趙秀琴

2015年上海高考數(shù)學(xué)題試圖克服遇到題目就模式化的弊病，試題中既要求數(shù)學(xué)的雙基運(yùn)用能力又增強(qiáng)了一定的思維量.試圖鼓勵(lì)學(xué)生要有想法，要敢于嘗試，可以說(shuō)較之以往的考題有所創(chuàng)新和突破.

本文例舉幾道題，對(duì)考題進(jìn)行一定的分析與理解.

一、關(guān)注分析與聯(lián)想

題1 （理科卷第13題）已知函數(shù)f（x）=sinx.若存在x1，x2，…，xm滿足0≤x1

.

分析 題目中求m的最小值，對(duì)應(yīng)著圖像上的點(diǎn)Ai最少，作出函數(shù)y=sinx，x∈[0，6π]的圖像，圖像從左到右的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)依次為A1，A2，…，A6.如此可以設(shè)想使|f（xi-1）-f（xi）|（i∈N*）越大越好，它的極值是|f（xi-1）-f（xi）|=2.

有了這一想法，看似要討論判斷的復(fù)雜問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

繼續(xù)探究，|yA1-yA2|=2，|yA2-yA3|=2，…，|yA5-yA6|=2，

此時(shí)m=6，|yA1-yA2|+|yA2-yA3|+…+|yA5-yA6|=10，

觀察圖形，結(jié)合點(diǎn)O和點(diǎn)（6π，0）的位置，容易得出m的最小值為8.

其實(shí)，事物的發(fā)展變化是相輔相成的，如果善于觀察和分析，那么就會(huì)從求m的最小值聯(lián)想到|sinx|的最大值為1，進(jìn)一步達(dá)成問(wèn)題的解決.

二、較強(qiáng)的雙基運(yùn)用能力

題2 （理科卷第14題）在銳角三角形ABC中，tanA=12，D為邊BC上的點(diǎn)，△ABD與△ACD的面積分別為2和4.過(guò)D做DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，則DE·DF=

④

要想讓S2恒為定值，只需要1+2m=0，即m=-12時(shí)，S為定值24.

這里我們看到，當(dāng)結(jié)果化成④的形式的時(shí)候，盡管除了m仍然含有兩個(gè)字母x1，x2，但是卻不會(huì)影響到最后結(jié)果的得出，所以這樣的大膽探究就達(dá)成了將“不知”化為“可知”的目的，問(wèn)題也就迎刃而解了.

五、有想法，再探究

題5 （文科卷第23題）已知數(shù)列{an}與{bn}滿足an+1-an=2（bn+1-bn），n∈N*.

（Ⅰ）若bn=3n+5，且a1=1，求{an}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè){an}的第n0項(xiàng)是最大項(xiàng)，即an0≥an（n∈N*），求證：{bn}的第n0項(xiàng)是最大項(xiàng)；

（Ⅲ）設(shè)a1=3λ<0，bn=λn（n∈N*），求λ的取值范圍，使得對(duì)任意m，n∈N*，an≠0，且aman∈（16，6）.

解析 （Ⅰ）、（Ⅱ）略.對(duì)于（Ⅲ）：

（1）很容易求出an=2λn+λ

（2）下面的想法是：對(duì)任意m，n∈N*，如何解決？

如果{an}中有最大值ai，或有最小值aj，或有l(wèi)imn→∞an=a，那么就有可能an∈[aj，ai]或an∈[aj，a]或an∈[a，ai]，如此就可以變無(wú)限為有限來(lái)探究問(wèn)題.

（3）y=λn屬于指數(shù)范疇，由a1=3λ<0

aman∈（16，6）可得a2=2λ2+λ<0，則-12<λ<0.{an}分奇數(shù)列和偶數(shù)列討論探究：

a2k=2λ2k+λ=2|λ|2k+λ，a2k-1=2λ2k-1+λ=-2|λ|2k-1+λ，

通過(guò)圖像作進(jìn)一步觀察：

由y=|λ|2k（k=1，2，3…），|λ|<12，函數(shù)遞減，ymax=λ2.

在y=-|λ|2k-1（k=1，2，3，…）中，|λ|<12，函數(shù)遞增，ymin=-|λ|，

所以{an}中最大值為a2=2λ2+λ<0，最小值a1=3λ<0.

（4）進(jìn)一步探究，am，an必須滿足下式：0（5）建立關(guān)系a2a1>16

a1a2<6

-12<λ<0，

即2λ2+λ3λ>16

3λ2λ2+λ<6

-12<λ<0，

可得：-14<λ<0.

通過(guò)這樣的探究嘗試，能夠熟練準(zhǔn)確運(yùn)用雙基，求得了當(dāng)-14<λ<0時(shí)對(duì)于任意m，n∈N* ，an≠0，都有aman∈（16，6）.

通過(guò)如上幾道題目的解析，深深感覺(jué)到，這樣的問(wèn)題設(shè)置，促使我們?cè)诮窈蟮母咧袛?shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)一步要克服“模式化”，積極培養(yǎng)學(xué)生敢于嘗試的探究精神，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

（收稿日期：2015-10-22）=1|OA|2+1|OB|2=a2+22a2+8+1a2+4=12