有趣的語言數列

河北民族師范學院 司志本 (郵編:067000)

河北省承德醫(yī)學院 張 琪 (郵編:067000)

有趣的語言數列

河北民族師范學院 司志本 (郵編:067000)

河北省承德醫(yī)學院 張 琪 (郵編:067000)

語言數列,是一種特殊而且有趣的數列.它不像等差數列和等比數列那樣,特征明顯,有章可循,而是一種比較“任性”的數列.但是,探討語言數列的性質,我們將會發(fā)現一些有趣的、發(fā)人深思的問題.對語言數列做出進一步的探討,你會有所收益.

數列;語言數列;趣味性;規(guī)律性

關于語言數列的概念,我們可以這樣來描述:任意給定一個自然數作為數列的第1項;數列的第2項及其后面的項按照下面的方法得出:對第n(n∈N＋)項中所含的每一個數字的個數,按照從左到右的順序進行語言表述;把語言表述中的漢字去掉,剩下的數字按照原來的順序組成一個新數;把這個新數作為這個數列的第n＋1項.這樣得到的數列,我們稱之為語言數列.例如,一個數列的第1項是:a1＝123.

把第1項“123”中所含的每一個數字的個數用語言表述出來(按照從左向右的順序進行表述,下同),就是“1個1,1個2,1個3”.把這個語言表述中的漢字去掉(即把“1個1,1個2,1個3”中的漢字“個”去掉),剩下的數字按照原來的順序組成一個新數:a2＝111213.

這就是這個語言數列的第2項.

對這個數列的第2項“111213”繼續(xù)按照上面的方法進行語言表述,就是“4個1,1個2,1個3”,這樣就得到了這個數列的第3項:a3＝411213.依次類推,可以繼續(xù)寫出這個語言數列后面的任意項.

從上面這個例子可以看出,語言數列的概念并不難理解.本文只是從趣味性的角度,對一些規(guī)律性比較強、同時又比較簡單的語言數列做一點探討.

1 數列的第1項是一位數的情況

因為語言數列的各個項都是自然數,所以數列的第1項是一位數的語言數列只有10個.我們先討論一下數列的第1項a1＝1的情況.

如果數列的第1項a1＝1,那么用語言表述第1項,就是“1個1”.把這個語言表述中的漢字“個”去掉,就得到了這個數列的第2項:a2＝11.

用語言表述數列的第2項“11”,就是“2個1”,把這個語言表述中的漢字“個”去掉,就得到了這個數列的第3項:a3＝21.

按照上面的方法,可以繼續(xù)寫出這個語言數列的第4項至第10項:

a4＝1211,a5＝3112,a6＝132112,a7＝311322,a8＝232122,a9＝421311,a10＝14123113.

按照同樣的方法,我們可以寫出第1項是2, 3,4,5,…,9和0所對應的語言數列.我們把第1項是1——9和0的這10個語言數列的前10項分別寫出來,就是:

觀察上面這10個語言數列,我們可以得出下面幾個結論:

第一,數列(2)的第n(n≥4)項與數列(1)的第n＋1項相同;

第二,數列(3)與數列(1)從第9項開始,對應項相同;

第三,在(5)——(10)這6數列中,每一個數列的前10項中的個位數字分別相同.例如,數列(5)中所有項的個位數字都是5;

第四,在(5)——(10)這6個數列中,前10項中的對應項只有個位數字不同.

2 數列的第1項是兩位數的情況

第1項是兩位數的語言數列共有92個(我們把00和01也視為兩位數).在這92個數列中,我們重點討論兩個內容:第一,第1項是形如的語言數列有哪些性質;第二,第1項是與(a≠b)的這一對語言數列之間有哪些關系.

觀察數列(11)——(20),我們可以得出下面幾個結論:

第一,由數列(12)可知,以22為第1項的語言數列,是一個各項都是22的常數列.筆者猜想,這是語言數列中唯一的一個常數列;

第二,(14)——(20)這7個數列,從第9項開始,后面的各項都與第9項相同.也就是說,如果把這7個數列的前8項去掉,那么所得到的7個新數列都是常數列.我們不妨把這類數列稱之為“準常數列”;

第三,(13)——(20)這8個數列,從第2項開始,它們的對應項只有個位數字不同.例如,數列(13)的第3項是1213,而數列(14)的第3項是1214;

第四,在(14)——(20)這7個數列中,每一個數列的個位數字分別相同.例如數列(16)的各項的個位數字都是6;

第五,因為(11)——(20)這10個數列的第2項的十位數字都是2,個位數字分別是1,2,…,9和0,所以,在討論第1項是這類數列的同時,我們順便還可以得出第1項是這10個語言數列的相關性質.

2.2 數列的第1項是形如ab與ba(a≠b)的這一對語言數列之間的關系

我們先來討論一下,數列的第1項是形如1a與a1(a≠1)的這一對語言數列之間的關系.

因為十位數字是1的這10個兩位數,恰好是數列(1)——(10)的第2項,所以,以1a為第1項的語言數列,它的第n項分別與數列(i)(i＝ 1,2,…,9,10)的第n＋1項相同,因此,以1a為第1項的這10個語言數列,與(1)——(10)這10個數列具有類似的性質.

為了方便,我們把01也看做是一個兩位數,這樣一來,第1項是a1的語言數列一共有10個.我們只需要寫出這10個數列的前3項,其結論就一目了然了.這10個數列的前3項分別是:

11,21,1211.

21,1211,3112.

31,1311,3113.

……

91,1911,3119.

01,1011,3110.

與數列(1)～(10)比較不難看出,以a1為第1項的語言數列,從第3項開始,它的第n(n≥3)項與數列(i)(i＝1,2,…,9,10)的第n＋1項相同.

進一步我們可以得出這樣的結論:第1項是a1與第1項是1a的這一對語言數列,從第3項開始它們的對應項相同.

對于數列的第1項是形如ab與ba(a≠b)的兩個語言數列之間的關系.仿照上面第1項是形如1a與a1的情況的討論,我們可以得出這樣的結論:

第1項是兩位數ab與ba(a≠b)的這對語言數列,從第a＋2項開始,它們的對應項分別相同.尤其是第1項是4a與a4的這對語言數列,除了從第6項開始它們的對應項相同以外,它們還都是“準常數列”.

3 數列的第1項是三位數的情況

關于數列的第1項是三位數的情況,我們只討論第1項是a1＝123的這樣一個特殊的語言數列.

如果一個語言數列的第1項是a1＝123,那么這個數列的前10項分別是:

a1＝123,a2＝111213,a3＝41213,a4＝14311213,a5＝41142312,a6＝24312213,a7＝32142321,a8＝23322114,a9＝32232114,a10＝23322114.

觀察這個數列的前10項我們發(fā)現:a10＝a8.也就是說,這個語言數列從第10項開始出現了重復:當n≥8時,有an＋2＝an.

關于這類語言數列,我們不妨稱之為“循環(huán)數列”.常數列和準常數列也可以看做是一種特殊的循環(huán)數列.除此之外,還有沒有其它循環(huán)數列?有興趣的讀者可以做出進一步的探討.

4 數列的第1項是各位數字相同的n(2≤n≤9)位數的情況

一般來講,隨著數列第1項的位數的增加,討論的難度也會越來越大.但是,如果語言數列的第1項是各位數字相同的n(2≤n≤9)位數,那么,這類數列問題可以轉化為第1項是兩位數的語言數列問題來研究.具體討論如下:

當n＝2時的情況,在前面已經討論;

當n＝3時,這10個數列的第1項分別是:

111,222,333,444,555,666,777,888, 999,000.

對應的第2項分別是:

31,32,33,34,35,36,37,38,39,30.

這就把第1項是aaa的語言數列問題,轉化為已經討論過的第1項是3a的語言數列問題.

當n＝4時,這10個數列的第1項分別是:

1111,2222,3333,4444,5555,6666,7777, 8888,9999,0000.

對應的第2項分別是:

41,42,43,44,45,46,47,48,49,40.

這就把第1項是aaaa的語言數列問題,轉化為已經討論過的第1項是4a的語言數列問題.

依次類推,一般情況,我們可以得出這樣的結論:如果一個語言數列的第1項是和n都是自然數,且0≤a≤9,2≤n,那么,這個數列的第2項是一個兩位數na.特別地,當n＝a時,這個數列的第2項與數列(11)——(20)中對應數列的第1項相同.

這樣一來,對于第1項是各位數字相同的n (2≤n≤9)位數的語言數列,它們的相關性質可以在以na為第1項的語言數列中找到.

等差數列和等比數列,是我們比較熟悉的數列.這兩種數列的特點比較明顯,規(guī)律性也比較強,而本文所討論的語言數列,就不像等差數列和等比數列那樣“有章可循”,顯得比較“任性”.但是,從上面的討論過程不難看出,語言數列有許多性質是非常有趣的.本文討論的只是比較簡單、而且也比較有趣的一些語言數列,但愿能夠起到拋磚引玉的作用.關于語言數列,一定還有許多有趣的、發(fā)人深思的問題,有興趣的讀者不妨做出進一步的探討.

1 談祥柏.樂在其中的數學[M].北京:科學出版社.2005.8

2017-05-06)