淺析斷點回歸的經(jīng)濟學應用

王湛晨

摘 要：斷點回歸（Regression Discontinuity）是僅次于隨機實驗的，能夠有效利用現(xiàn)實約束條件分析變量之間因果關系的實證方法。Thistleth waite和Campbell于1960年正式發(fā)表了第一篇關于斷點回歸的論文。隨后Campbell和Stanley為斷點回歸提供了更加清晰化的概念，在被諸多學者所完善之后，斷點回歸分析方法被廣泛應用于經(jīng)濟學領域。從斷點回歸的基本模型出發(fā)，簡要分析斷點回歸為了使用與經(jīng)濟學而進行的兩個變型。

關鍵詞：斷點回歸；處理效應；經(jīng)濟學應用

中圖分類號：F224 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2016）09-0003-02

斷點回歸首先出現(xiàn)在Thistlethwaite 和 Campbell（1960）關于“對學生的未來學術成果（生涯渴望和研究生項目等級）進行嘉獎”的研究中。其研究表明，獎勵根據(jù)學生參與測試的成績進行分配。假設某一學生的分數(shù)為X，大于等于一臨界值c，便會獲得獎勵，相反，低于此臨界值的學生則享受不到獎勵。在這一處理實驗（給予獎勵）中便會形成一個明顯的斷點，以函數(shù)表達則表現(xiàn)為不連續(xù)。用虛擬變量D={0，1}表達處理的收益，即當X≥c時，D=1；當X

另外，毋庸置疑的是，除了接受獎勵，對于未來學術成果Y也是測試分數(shù)的不連續(xù)函數(shù)。因此，Y在c處的跳躍間斷便是受到獎勵的因果效應。假設Y和X之間呈現(xiàn)線性關系，方程（1）便簡單地表達了對于處理效應τ的簡單估計。

Y=α+Dτ+Xβ+ε （1）

ε表示誤差項，可看作是Y的值對回歸線α+Dτ+Xβ產(chǎn)生的隨機誤差項。Thistlethwaite 和 Campbell（1960）給出了為什么系數(shù)τ可以被看作是受到獎勵的效應的估計的一些視覺上的證據(jù)（見圖1）。假設某一樣本的得分X就是c，這一情況下，我們要猜測其收益Y是否為接受了獎勵的結果。

假設我們可以認為除了是否獎勵，其余因素對于X都是平滑的。則B′可以看作是對得分剛好為c（獲得獎勵）的樣本其收益Y的合理猜測。同理，A′′可以看作是未接受獎勵的樣本。因此B′- A′′可以看作是因果估計?？梢?，RD設計應該采用臨界點附近的樣本作為研究對象，如圖1中c′′和c′。

因此理論上來說，樣本選取越接近臨界點越好。然而在實踐過程中，我們不能僅僅考慮臨界點附近的樣本。所考慮的范圍越窄，樣本數(shù)量就會越少。圖1顯示，比c′′和c′更加鄰近的樣本根本不存在。因此，為了充分利用有限的數(shù)據(jù)，猜測關于X=c時是否獲得獎勵，我們仍需要距離臨界點相比來說有一定距離的樣本。如果方程確定為線性，我們便可以用OLS估計獲得D的系數(shù)τ的最優(yōu)無偏估計量。

有上述討論便可以看出RD的兩個特點：首先，需要考慮充分能夠影響Y的所有因素，而且這些因素對于X而言應該是平滑的。如果另有因素在c處出現(xiàn)跳躍，對于τ（獲得獎勵的收益）的估計或許是有偏的。另外，因為RD還需要距離臨界點較遠的數(shù)據(jù)，因此對于回歸方程的選擇很重要。本文所討論的，如果斜率β被錯誤地限定為0，對于D的OLS估計將得出有偏的結果。

一、RD潛在結果分析框架

當RD被引用為應用經(jīng)濟學中，比如Van der Klaauw（2002），Black（1999），以及Angrist and Lavy（1999），上文提及的識別項在基于Hahn，Todd和Van der Klaauw（2001）的理論上被形式化，其認為RD評估策略運用了有關處理效應文獻的相關語言。Hahn，Todd和Van der Klaauw（2001）中指出了RD的關鍵性假設，所有變量對于X而言應該是連續(xù)的，而且如前文提到的一般模型一樣對于τ估計的非參數(shù)過程不局限在基本的線性問題上。

越來越多的有關“處理效應”的文獻通過潛在結果分析框架支持了“連續(xù)性假設”的必要性，并通過圖表予以輔助說明。對于樣本個體i而言，存在了兩種潛在的結果，即接受處理得到結果Yi（1）和拒絕處理得到結果Yi（0）。處理的因果效應便可以通過一次差分Yi（1）- Yi（0）獲得。

因果推論的基本問題在于，我們不能同時發(fā)現(xiàn)一對完美的Yi（1）和 Yi（0）。因此，我們轉而關注處理效應的平均值，即Yi（1）- Yi（0）在一組樣本上的處理效應而不是單個樣本。

關于RD實驗的準備，我們假設對于結果和變量X，存在兩組對應關系，E[Yi（1）|X]和E[Yi（0）|X]（如圖2所示）。根據(jù)RD實驗原理，對于所有位于間斷點右側的樣本點（本圖中c=2處）選擇接受處理而左側的拒絕處理。因此對于E[Yi（1）|X]我們僅考慮其在c=2右側的圖像，而對于E[Yi（0）|X]我們僅考慮其在c=2左側的圖像。

這就是在間斷點c處的平均處理效應。因為E[Yi（1）|X]和E[Yi（0）|X]是連續(xù)的，因此上述推論方可成立。本質上來說，連續(xù)性前提使得我們能夠用圖中c右側下面的曲線（拒絕處理組）作為c右側上面的曲線（接受處理組）平均實施結果的有效參照。

盡管潛在結果分析框架對于理解斷點回歸如何應用于經(jīng)濟學分析框架十分有幫助，但仍舊存在一些難點。首先，連續(xù)性前提看似合乎情理但從經(jīng)濟學角度理解很難盡善盡美。一些經(jīng)典經(jīng)濟學假設對于連續(xù)性不做要求，因此。對于一些經(jīng)濟行為，我們很難定義“連續(xù)”。其次，斷點回歸實驗是對于樣本選擇有特殊的要求。通常包含兩個重要條件：一是可見的隨機分配條件。對于標準回歸分析框架，所有相關因素都應受到控制，沒有遺漏的變量與虛擬處理變量存在相關性。在斷點回歸分析中，這一條件能夠得到很好的滿足。當X≥c時，虛擬處理變量D總為1，而當X

二、隨機局部實驗的RD分析

當我們把斷點回歸分析作為隨機試驗下政策工程效果的評估的方法時，我們可以看出，斷點回歸分析更像是隨機試驗。

在一個隨機試驗中，樣本基于隨機生成的數(shù)字v被分為處理組和控制組。V服從[0，4]的均勻分布，并且在v大于等于2時接受處理，反之拒絕。這一情況下，斷點回歸設計便是X=v在間斷點v=2處間斷的情況（如圖3所示）。圖3為潛在結果分析框架的一種特殊情況，在這里，X是完全隨機的，不再由潛在結果Yi（1）和Yi（0）決定，因此其圖形是平坦的。由于E[Yi（1）|X]和E[Yi（0）|X]在隨機試驗中是平坦的曲線，因此，平均的處理效應便是間斷點右側的平均值和左側平均值的差?；蛟S會有人對X做Y的回歸，但是，如果我們確定隨機是成功的，X應該與這一回歸是不相關的。

現(xiàn)在我們舉一個簡單的例子說明，出于某種原因，人們可以獲得與隨機數(shù)字X呈反比例的經(jīng)濟補償。處理政策為失業(yè)者能否在一個月內重新找到工作。獲得補償多的人能夠負擔得起更長的尋找工作周期，其潛在結果曲線則變成斜率為政的曲線。這是因為，得到的隨機數(shù)字越大，獲得的補償就會越少，故而縮減了尋找工作的周期，這樣便會呈現(xiàn)出和圖2相似的情形。

經(jīng)典的隨機試驗，不能夠得到處理效應的一致估計。通過研究斷點右側，斷點回歸的方法仍舊能夠產(chǎn)生處理效應的一致估計。這是因為，由于處于間斷點附近的人們本質上來說得到的補償差異不大。因此，在間斷點附近仍舊是一個局部隨機試驗。在本實驗中，因為我們假設了經(jīng)濟補償是關于X的連續(xù)函數(shù)。因此，連續(xù)性假設使得我們能夠得到對于處理效應的一致估計量。

參考文獻：

[1] Thistleth waite，Campbell.“Regression Discontinuity analysis：An alternative to the ex post facto experiment”，Journal of Educational

Psychology，1960，（6）：309-317.

[2] Campbell，D.T.，Stanley，J.C.，“Exprimental and quasi-experimental design for research on teaching”，In N.L.Cage（ED），Handbook of

research on teaching Chicago：Rand McNally，1963：171-246.

[責任編輯 劉嬌嬌]