劉孟 龍蓉

【摘要】無窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中非常重要的教學(xué)內(nèi)容，同時(shí)是高職高專類學(xué)生專升本和本科學(xué)生考研中必考的數(shù)學(xué)知識(shí)，因此，無窮級(jí)數(shù)的學(xué)習(xí)不扎實(shí)直接影響到學(xué)生專業(yè)課的學(xué)習(xí)和繼續(xù)深造.本文對(duì)無窮級(jí)數(shù)的概念、性質(zhì)、斂散性及收斂區(qū)間等問題進(jìn)行整合，利用歸納、舉例的方法分析了關(guān)于無窮級(jí)數(shù)的解題誤區(qū)，以便在教學(xué)過程中取得良好的教學(xué)效果，同時(shí)使學(xué)生學(xué)生輕松的掌握無窮級(jí)數(shù)的教學(xué)內(nèi)容和解題方法.

【關(guān)鍵詞】無窮級(jí)數(shù)；解題誤區(qū)

在無窮級(jí)數(shù)一章中，從數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，再到冪級(jí)數(shù)展開與求和，所涉及的知識(shí)點(diǎn)密集，定理定義及判定方法多至應(yīng)接不暇，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感到十分吃力，尤其是在做題的時(shí)候更是感覺掌握了定理和審斂方法卻對(duì)題目無從下手，看了答案后才有種“山窮水復(fù)疑無解，看答案后見真知”的大徹大悟.筆者根據(jù)教學(xué)過程中遇到的問題，將關(guān)于無窮級(jí)數(shù)的一些錯(cuò)誤命題和方法進(jìn)行整理、分類，以便學(xué)生在做題的過程中避免發(fā)生類似的錯(cuò)誤，并更好地掌握級(jí)數(shù)相關(guān)的概念和解題方法.

一、主觀臆斷，想當(dāng)然耳

錯(cuò)誤命題1：若∑∞n=0an發(fā)散則limn→∞an≠0.

在判定級(jí)數(shù)的斂散性時(shí)，一般項(xiàng)an是否趨于0可以作為初審條件，一般項(xiàng)an不趨于0是級(jí)數(shù)發(fā)散的充分條件，一般項(xiàng)an趨于0是級(jí)數(shù)收斂的必要條件.對(duì)于上述錯(cuò)誤命題我們可以舉出反例，即調(diào)和級(jí)數(shù)∑∞n=01n發(fā)散，但limn→∞1n=0.

錯(cuò)誤命題2：若an+1an<1則limn→∞an+1an<1.

上面的錯(cuò)誤經(jīng)常在使用達(dá)朗貝爾比值判別法時(shí)出現(xiàn)，可以說是對(duì)求極限相當(dāng)然的一個(gè)錯(cuò)誤.例如在級(jí)數(shù)∑∞n=112n+1中an+1an=2n+12n+3<1，但limn→∞an+1an=limn→∞2n+12n+3=1，所以an+1an

的比值和極限值是不同的.在達(dá)朗貝爾比值判別法中，當(dāng)極限值為1時(shí)該判別法失效.若判定級(jí)數(shù)∑∞n=112n+1的斂散性，我們可以使用極限形式的比較判別法，讓該級(jí)數(shù)與已知發(fā)散的調(diào)和級(jí)數(shù)進(jìn)行比較得，這兩個(gè)級(jí)數(shù)具有相同的斂散性.

二、誤解性質(zhì)，錯(cuò)下結(jié)論

錯(cuò)誤命題3：若一個(gè)級(jí)數(shù)加括號(hào)后收斂則該級(jí)數(shù)收斂.

給級(jí)數(shù)加括號(hào)后不改變斂散性是收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)之一，其前提條件是原級(jí)數(shù)收斂，所以在使用的時(shí)候要注意條件是否滿足.對(duì)上面的錯(cuò)誤命題我們可以舉例說明，例如級(jí)數(shù)∑∞n=1（-1）n-1加括號(hào)后得（1-1）+（1-1）+…+（1-1）+…是收斂的，但原級(jí)數(shù)1-1+1-1+…+1-1+…是發(fā)散的.

錯(cuò)誤命題4：若兩個(gè)級(jí)數(shù)都發(fā)散則逐項(xiàng)相加或相減后所得的新級(jí)數(shù)發(fā)散.

根據(jù)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，可以證明兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)逐項(xiàng)相加或相減后所得的新級(jí)數(shù)是收斂的，一個(gè)收斂級(jí)數(shù)和一個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)逐項(xiàng)相加或相減后所得的新級(jí)數(shù)是發(fā)散的，但兩個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)逐項(xiàng)相加或相減后所得的新級(jí)數(shù)的斂散性是不確定的.

三、混淆概念，結(jié)論不清

錯(cuò)誤命題5：若級(jí)數(shù)∑∞n=1un絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)∑∞n=1un條件收斂.

我們首先從概念出發(fā)去理解什么是絕對(duì)收斂和條件收斂.對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1un的各項(xiàng)加絕對(duì)值所得級(jí)數(shù)∑∞n=1un.如果絕對(duì)值級(jí)數(shù)∑∞n=1un收斂，則原級(jí)數(shù)∑∞n=1un收斂且絕對(duì)收斂；如果絕對(duì)值級(jí)數(shù)∑∞n=1un發(fā)散，而原級(jí)數(shù)∑∞n=1un收斂，則稱原級(jí)數(shù)∑∞n=1un條件收斂.由此我們可知，對(duì)于級(jí)數(shù)∑∞n=1un而言，無論是絕對(duì)收斂還是條件收斂，級(jí)數(shù)∑∞n=1un都是收斂的，只能依據(jù)絕對(duì)值級(jí)數(shù)∑∞n=1un收斂或發(fā)散來判斷.可以說絕對(duì)收斂和條件收斂是兩個(gè)相互獨(dú)立的平行概念，其間不存在充分必要關(guān)系.

錯(cuò)誤命題6：若冪級(jí)數(shù)∑∞n=0anxn的收斂半徑為R，則其的收斂區(qū)間是[-R，R].

求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂域及收斂區(qū)間是比較常見的問題，學(xué)生卻經(jīng)常因收斂域和收斂區(qū)間的概念不清而導(dǎo)致一些錯(cuò)誤.明確的說，收斂區(qū)間只是開區(qū)間（-R，R），而收斂域是指冪級(jí)數(shù)所有收斂點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，在收斂區(qū)間的端點(diǎn)處也有可能收斂，所以收斂域可能是以下四種情況之一：[-R，R]，（-R，R]，[-R，R），（-R，R）.根據(jù)冪級(jí)數(shù)的阿貝爾定理可知，冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)處都是絕對(duì)收斂，只有在端點(diǎn)處才可能是條件收斂.對(duì)于冪級(jí)數(shù)求導(dǎo)或求積分不改變其收斂半徑，但收斂的端點(diǎn)可能經(jīng)過求導(dǎo)后會(huì)變成發(fā)散.

綜上所述，無窮級(jí)數(shù)這一章內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，但將數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、正項(xiàng)級(jí)數(shù)、任一項(xiàng)級(jí)數(shù)以及冪級(jí)數(shù)的基本概念、基本性質(zhì)及定理系統(tǒng)的歸納、整理，清晰掌握本章的知識(shí)點(diǎn)和解題方法，再加以適當(dāng)?shù)睦}和練習(xí)是可以學(xué)好的.

【參考文獻(xiàn)】

[1]施金福.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）[M].上海：上海交通大學(xué)出版社，2010

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（第三版下冊(cè)）[M]6版.北京：高等教育出版社，2010.