極具挑戰(zhàn)的完美數(shù)

黃洪濤

今年1月7日，美國密蘇里中央大學(xué)數(shù)學(xué)家?guī)扃晖ㄟ^一個(gè)名為“互聯(lián)網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜索（GIMPS）”的項(xiàng)目，找到了目前已知的最大完美數(shù)2^74207280（2^74207281-1），即2的74207281次方-1后，再乘以2的74207280次方（注：^為計(jì)算機(jī)語言中的次冪符號(hào)）。該數(shù)是人類2500多年來發(fā)現(xiàn)的第49個(gè)完美數(shù)，它有44677235位數(shù);如果用普通字號(hào)將它打印下來，其長度就可達(dá)200千米！讀者朋友可以腦補(bǔ)一下……連澳大利亞知名數(shù)學(xué)家帕克都認(rèn)為，這是一個(gè)巨大的科學(xué)成就。那么，這會(huì)不會(huì)又是一個(gè)類似經(jīng)典電影《心靈捕手》的科學(xué)探索故事呢？完美數(shù)究竟有何魅力，引得眾多數(shù)學(xué)家們前赴后繼？

完美數(shù)究竟是什么鬼？

?完美數(shù)稀少而優(yōu)美，被譽(yù)為數(shù)論寶庫中的“鉆石”

完美數(shù)（Perfect Number），又稱“完全數(shù)”“完備數(shù)”或“完滿數(shù)”，它的定義是除其本身以外全部因數(shù)之和等于本身的數(shù)，這個(gè)定義看起來拗口，不如我們舉兩個(gè)例子，最小的兩個(gè)完美數(shù)就是6（其全部因數(shù)為1、2、3、6）和28（其全部因數(shù)為1、2、4、7、14、28），它們均是除其本身外各因數(shù)的和：6=1+2+3和28=1+2+4+7+14。這些數(shù)都有一些神奇的特性，因此科學(xué)家們賦予它們一個(gè)美好的名字—— 完美數(shù)。

早在公元前6世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯就發(fā)現(xiàn)了完美數(shù)的特性，他也是最早研究完美數(shù)的人，當(dāng)時(shí)，他就已經(jīng)知道6和28是完美數(shù)了。他曾經(jīng)說過：“6象征著完美的婚姻以及健康和美麗，因?yàn)樗牟糠质峭暾?，并且其和等于自身?！辈贿^，有人認(rèn)為古印度人和以前生活在西亞地區(qū)的希伯來人早就知道完美數(shù)的特征了，而古希臘人則將人們對完美數(shù)的認(rèn)識(shí)提升到了一個(gè)更高的層次。

?美國數(shù)學(xué)家?guī)扃???古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯

?法國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡兒 ??古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得 ??美國數(shù)學(xué)家魯濱遜

由于完美數(shù)有許多有趣的性質(zhì)和無與倫比的魅力，千百年來，一直吸引著眾多數(shù)學(xué)家和無數(shù)業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者對它進(jìn)行探究。17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡兒曾經(jīng)公開預(yù)言：“能找出的完美數(shù)是不會(huì)多的，好比人類一樣，要找一個(gè)完美的人亦非易事?！苯?jīng)過了漫長的歲月，迄今為止，人類僅發(fā)現(xiàn)了49個(gè)完美數(shù)。這種數(shù)稀少而優(yōu)美，所以被人們稱為“數(shù)論寶庫中的‘鉆石”。

公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在其名著《幾何原本》中論述完美數(shù)時(shí)，曾提出：如果2P-1是素?cái)?shù)，其中指數(shù)P也是素?cái)?shù)，則2P-1（2P-1）是完美數(shù)。到了18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家歐拉從理論上證明了歐幾里得的推論：每一個(gè)偶完美數(shù)，必定是由2P-1（2P-1）算出的。例如，6=2^（2-1）（2^2-1）=2×3;28=2^（3-1）（2^3-1）=4×7。由此可知，人們只要找到2P-1型素?cái)?shù)，就可以發(fā)現(xiàn)完美數(shù)了。

?伊利諾伊大學(xué)數(shù)學(xué)系蓋的郵戳

發(fā)現(xiàn)梅森素?cái)?shù)的競逐

后來，找尋完美數(shù)要用到的2P-1型素?cái)?shù)，被數(shù)學(xué)界冠以“梅森素?cái)?shù)（Mersenne Prime）”的名號(hào)，它是以17世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家梅森命名的，因?yàn)樗麑@種特殊素?cái)?shù)做了較為系統(tǒng)和深入的研究。有趣的是，近百年來，人們發(fā)現(xiàn)的“超大素?cái)?shù)”，幾乎都是梅森素?cái)?shù)。

其實(shí)，梅森素?cái)?shù)貌似簡單，但探究難度卻極大。它不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且還需要艱巨的計(jì)算和強(qiáng)大的運(yùn)算量。1772年，歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了231-1（即2147483647）是第8個(gè)梅森素?cái)?shù)。這個(gè)具有10位的素?cái)?shù)，堪稱當(dāng)時(shí)已知的最大素?cái)?shù)。而第8個(gè)完美數(shù)——230（231-1）也由此而來，這也是當(dāng)時(shí)人們發(fā)現(xiàn)的最大完美數(shù)。歐拉的頑強(qiáng)毅力和解題技巧，令人贊嘆不已。法國大數(shù)學(xué)家拉普拉斯說的話，或許可以代表我們的心聲：“讀讀歐拉，他是我們每一個(gè)人的老師?！?/p>

在“手算筆錄”的年代，人們前赴后繼、歷盡艱辛，只找到12個(gè)梅森素?cái)?shù);也就是說，只有12個(gè)完美數(shù)被發(fā)現(xiàn)。而電子計(jì)算機(jī)的產(chǎn)生，大大加快了梅森素?cái)?shù)的探究進(jìn)程。例如，1952年，美國數(shù)學(xué)家魯濱遜將“盧卡斯-萊默檢驗(yàn)法”編譯成計(jì)算機(jī)程序，使用SWAC型計(jì)算機(jī)在幾個(gè)月內(nèi)，就找到了5個(gè)梅森素?cái)?shù)：2521-1、2607-1、21279-1、22203-1和22281-1。

探究梅森素?cái)?shù)，不僅極富挑戰(zhàn)性，而且對探究者來說，有一種巨大的自豪感，這也許就是無數(shù)數(shù)學(xué)英豪競折腰的原因吧！1963年6月2日晚上8點(diǎn)，當(dāng)?shù)?3個(gè)梅森素?cái)?shù)211213-1通過大型計(jì)算機(jī)被找到時(shí)，美國廣播公司（ABC）中斷了正常的節(jié)目播放，在第一時(shí)間發(fā)布了這一重要消息。而發(fā)現(xiàn)這個(gè)素?cái)?shù)的美國伊利諾伊大學(xué)數(shù)學(xué)系全體師生，更是在無比驕傲的同時(shí)，為了讓全世界都分享這一重大成果，把所有從系里發(fā)出的信封，都蓋上了“211213-1是個(gè)素?cái)?shù)”的郵戳，其狂熱程度表現(xiàn)得淋漓盡致。

隨著指數(shù)P值的增大，每一個(gè)梅森素?cái)?shù)的產(chǎn)生都艱辛無比。而數(shù)學(xué)家和業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者仍樂此不疲，競相搶取先機(jī)。1979年2月23日，當(dāng)美國克雷研究公司的計(jì)算機(jī)專家史洛溫斯基和納爾遜宣布，他們找到第26個(gè)梅森素?cái)?shù)223209-1時(shí)，有人告訴他們：就在兩個(gè)星期前，美國加州的高中生諾爾就已經(jīng)給出了同樣的結(jié)果。為此，他們潛心發(fā)奮，又花了一個(gè)半月的時(shí)間，使用Cray-1型計(jì)算機(jī)找到了新的梅森素?cái)?shù)244497-1。這件事，成了當(dāng)時(shí)不少主流報(bào)紙的頭版新聞。后來，史洛溫斯基還獨(dú)自發(fā)現(xiàn)了6個(gè)梅森素?cái)?shù)，因而被人們譽(yù)為“素?cái)?shù)大王”。

值得一提的是，人們在尋找梅森素?cái)?shù)的同時(shí)，對它的分布規(guī)律的研究也一直在進(jìn)行著。從已發(fā)現(xiàn)的梅森素?cái)?shù)來看，它在正整數(shù)中的分布時(shí)疏時(shí)密、極不規(guī)則，因此，研究梅森素?cái)?shù)的分布規(guī)律，似乎比尋找新的梅森素?cái)?shù)更為困難。

英、法、德、美等國的數(shù)學(xué)家都曾經(jīng)給出過有關(guān)梅森素?cái)?shù)分布的猜測，但他們的猜測都以近似表達(dá)式給出，而與實(shí)際情況的接近程度均差強(qiáng)人意。中國數(shù)學(xué)家、語言學(xué)家周海中經(jīng)過多年的努力，于1992年2月首先給出了梅森素?cái)?shù)分布的精確表達(dá)式。后來，這一重大成果被國際上命名為“周氏猜測”。美籍挪威數(shù)論大師、菲爾茨獎(jiǎng)和沃爾夫獎(jiǎng)得主塞爾伯格認(rèn)為，周氏猜測具有創(chuàng)新性，開創(chuàng)了富于啟發(fā)性的新方法;其創(chuàng)新性還表現(xiàn)在揭示新的規(guī)律上。

?Intel核心處理器常用尋找梅森素?cái)?shù)這樣大運(yùn)算量的數(shù)學(xué)難題進(jìn)行自測

后來，分布式計(jì)算技術(shù)的出現(xiàn)，使梅森素?cái)?shù)的探究如虎添翼。1996年初，美國計(jì)算機(jī)專家沃特曼編制了一個(gè)梅森素?cái)?shù)計(jì)算程序，并放在網(wǎng)上供數(shù)學(xué)家和業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者免費(fèi)使用。這就是舉世聞名的GIMPS項(xiàng)目，也是全世界第一個(gè)基于互聯(lián)網(wǎng)的分布式計(jì)算項(xiàng)目。該項(xiàng)目主要利用大量普通計(jì)算機(jī)的閑置處理能力，來獲得相當(dāng)于超級(jí)計(jì)算機(jī)的運(yùn)算能力。美國計(jì)算機(jī)專家?guī)鞝栁炙够?997年建立了“素?cái)?shù)網(wǎng)”，使分配搜索區(qū)間和向GIMPS發(fā)送報(bào)告自動(dòng)化。人們只要從該項(xiàng)目下載開放源代碼的Prime95或MPrime軟件，就可以馬上尋找梅森素?cái)?shù)了。

為了激勵(lì)人們尋找梅森素?cái)?shù)，促進(jìn)網(wǎng)格技術(shù)的發(fā)展，總部設(shè)在美國的電子前沿基金會(huì)（EFF）還于1999年3月向全世界宣布，為通過GIMPS項(xiàng)目來尋找梅森素?cái)?shù)而設(shè)立“協(xié)同計(jì)算獎(jiǎng)”，該獎(jiǎng)項(xiàng)向第一個(gè)找到超過100萬位數(shù)的個(gè)人或機(jī)構(gòu)頒發(fā)5萬美元，后面的獎(jiǎng)金依次為：超過1000萬位數(shù)，10萬美元;超過1億位數(shù)，15萬美元;超過10億位數(shù)，25萬美元。但絕大多數(shù)研究者參與該項(xiàng)目并不是為了金錢，而是出于好奇心、求知欲和榮譽(yù)感。而且，梅森素?cái)?shù)的探究正吸引著越來越多普通數(shù)學(xué)愛好者的加入。

1999年6月，住在美國密歇根州的數(shù)學(xué)愛好者哈吉拉特瓦拉通過GIMPS項(xiàng)目找到了第一個(gè)超過100萬位的梅森素?cái)?shù)26972593-1，他成了第一個(gè)獲得該獎(jiǎng)勵(lì)的人。該數(shù)是第38個(gè)梅森素?cái)?shù)，也是20世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的最后一個(gè)梅森素?cái)?shù)。哈吉拉特瓦拉是一家公司的總裁，他在接受媒體采訪時(shí)說：“兩年前憑好奇心和求知欲參加了GIMPS項(xiàng)目，我的運(yùn)氣還算不錯(cuò)，只在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行了3個(gè)星期的持續(xù)運(yùn)算，就發(fā)現(xiàn)了這個(gè)‘寶貝?！?/p>

美國加州大學(xué)洛杉磯分校的計(jì)算機(jī)專家史密斯于2008年首先發(fā)現(xiàn)超過1000萬位的梅森素?cái)?shù)——243112609-1，該數(shù)有12978189位;他也因此獲得了EFF頒出的10萬美元大獎(jiǎng)。這一重大成就，被《時(shí)代》雜志評(píng)為“2008年度50項(xiàng)最佳發(fā)明”之一。不過，史密斯是私自利用學(xué)校的75臺(tái)計(jì)算機(jī)參加GIMPS項(xiàng)目的;本來這種行為應(yīng)該被處罰，但鑒于他為學(xué)校爭了光，反而受到了校方的表彰。

目前，全球已經(jīng)有192個(gè)國家和地區(qū)、60多萬人使用超過125萬個(gè)中央處理器（CPU）參與GIMPS項(xiàng)目。迄今為止，人們通過該項(xiàng)目已經(jīng)找到15個(gè)梅森素?cái)?shù);也可以說，人們通過該項(xiàng)目已經(jīng)發(fā)現(xiàn)15個(gè)完美數(shù)。其發(fā)現(xiàn)者來自美國、德國、英國、法國等地。英國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)主席、《素?cái)?shù)的音樂》一書作者索托伊在2009年于南京講學(xué)時(shí)還說，希望也能有中國人加入梅森素?cái)?shù)的發(fā)現(xiàn)大賽中。

梅森素?cái)?shù)的應(yīng)用前景

完美數(shù)的族群，反映了自然數(shù)中的某些基本規(guī)律，目前其實(shí)際用途還在不斷探尋。不過，構(gòu)成完美數(shù)的關(guān)鍵部分——梅森素?cái)?shù)的價(jià)值，在當(dāng)代已經(jīng)越來越受到重視。

在計(jì)算機(jī)檢測技術(shù)方面，梅森素?cái)?shù)的尋找可以發(fā)現(xiàn)計(jì)算機(jī)芯片存在的問題。最近，德國一名GIMPS項(xiàng)目的參與者發(fā)現(xiàn)：當(dāng)使用英特爾第六代核心處理器Intel Skylake執(zhí)行Prime95應(yīng)用來尋找梅森素?cái)?shù)時(shí)，運(yùn)算到指數(shù)P=14942209就出現(xiàn)了觸發(fā)系統(tǒng)死機(jī)的漏洞。其實(shí)，從20世紀(jì)90年代開始，美國克雷公司、蘋果公司等就開始利用梅森素?cái)?shù)來測試計(jì)算機(jī)的功能;其原理是通過CPU不斷地進(jìn)行梅森素?cái)?shù)的運(yùn)算，讓CPU工作在大負(fù)荷下，并借此考驗(yàn)其系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此外，梅森素?cái)?shù)在密碼學(xué)方面有著潛在的應(yīng)用：在密碼設(shè)計(jì)中，需要使用較大的素?cái)?shù)，而素?cái)?shù)越大，密碼被破譯的可能性就越小。

最后值得一提的是，在被發(fā)現(xiàn)的49個(gè)完美數(shù)中，的確統(tǒng)統(tǒng)都是偶數(shù)。那么，是否存在奇數(shù)的完美數(shù)呢？另外，是否存在無窮多個(gè)完美數(shù)？這些問題，都是著名的數(shù)學(xué)難題，有待更多后繼者的破解。