約定

3.錯(cuò)誤理解分式的基本性質(zhì)

4.錯(cuò)誤理解題意

5.錯(cuò)用運(yùn)算法則、運(yùn)算律

6.將互為相反數(shù)的因式直接約分

7.未把運(yùn)算結(jié)果化為最簡(jiǎn)形式整式.

8.解分式方程沒有驗(yàn)根

錯(cuò)解分析：忽視對(duì)分式方程根的檢驗(yàn).

解：解得x=-2的過程同上.經(jīng)檢驗(yàn)z一-2是原方程的增根，故原方程無解.

（四）二次根式

1.混淆概念

例1 9的平方根是____.

錯(cuò)解：3.

錯(cuò)解分析：將平方根的概念與算術(shù)平方根的概念混淆，誤認(rèn)為正數(shù)只有一個(gè)平方根.

解：±3.

2.曲解題意

一、方程（組）與不等式（組）

整式方程（組）的求解是一種同解變形，與同解變形既有區(qū)別又有聯(lián)系，對(duì)此理解缺失往往出錯(cuò)，例如，求解一元一次方程，在去括號(hào)、合并同類項(xiàng)時(shí)出現(xiàn)的符號(hào)、運(yùn)算錯(cuò)誤，以及去分母過程中分子為多項(xiàng)式時(shí)忘加括號(hào)，都是在整式運(yùn)算中常犯的錯(cuò)誤；而常數(shù)項(xiàng)漏乘公分母、移項(xiàng)時(shí)不變號(hào)等，都是沒能保持同解變形，對(duì)于一元二次方程，應(yīng)切實(shí)理解概念，選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?提及實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)、根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，須首先考慮根的判別式的約束條件.求解分式方程必須驗(yàn)根.求解不等式（組），應(yīng)牢記不等式與方程的性質(zhì)差異，并能正確利用數(shù)軸表示解集，運(yùn)用方程、不等式（組）知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，要善于抓住關(guān)鍵詞語，厘清數(shù)量關(guān)系，注意度量單位的統(tǒng)一，還應(yīng)學(xué)會(huì)根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢查結(jié)果是否合理.下面舉例進(jìn)行分析.

（一）一元一次方程

錯(cuò)解分析：錯(cuò)解1運(yùn)用了一些化簡(jiǎn)技巧，但混淆了方程的同解原理與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)；錯(cuò)解2去分母時(shí)，不含分母的各項(xiàng)沒有乘以分母的最小公倍數(shù)0. 02，這一步驟不是同解變形；錯(cuò)解3對(duì)分?jǐn)?shù)線的意義缺乏足夠的認(rèn)識(shí)；錯(cuò)解4沒有正確運(yùn)用去括號(hào)法則；錯(cuò)解5忘掉了“移項(xiàng)要變號(hào)”；錯(cuò)解6混淆方程的同解變形與代數(shù)式的恒等變形；錯(cuò)解7中，把方程-5x= -4中z的系數(shù)化為1時(shí)，兩邊都除以-5，右邊應(yīng)該是4/5，而不是20（當(dāng)然也不是-4/5）. （二）一元一次不等式（組）

1.錯(cuò)用性質(zhì)

4.故原不等式組的解集為x>4.

錯(cuò)解分析：一再忽略“當(dāng)未知數(shù)系數(shù)為負(fù)數(shù)，在化系數(shù)為1時(shí)，應(yīng)改變不等號(hào)的方向”導(dǎo)致失誤.

評(píng)注：不等式與等式性質(zhì)的不同點(diǎn)，是最容易忽略、出錯(cuò)的地方.

2.弄錯(cuò)特解

錯(cuò)解分析：誤以為非負(fù)整數(shù)解即正整數(shù)解.

解：解題過程同錯(cuò)解.正確答案為x=0，1，2.

評(píng)注：厘清基本概念是正確求解的前提.

3.忽視實(shí)際情況

例3某校班級(jí)籃球聯(lián)賽中，每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝1場(chǎng)得3分，負(fù)1場(chǎng)得1分，如果某班要在第一輪的28場(chǎng)比賽中至少得43分，那么這個(gè)班至少要?jiǎng)俣嗌賵?chǎng)？

評(píng)注：對(duì)于實(shí)際問題的求解，需要積累一定的生活經(jīng)驗(yàn)，更要正確理解題目要求.

（三）一元二次方程

1.約去不該約的因式

例1 方程（x-3）（x+1）=x-3的解是（）

A.x=0

B.x=3

C.x=3或x=-1 D.x=3或x=O上，k的取值范圍為k≤1/4.

，

評(píng)注：當(dāng)求解的問題包含多種可能情況時(shí)，須實(shí)施分類討論.

6.忽視問題的實(shí)際意義

例6某漁船出海捕魚，2012年的捕魚量為100噸，2014年的捕魚量為81噸，求2012年～2014年捕魚量的年平均下降率，

錯(cuò)解：設(shè)2012年～2014年捕魚量的年平均下降率為z，依題意列方程，得100（1一z）2—81，解得x₁=0.1=10%，x₂=1.9=190%.答（略）.

錯(cuò)解分析：捕魚量的下降率最大降到100%，不可能超過100%，這是生活中最基本的常識(shí)，因此，x₂的值應(yīng)舍去.

解：同上，設(shè)元、列式，求得z的值，然后舍去x₂=190%.答（略）.

評(píng)注：應(yīng)用問題中方程的解，不僅要適合方程本身，還要符合實(shí)際情況.

三、函數(shù)

對(duì)于平面直角坐標(biāo)系，要注意點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸距離的區(qū)別與聯(lián)系.用點(diǎn)的坐標(biāo)表線段長(zhǎng)時(shí)，須取絕對(duì)值，要注意函數(shù)解析式中相關(guān)系數(shù)的限制條件和幾何意義的應(yīng)用，適時(shí)實(shí)現(xiàn)函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化.在用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象時(shí)，要注意對(duì)自變量取值范圍的約束，有些涉及實(shí)際問題的函數(shù)，畫出來的圖象不一定是整條曲線.在求二次函數(shù)的最值時(shí)，要注意當(dāng)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不在自變量的取值范圍內(nèi)時(shí)，函數(shù)的最值在圖象的端點(diǎn)處取得，或者沒有最值，在利用函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)，要注意自變量的取值范圍還應(yīng)符合實(shí)際問題的要求.在求解幾何圖形中點(diǎn)的坐標(biāo)的開放性問題，以及對(duì)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中所形成的幾何圖形分析時(shí)，力求考慮周全，實(shí)施恰當(dāng)?shù)姆诸愑懻?下列舉例進(jìn)行分析.

（一）一次函數(shù)

1.忽視特例

例1 一次函數(shù)y=kx+b不經(jīng)過第三象限，則下列正確的是（）y=-1/2+4.

評(píng)注：函數(shù)解析式中的字母系數(shù)可正可負(fù)（或?yàn)?），但（坐標(biāo)系中）線段的長(zhǎng)度恒為非負(fù)值，二者既有聯(lián)系，又有區(qū)別.

4.混淆函數(shù)圖象與直線的區(qū)別

例4 已知直線y=mx+2m-4不經(jīng)過第二象限，則m的取值范圍是____.

錯(cuò)解：由題意得，直線經(jīng)過一、三、四象限或元的T恤衫，規(guī)定試銷時(shí)的銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，又不高于每件70元，試銷中銷量y（件）與銷售價(jià)x（元）的關(guān)系近似地看成一次函數(shù)，如圖3所示.

（1）求y與z的函數(shù)關(guān)系式.

（2）設(shè)公司獲得的總利潤(rùn)（總利潤(rùn)一總銷售額一總成本）為p元，求p與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題意判斷，當(dāng)x取何值時(shí)，p的值最大？最大值是多少？

四、點(diǎn)、線、面、角、相交線與平行線

本部分知識(shí)是平面幾何的基礎(chǔ)和起點(diǎn)，具有基本概念多、基本圖形、基本事實(shí)多的顯著特點(diǎn)，我們往往不能從自己的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中抽取幾何的本質(zhì)要素以及它們的本質(zhì)屬性，例如，對(duì)于垂直，一些人的大腦中仍然只有一條水平直線和一條鉛直直線的表象，還停留在垂直的標(biāo)準(zhǔn)形式階段，導(dǎo)致作變式圖形的垂線、求距離時(shí)常常出錯(cuò)；我們會(huì)對(duì)余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角、距離、平行等基本概念缺乏全面深刻的理解，不能迅速準(zhǔn)確地識(shí)別相交線中的“三線八角”；也會(huì)對(duì)平行線的性質(zhì)與判定方法等一些命題的條件、結(jié)論和適用范圍分辨不清，使用時(shí)常常張冠李戴，使得運(yùn)算推證的依據(jù)不足、理由不充分或根本錯(cuò)誤；還會(huì)缺乏說理的自覺，習(xí)慣于想當(dāng)然辦事，思路不周嚴(yán)，思維不順暢，等等.下面舉例進(jìn)行分析.

1.概念不清

例1如圖1，三條直線交于一點(diǎn)，任意找出圖中的四對(duì)對(duì)頂角：_______，

錯(cuò)解分析：點(diǎn)到直線的距離是指從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度.PQ垂直于CD，但不垂直于AB，因此線段PQ的長(zhǎng)度不是點(diǎn)Q到直線AB的距離，而是點(diǎn)P到直線CD的距離.

解：C.

評(píng)注：由直線外一點(diǎn)向直線所做的所有線段中，垂線段最短，

例3 如圖3，按圖中角的位置，判斷正確的是（）

五、三角形的認(rèn)識(shí)與證明

三角形中的三邊、三個(gè)內(nèi)角、邊與角之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，是我們處理所有三角形問題時(shí)應(yīng)牢記的蘊(yùn)含條件.如果題目沒有給出圖形，抑或未將文字?jǐn)⑹雠c圖形一一對(duì)應(yīng)，在畫出圖形或?qū)⒃仃P(guān)系用圖形表出時(shí)，不得人為地把問題特殊化，如：不能只想到銳角三角形或直角三角形，而忽略鈍角三角形的情形；不能把一般的三角形畫成等腰三角形、直角三角形等.對(duì)于等腰三角形，在沒有明確給出腰和底角的情況下，尤其要考慮周全，實(shí)施必要的分類討論.對(duì)于直角三角形，須分清勾股定理及其逆定理的條件、結(jié)論以及適用范圍，在判定三角形全等時(shí)必須注意對(duì)應(yīng)關(guān)系，善于發(fā)掘隱含的元素關(guān)系，靈活運(yùn)用“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”“角角邊”等判定方法，切忌杜撰“角角角”或“邊邊角”等所謂的判定定理.下面舉例進(jìn)行分析. （一）三角形的邊、角關(guān)系及重要線段

1.對(duì)重要線段的認(rèn)識(shí)有誤

例1下列說法正確的是（）

A.三角形的角平分線是射線

B.三角形的中線、角平分線和高都在三角形內(nèi)

C.三角形的三條中線相交于一點(diǎn)

D.三角形的高是一條垂線，

錯(cuò)解：A或B或D.

錯(cuò)解分析：選項(xiàng)A混淆了一個(gè)角的平分線與三角形角平分線的區(qū)別；選項(xiàng)B或D是對(duì)三角形的高線缺乏正確的理解.

解：C.

評(píng)注：一個(gè)角的平分線是一條射線，三角形的角平分線是線段，三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)（內(nèi)心）；三角形的三條中線也相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)（重心）；直角三角形有兩條高是它的邊，鈍角三角形有兩條高在它的外部.

2.忽視三角形的構(gòu)成條件

錯(cuò)解2：由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，易得a=6，b=3.因題設(shè)中沒有明確3和6是腰還是底，于是有，①當(dāng)腰為6，底為3時(shí)，周長(zhǎng)為6+6+3 =15；②當(dāng)腰為3，底為6時(shí)，周長(zhǎng)為3+3+6 =12.綜上，周長(zhǎng)應(yīng)是12或15.故選D.

錯(cuò)解分析：錯(cuò)解1的答案正確，但解題思路缺失.在錯(cuò)解2中，注意到條件未明確腰及底邊，作了分類討論，但忽視了三角形兩邊之和大于第三邊的要求.

解：由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，易得a=6，b=3.①當(dāng)?shù)妊切蔚囊谎L(zhǎng)為6，底邊長(zhǎng)為3時(shí)，滿足三角形三邊關(guān)系定理，此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為15；②當(dāng)腰長(zhǎng)為3，底邊長(zhǎng)為6時(shí)，由于3+3=6，不滿足三角形的三邊關(guān)系定理，因此舍去.綜上可知，該等腰三角形的周長(zhǎng)為15.故選C.

評(píng)注：處理三角形三邊關(guān)系的問題時(shí)，必須考慮構(gòu)成三角形的條件；關(guān)涉等腰三角形的邊、角關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意分類討論.

3.片面理解題意

評(píng)注：判別所給線段能否組成直角三角形時(shí)，要先確定最長(zhǎng)邊，然后計(jì)算驗(yàn)證最長(zhǎng)邊的平方是否等于其他兩邊的平方和，借助于勾股定理的逆定理作出判斷.

2.忽視定理使用的條件

評(píng)注：相等與全等，都是重要的等價(jià)關(guān)系，具有很多相近的性質(zhì)（如自反性、傳遞性等），但各自適用的對(duì)象不同，不可張冠李戴，交叉使用.

六、四邊形的認(rèn)識(shí)與證明

探求四邊形的知識(shí)，大多轉(zhuǎn)化為三角形問題解決，但四邊形具有很多與三角形不同的特性.對(duì)于平行四邊形的性質(zhì)和判定方法，要條分縷析，厘清關(guān)系和用途.由于平行四邊形和各種特殊的平行四邊形的概念、性質(zhì)、判定方法之間重疊交錯(cuò)，容易混淆，我們應(yīng)下氣力弄清它們的共性、特性及其包含關(guān)系，判定特殊的平行四邊形時(shí)，應(yīng)在真正理解題意的基礎(chǔ)上，合理確定一種判定方法，既要避免出現(xiàn)推理沒有根據(jù)，理由不充分的邏輯錯(cuò)誤，也不能思路混亂，重復(fù)使用條件，或者循環(huán)論證，以確保計(jì)算推證的精準(zhǔn)性、嚴(yán)密性、順暢性.下面舉例進(jìn)行分析.

1.對(duì)于判定方法理解不透徹

例1下面四個(gè)命題：（1） -組對(duì)邊相等，且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；（2）一組對(duì)邊相等，且一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形；（3）一組對(duì)角相等，且連接這一組對(duì)角頂點(diǎn)的對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形；（4）一組對(duì)角相等，且連接這一組對(duì)角頂點(diǎn)的對(duì)角線被另一條對(duì)角線所平分的四邊形是平行四邊形.其中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

錯(cuò)解：B或C或D.

錯(cuò)解分析：未能真正理解平行四邊形的判定方法，憑主觀想象得出結(jié)論，

解：只有命題（3）正確，故選A.

2.忽視分類討論

例2 若平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角的角平分線分對(duì)邊為3和4兩部分，則該平行四邊形的周長(zhǎng)為____.

錯(cuò)證分析：（1）的證明過程正確.在（2）的證明中，沒有判定四邊形ADCE是平行四邊形，主觀臆斷致錯(cuò).“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形”，而不是“有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形”，有兩個(gè)角是直角的四邊形也未必是矩形，如直角梯形.

七、圓的認(rèn)識(shí)與證明

本部分知識(shí)具有概念多、定理多、關(guān)系多樣、綜合性強(qiáng)等特點(diǎn)，在考慮圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，相離和相切往往不止一種情況.在提及圓中一條弦所對(duì)的圓周角時(shí)，要考慮到該弦所對(duì)的圓周角有兩種類型，在辨認(rèn)圓心角、圓周角、弦、弦心距、弧等的關(guān)系時(shí)，要注意是否要求在同圓或等圓中.在運(yùn)用垂徑定理的推論“平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧”時(shí)，不能忽略括號(hào)中的三個(gè)字.在求解關(guān)涉垂徑定理、切線性質(zhì)與判定的問題時(shí)，往往要添加適切的輔助線實(shí)現(xiàn)思路貫通，在求解圓與i角形、平行四邊形的綜合性題目時(shí)，積極發(fā)掘和利用圓的特殊性質(zhì)和圓中眾多的不變量是順利求解的關(guān)鍵所在，下面舉例進(jìn)行說明.

1.概念理解有誤

例1 ①圓是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有無數(shù)條，均為直徑；②長(zhǎng)度相等的兩條弧叫等弧；③平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的?。虎艽怪庇谙业闹本€平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的弧.上述結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是（）

A.4

B.3

C.2

D.0

錯(cuò)解：A或B或C.

錯(cuò)解分析：錯(cuò)在對(duì)圓的有關(guān)概念理解不透徹.①圓是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有無數(shù)條，但圓的直徑并不是它的對(duì)稱軸，而是圓的直徑所在的直線；②等弧定義的前提條件是“在同圓或等圓中”，因?yàn)橹挥羞@樣的兩條弧才有可能相互重合，只是長(zhǎng)度相等的兩條弧不一定重合；③由于直徑也是弦，而任意兩條直徑都互相平分，但不一定互相垂直；④主要是對(duì)“垂徑定理”記憶不清，把其中的“直徑”忽略為“直線”，差之毫厘，謬之千里.

解：D.

2.人為添加條件

例4 如圖3，底面半徑為5dm的圓柱形油桶橫放在水平面上，向桶內(nèi)加油后，量得長(zhǎng)方形油面的寬度為8dm，則油的深度（指油的最深處，即油面到水平面的距離）為（）

A.2dm

B.3dm

C.2dm或3 dm D.2dm或8dm

八、圖形與變換

對(duì)于視圖與投影這部分內(nèi)容，不要混淆平行投影和中心投影.在畫三視圖時(shí)一定要將物體的邊緣、棱、頂點(diǎn)都體現(xiàn)出來，通常將看得見部分的輪廓線畫成實(shí)線，看不見部分的輪廓線畫成虛線.如果一個(gè)幾何體只給出了部分視圖，條件很少，不能確定時(shí)，要注意分類討論.平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱是幾種既有聯(lián)系又有區(qū)別的全等變換，能否抓住這些全等變換中的不變量是順利進(jìn)行計(jì)算和推理的關(guān)鍵，平移應(yīng)注意方向和平移距離，旋轉(zhuǎn)應(yīng)注意方向和旋轉(zhuǎn)角度，這兩點(diǎn)容易忽略.對(duì)于軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形等概念應(yīng)真正理解它們的區(qū)別和聯(lián)系，下面舉例進(jìn)行分析.

（一）視圖與投影、圖形的

展開與折疊

1.缺乏空間觀念

例1李明為其好友制作一個(gè)如圖1所示的正方體禮品盒，六面上各有一字，是“預(yù)祝中考成功”，其中“預(yù)”的對(duì)面是“中”，“成”的對(duì)面是“功”，則它的平面展開圖可能是（）

錯(cuò)解：A或D.

錯(cuò)解分析：缺乏空間想象能力和動(dòng)手操作能力，認(rèn)為“預(yù)”與“祝”連在一起就可以了，沒有考慮“‘預(yù)的對(duì)面是‘中，‘成的對(duì)面是‘功”這一條件，

解：C.

2.錯(cuò)誤理解題意

例2下圖中經(jīng)過折疊能圍成一個(gè)棱柱的是（）

錯(cuò)解：A或B或C.

錯(cuò)解分析：沒有仔細(xì)觀察圖形，抑或沒有兼顧底面與側(cè)面的匹配，

解：D.

評(píng)注：把展開圖形折疊成幾何體時(shí)，必須考慮兩個(gè)方面：一是側(cè)面的個(gè)數(shù)，二是底面的上下關(guān)系和邊數(shù)，底面的邊數(shù)必須與側(cè)面的個(gè)數(shù)相同.

3.計(jì)算錯(cuò)誤

例3如圖2是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中標(biāo)注的數(shù)據(jù)可求得這個(gè)幾何體的體積為_______

錯(cuò)解：96π或96.

錯(cuò)解分析：知道物體是圓柱體，但在計(jì)算中把底面圓的直徑當(dāng)成半徑計(jì)算，得到96π的錯(cuò)誤結(jié)果；或不能由三視圖正確還原幾何體，想當(dāng)然地套用公式長(zhǎng)×寬×高，長(zhǎng)用底面圓的直徑代入，從而致錯(cuò).

3.直觀代替推理

4.錯(cuò)誤套用軸對(duì)稱解題

例4 如圖5，直線a是一條河，P，Q兩地相距8千米，P，Q兩地到a的距離分別是2千米、5千米，現(xiàn)在a上某點(diǎn)建造水泵站，向_P，Q兩地供水.現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案（圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道），則鋪設(shè)的管道最短的是（）

錯(cuò)解：B.

錯(cuò)解分析：將題設(shè)問題與求直線上一點(diǎn)到直線同側(cè)兩點(diǎn)的距離之和最短問題混淆，誤認(rèn)為還是先作其中一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，然后連線得交點(diǎn).

解：A.

評(píng)注：不可一看到最短問題就作對(duì)稱點(diǎn)，形成思維定式，需要具體問題具體分析.

（三）平移與旋轉(zhuǎn)

1.不能把握旋轉(zhuǎn)的特征

2.混淆旋轉(zhuǎn)、平移的特征

例3如圖4所示的圖形是由四個(gè)全等的等腰直角三角形拼成的，認(rèn)真觀察后回答下列問題.

（1）圖中哪些三角形可以由三角形①旋轉(zhuǎn)得到？

（2）圖中哪些三角形可以由三角形①平移得到？

錯(cuò)解：（1）三角形②③④可以由三角形①旋轉(zhuǎn)得到.

（2）三角形②④可以由三角形①平移得到，錯(cuò)解分析：混淆了旋轉(zhuǎn)與平移的特征，

九、相似與解直角三角形

判定三角形相似時(shí)要善于發(fā)掘隱含的元素關(guān)系，靈活選用判定方法，切忌杜撰所謂的判定定理.如果題目沒有給出圖形，抑或尚未明確已知元素所對(duì)應(yīng)的圖形，一般應(yīng)借助于圖形來解決，但大都需要分析討論各種可能出現(xiàn)的情況.相似比是把一個(gè)圖形放大或縮小的倍數(shù)，具有順序性.相似三角形中對(duì)應(yīng)中線、角平分線、高線的比，周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方，不能混為一談.對(duì)于解直角三角形的應(yīng)用題，要正確理解俯角、仰角、坡度等常用術(shù)語的含義，在弄清題意的前提下抓住關(guān)鍵詞語，并且準(zhǔn)確地畫出圖形.不可把相似三角形的知識(shí)盲目遷移，用于處理四邊形和其他多邊形的相似問題，下面分類進(jìn)行例析.

（一）解直角三角形

1.概念不清

例1 在Rt△ABC中，如果各邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大2倍，則銳角A的正切值（）

A.擴(kuò)大2倍

B.縮小2倍

C.擴(kuò)大4倍

D.沒有變化

錯(cuò)解：A.

錯(cuò)解分析：沒有正確理解銳角三角函數(shù)的概念，當(dāng)各邊都擴(kuò)大2倍時(shí)，銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比值保持不變.

解：D.

2.性質(zhì)理解有誤

（二）相似

1.忽視比例單位的統(tǒng)一或單位換算

例1 A，B兩地的實(shí)際距離AB=5 km，畫在紙上的距離A'B'=5 cm，求紙上距離與實(shí)際距離的比.

錯(cuò)解l：紙上距離與實(shí)際距離的比是A'B'：AB=5：5=1：1.

錯(cuò)解2：5km=50000cm，紙上距離與實(shí)際距離的比是A'B'：AB=5：50000=1：10000.

錯(cuò)解分析：錯(cuò)解1沒有統(tǒng)一單位，錯(cuò)解2是搞錯(cuò)了長(zhǎng)度單位的進(jìn)制.

解：5km=500000cm，紙上距離與實(shí)際距離的比是A'B'：AB=5：500000=1：100000.

2.比例性質(zhì)的理解出現(xiàn)偏差

例2 判斷正誤：若ab一cd，則a：c-b：d.（）

錯(cuò)解：正確.

錯(cuò)解分析：在等積式與比例式的轉(zhuǎn)換過程中搞錯(cuò)了項(xiàng)的位置.

解：錯(cuò)誤.

3.概念模糊不清

例3如圖1所示的兩個(gè)矩形會(huì)相似嗎？請(qǐng)說明理由，

錯(cuò)解：相似.兩個(gè)圖形同為矩形，它們的角都是直角，小矩形的長(zhǎng)和寬與大矩形的長(zhǎng)和寬都相差10.因此它們是相似的.

錯(cuò)解分析：沒有正確理解圖形相似的概念.

解：不相似，顯然，這兩個(gè)矩形的對(duì)應(yīng)角相等，但小矩形的長(zhǎng)是20，寬是5，20/30≠5/15，即兩個(gè)矩形對(duì)應(yīng)邊的比不相等，因此，它們不相似，

評(píng)注：判定兩個(gè)n（n≥4）邊形是否相似的依據(jù)是：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.兩個(gè)條件缺一不可.

4.性質(zhì)理解有誤

例4 已知相似三角形的面積比為4：1，那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比為（）

A.4：1

B.1：4

C.2：1

D.16：1

錯(cuò)解：A或D.

錯(cuò)解分析：混淆了相似三角形的周長(zhǎng)比與面積比.

解：C.

十、統(tǒng)計(jì)與概率

正確理解統(tǒng)計(jì)中的總體、個(gè)體、樣本、樣本容量等基本概念；對(duì)于描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的特征數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等）和描述數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的特征數(shù)（方差、標(biāo)準(zhǔn)差等），要弄清它們的異同點(diǎn)，合理地選擇和運(yùn)用；求解含有尚待補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖表的題目，要善于從圖表或其他題設(shè)中，尋求同一條件的不同表達(dá)形式，按要求整理、計(jì)算和分析數(shù)據(jù)，并提出合理的決策建議，正確理解隨機(jī)事件、頻率、概率等概念；求解簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率時(shí)，須關(guān)注和保持所有結(jié)果發(fā)生的等可能性；有選擇地運(yùn)用列表法或畫樹狀圖，有序列出所有可能的結(jié)果，可以有效地避免重復(fù)和遺漏.下面舉例進(jìn)行分析.

1.概念模糊不清

例1某市為了分析全市9800名初中畢業(yè)生的數(shù)學(xué)考試成績(jī)，共抽取50本試卷，每本都含30份，則樣本容量是（）

A.30

B.50

C.1500

D.9800

錯(cuò)解：A或B或D.

錯(cuò)解分析：沒有理解樣本容量的意義，

解：抽取50本，每本30份，因此樣本容量為1 500.故選C.

評(píng)注：樣本容量是樣本個(gè)體的數(shù)量.

例2下列調(diào)查中，適宜采用全面調(diào)查（普查）方式的是（）

A.調(diào)查一批新型節(jié)能燈泡的使用壽命

B.調(diào)查長(zhǎng)江流域的水污染情況

C.調(diào)查某省初中學(xué)生的視力情況

D.為保證“神舟十號(hào)”成功發(fā)射，對(duì)其零部件進(jìn)行檢查

錯(cuò)解：A.

錯(cuò)解分析：沒有真正理解普查和抽樣調(diào)查的意義.

解：D.

例3①必然事件的概率一定是1；②氣象臺(tái)預(yù)報(bào)明天有小雨，那么明天我們這兒有小雨，是必然事件；③供電公司通知：“明天電路檢修，光明小區(qū)停電”，則該小區(qū)明天停電是隨機(jī)事件；④概率為0的事件一定是不可能事件，上述語句中，正確的序號(hào)是____.

錯(cuò)解：①②③④.

錯(cuò)解分析：對(duì)概率的有關(guān)概念不能正確理解，

解：①正確；天氣預(yù)報(bào)作出的只是一種預(yù)測(cè)，并不代表一定發(fā)生，是隨機(jī)事件，②錯(cuò)；既然供電公司已經(jīng)發(fā)出通知，就是已經(jīng)決定了，明天就會(huì)按照安排的工作進(jìn)行，因而是必然事件，③錯(cuò)；“不可能事件的概率一定是0”這句話正確，但反過來則不真，④錯(cuò)，故只能填①.

2.忽視簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的等可能性

例4如圖1所示，有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，每個(gè)轉(zhuǎn)盤上方都有一根指針，游戲者隨意轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)后（若指針指向紅、藍(lán)分界線則重新轉(zhuǎn)動(dòng)），將兩根指針指向的顏色進(jìn)行搭配，根據(jù)紅色十藍(lán)色一紫色，游戲者配成紫色的概率為（

）

A.1/2

B.1/4

C.2/3

D.4/9

錯(cuò)解：用列表法：

從上表可以看出，配成紫色的概率為1/2.故選A.

錯(cuò)解分析：本題不是等可能事件，轉(zhuǎn)盤中紅色和藍(lán)色部分的面積不同，因而指針落在兩個(gè)區(qū)域內(nèi)的可能性不同.

解：將兩轉(zhuǎn)盤中紅色區(qū)域都等分為2份，左盤記作“紅a”“紅b”，右盤記作“紅c”“紅d”.這樣左、右兩盤三個(gè)等份被指針指向的可能性都相同，然后列表如下：

由此可知，配成紫色的概率為4/9，故選D.

3.審題不細(xì)

例5近年來，由于亂砍濫伐，掠奪性使用森林資源，我國(guó)長(zhǎng)江、黃河流域植被遭到破壞，土地沙化嚴(yán)重，洪澇災(zāi)害時(shí)有發(fā)生.沿黃某地區(qū)為積極響應(yīng)“保護(hù)母親河”的倡議，建造了長(zhǎng)100千米，寬0.5千米的防護(hù)林.有關(guān)部門為掌握這一防護(hù)林大約共有多少棵樹，從中選出10塊（每塊長(zhǎng)1千米，寬0.5千米）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，每塊樹木數(shù)量如下（單位：棵）：

65100 63200 64600 64700 67300

63300 65100 66600 62800 65500

請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算這一防護(hù)林大約共有多少棵樹.

錯(cuò)解：（65100+63200+64600+64700+67300+63300-1-65100+66600+62800+65500）÷10=64820（棵）.答（略）.

錯(cuò)解分析：未能真正理解題意，半途而廢.只求出了樣本平均數(shù)，而沒有用樣本估計(jì)總體.

4.考慮不周

例6 在科技館里，小亮看見一臺(tái)名為帕斯卡的儀器，如圖2所示，當(dāng)一實(shí)心小球從入口落下，它在依次碰到每層的菱形擋塊時(shí)，向左或向右是等可能的，試問小球通過第二層A位置的概率是多少？

錯(cuò)解：和點(diǎn)A相同的水平空擋處的點(diǎn)共有3個(gè)，故小球通過A位置的概率為1/3.

錯(cuò)解分析：忽略了第一層的菱形塊對(duì)小球通過第二層A位置的概率的影響，而直接分析第二層的情況導(dǎo)致出錯(cuò).

解：實(shí)心小球在碰到菱形擋塊時(shí)，向左或向右是等可能的，因此經(jīng)過一個(gè)擋塊后向左或向右落下的概率是原概率的一半，畫樹狀圖如圖3所示，得出通過A位置的概率為2/4=1/2.

5.計(jì)算錯(cuò)誤

例7小斌對(duì)旅游區(qū)的旅游人數(shù)進(jìn)行10天的統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：

求這10天中平均每天的旅游人數(shù).

錯(cuò)解：從10天人數(shù)中抽出有800人，1200人及700人的三天人數(shù)為代表，算出這3天每天的平均人數(shù)，作為這10天每天旅游的平均人數(shù)，即：（800+1200+700）=900（人），則這10天中平均每天的旅游人數(shù)大約為900.

錯(cuò)解分析：這種估測(cè)方法在總體只有10的情況下，是不合適的，

解：（800+1200+700+1200+700+800+800+700+700+700）÷10=830（人），即這10天中平均每天的旅游人數(shù)是830.