利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的拓展教學(xué)

宋淮南

【摘要】高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)提出：“倡導(dǎo)積極的、主動的探究式學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力.”數(shù)學(xué)探究是指學(xué)生圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問題，自主探究、學(xué)習(xí)的過程.在這個(gè)過程中學(xué)生始終處于主動探索、主動思考、主動建構(gòu)的地位.如果教師事先能在進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，積極在教學(xué)中開展拓展性教學(xué)，并在學(xué)生探究過程中起畫龍點(diǎn)睛的引導(dǎo)，就能使教師指導(dǎo)作用與學(xué)生主體作用充分結(jié)合.這樣學(xué)生不需要大量、重復(fù)地做同一樣類型的題目，也能掌握相關(guān)的知識與方法，從而實(shí)現(xiàn)真正的減負(fù)，不僅提高了學(xué)習(xí)的效率，更有利于培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣，提高他們發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力以及發(fā)展他們的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力.

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；函數(shù)；數(shù)學(xué)教學(xué)

《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是其重要部分，在高考中占有重要的地位，結(jié)合我的實(shí)踐探索，談?wù)劺脤?dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性中進(jìn)行拓展教學(xué)的一些體會.

例 求函數(shù)f（x）=x3+x2-x的單調(diào)區(qū)間.

這是一道難度不大的習(xí)題，先由學(xué)生自行解答，然后給出規(guī)范答案.

接下來由學(xué)生總結(jié)出求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法：

先確定函數(shù)y=f（x）的定義域及f′（x）；接著有兩種做法.

法一 ①解不等式f′（x）>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；

②解不等式f′（x）<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.

法二 ①令f′（x）=0，解此方程，求出在定義區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根；

②把函數(shù)f（x）的間斷點(diǎn)（即f（x）的無定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f（x）的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間；

③確定f′（x）在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)符號判定函數(shù)在每個(gè)相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.

注意單調(diào)區(qū)間之間用“，”連接，不能用“∪”連接.

拓展1 求函數(shù)f（x）=x3-ax2-a2x的單調(diào)區(qū)間.

師問：此時(shí)系數(shù)含有參數(shù)怎么辦？

生答：先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的根的情況進(jìn)行分析，分a=0，a<0，a>0三種情況討論.

規(guī)律方法 ①要對參數(shù)a進(jìn)行分類討論；②要確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏.

拓展2 已知函數(shù)f（x）=x3-ax2-a2x的遞減區(qū)間恰為-1，13，求實(shí)數(shù)a的值.

師問：單調(diào)區(qū)間恰為-1，13應(yīng)如何理解？

生1答：函數(shù)在區(qū)間-1，13沒有遞增或常數(shù)函數(shù)的情況.

生2答：函數(shù)在區(qū)間-1，13之外沒有遞減部分.

生3答：可結(jié)合拓展1求解或利用-1和13是f′（x）=0的根求解.

通過師生的共同探討，得到兩種解答.

規(guī)律方法 關(guān)鍵是理解y=f（x）的遞減區(qū)間恰好為-1，13的含義.

拓展3 若函數(shù)f（x）=x3+ax2-a2在區(qū)間13，+∞上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

師問：函數(shù)在區(qū)間13，+∞上是增函數(shù)，是不是單調(diào)遞增區(qū)間就是13，+∞呢？

生答：不一定，在區(qū)間13，+∞外還有可能存在遞增的情況.

師問：怎樣求實(shí)數(shù)a的取值范圍？

生答：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間13，+∞上是增函數(shù)，所以y=f′（x）在13，+∞都是大于或等于零，只要不出現(xiàn)有恒為零即可.

師問：為什么？

生答：如f（x）=x3，f′（x）=3x2≥0當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取“=”，而f（x）=x3在R上是增函數(shù).

通過本例的研究得到已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)范圍的兩個(gè)方法：

（1）利用集合間的包含關(guān)系處理：y=f（x）在 （a，b）上單調(diào)，則區(qū)間（a，b）是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.

（2）轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則f′（x）≥0；若函數(shù)單調(diào)遞減，則f′（x）≤0”來求解，注意式子中的等號不能省略，否則漏解.注意可導(dǎo)函數(shù)f（x）在（a，b）上是增（減）函數(shù)的充要條件是：對x∈（a，b），都有f′（x）≥0（f′（x）≤0），且f′（x）在（a，b）的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.

拓展4 已知函數(shù)f（x）=x3-ax2+2x在13，2上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

師問：如何理解函數(shù)在區(qū)間13，2上存在單調(diào)遞減區(qū)間？

生答：函數(shù)在區(qū)間13，2有遞減的情況，也就是存在x0∈13，2使得f′（x）<0.

著名的教育家波利亞曾說：“好問題跟某種蘑菇有些像，它們都成堆生長，找到一個(gè)以后，應(yīng)該在周圍再找找，很可能附近就有好幾個(gè).”由此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從一個(gè)問題出發(fā)，通過逆向思維求其逆命題；通過設(shè)常量為變量拓展問題；通過引入?yún)⒘客茝V問題；通過弱化或強(qiáng)化條件與結(jié)論，進(jìn)行橫向的拓寬和縱向的深入等方法去探索問題的變化，則能使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，去揭示其中的數(shù)學(xué)思想.這樣，我們通過“問題”情境的創(chuàng)設(shè)，營造良好的課堂心理氛圍，誘發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望使其更好發(fā)揮探究的主動性，從而體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識的拓展變化，這樣既有利于學(xué)生學(xué)習(xí)知識，又有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維、建構(gòu)知識的能力和創(chuàng)新能力.