非交換環(huán)上的強(qiáng)余撓模

胡晴，王芳貴，熊濤

非交換環(huán)上的強(qiáng)余撓模

胡晴，王芳貴*，熊濤

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066)

設(shè)R是任何環(huán)，L是R－模.若對(duì)任何平坦維數(shù)有限的模M，有Ext1R(M，L)=0，則L稱為強(qiáng)余撓模.證明(F∞，SC)是余撓理論當(dāng)且僅當(dāng)l.FFD(R)＜∞，其中F∞和SC分別表示平坦維數(shù)有限的模類和強(qiáng)余撓模類.還證明若w.gl.dim(R)＜∞，則強(qiáng)余撓模是內(nèi)射模.最后證明每一R－模是強(qiáng)余撓模當(dāng)且僅當(dāng)R是左完全環(huán)，且l.FFD(R)=0.

余撓模;強(qiáng)余撓模;平坦維數(shù);左完全環(huán);環(huán)的弱finitistic維數(shù)

1 預(yù)備知識(shí)

本文恒設(shè)R是有單位元的結(jié)合環(huán)，所有的模均指左模.用fdRL和pdRL分別表示R－模L的平坦維數(shù)和投射維數(shù);gl.dim(R)和w.gl.dim(R)分別表示環(huán)R的整體維數(shù)和弱整體維數(shù).

D.K.Harrison［1］為了刻畫非有限的Abelian群的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，引入了余撓模的概念.R－模C稱為余撓模，是指對(duì)一切平坦模F，都有Ext1R(F，C)=0.其后E.E.Enochs［2］對(duì)余撓模的刻畫做了大量的研究工作.J.Z.Xu［3］系統(tǒng)地討論了余撓模的相關(guān)性質(zhì)，證明了平坦模類F與余撓模類C二者構(gòu)成了余撓理論，還證明了每個(gè)R－模是余撓模當(dāng)且僅當(dāng)環(huán)R是左完全環(huán).L.Bican等［4］解決了平坦蓋的猜測，即證明了對(duì)任何環(huán)R，每一R－模都有平坦蓋;等價(jià)于說，每一R－模都有余撓包.

余撓模的研究按照平坦維數(shù)在進(jìn)一步發(fā)展.S.B.Lee［5］引入弱內(nèi)射模來刻畫幾乎完全整環(huán).R－模W稱為弱內(nèi)射模，是指對(duì)任何平坦維數(shù)不超過1的模M，都有Ext1R(M，W)=0.交換環(huán)R稱為幾乎完全環(huán)，是指R的任何真商環(huán)都是完全環(huán)［6］.借助于弱內(nèi)射模，文獻(xiàn)［7－9］證明了整環(huán)R是幾乎完全整環(huán)，當(dāng)且僅當(dāng)平坦維數(shù)不超過1的模的投射維數(shù)也不超過1;當(dāng)且僅當(dāng)可除模是弱內(nèi)射模.

E.E.Enochs等［10］按照余撓模的研究思路考察了更一般的情形，他們稱之為n－余撓模.不過n－余撓模的不同的定義在文獻(xiàn)［11］已經(jīng)出現(xiàn)，熊濤［12］遵循S.B.Lee［5］的思路，把Enochs意義下的n－余撓模稱為Ln－內(nèi)射模.R－模L稱為Ln－內(nèi)射模，是指對(duì)任何平坦維數(shù)不超過n的模M，都有Ex(M，L)=0.

在這些研究的基礎(chǔ)上，討論文獻(xiàn)［3］引入的強(qiáng)余撓模.R－模L稱為強(qiáng)余撓模，是指對(duì)任何平坦維數(shù)有限的模M，都有Ext1R(M，L)=0.D.Bennis等［13］證明了若R是交換環(huán)，則每一R－模是強(qiáng)余撓模當(dāng)且僅當(dāng)R是完全環(huán).H.Y.Yan［14］在一般的非交換環(huán)上也討論了強(qiáng)余撓模的性質(zhì).本文借助環(huán)的弱finitistic維數(shù)來刻畫強(qiáng)余撓模的相關(guān)性質(zhì).

2 強(qiáng)余撓模的基本性質(zhì)

定義2.1［3］設(shè)L是R－模.若對(duì)任何平坦維數(shù)有限的模M有

Ext1R(M，L)=0，則L稱為強(qiáng)余撓模.

例2.21)顯然，內(nèi)射模是強(qiáng)余撓模;

2)對(duì)任何n≥0，強(qiáng)余撓模是Ln－內(nèi)射模.因此，強(qiáng)余撓模是弱內(nèi)射模(自然也余撓模).

命題2.3對(duì)任何R－模L，以下等價(jià):

1)L是強(qiáng)余撓模;

3)形如0→L→B→C→0的正合列是分裂的，其中fdRC＜∞;

4)若0→A→B→C→0是正合列，其中fdRC＜∞，則

0→HomR(C，L)→HomR(B，L)→HomR(A，L)→0也是正合列.

證明1)?2)設(shè)0→A→P→M→0是正合列，其中P是投射模.于是對(duì)任何k≥1有

ExtkR(A，L)≌Extk+1R(M，L).

注意fdRA＜∞.于是斷言由對(duì)k使用歸納法即證.

2)?1)顯然.

1)?3)由文獻(xiàn)［15］的推論7.20即知.

1)?4)由Ext1R(C，L)=0即得.

4)?1)考慮正合列0→A→P→C→0，其中P是投射模.于是

是正合列.由假設(shè)得到正合列

0→Ext1R(C，L)→0，

因此有Ext1R(C，L)=0，即L是強(qiáng)余撓模.

命題2.4設(shè)0→A→B→C→0是正合列.若A是強(qiáng)余撓模，則B是強(qiáng)余撓模當(dāng)且僅當(dāng)C是強(qiáng)余撓模.

證明設(shè)M是R－模，fdRM＜∞，由正合列

并引用命題2.3的2)即得.

命題2.5設(shè){Li}是一簇R－模，則∏iLi是強(qiáng)余撓模當(dāng)且僅當(dāng)每一Li是強(qiáng)余撓模.

證明設(shè)M是R－模，fdRM＜∞.由同構(gòu)關(guān)系即得所證.

下面給出強(qiáng)余撓模是內(nèi)射模的一個(gè)充分條件.

定理2.6設(shè)L是強(qiáng)余撓模.若fdRL＜∞，且fdRE(L)＜∞，其中E(L)是模L的內(nèi)射包，則L是內(nèi)射模.

證明考慮正合列0→L→E(L)→C→0，由條件有fdRC＜∞.由命題2.3，此正合列分裂，因此有L是內(nèi)射模.

因此，可以得到如下推論:

推論2.7若w.gl.dim(R)＜∞，則每一強(qiáng)余撓模是內(nèi)射模.

在文獻(xiàn)［16］中定義了模的余撓維數(shù)和環(huán)的整體余撓維數(shù)(cot.D(R)).相應(yīng)地，在文獻(xiàn)［13］中也定義了模的強(qiáng)余撓維數(shù)和環(huán)的整體強(qiáng)余撓維數(shù)S.cot.D(R).由于w.gl.dim(R)＜∞時(shí)強(qiáng)余撓模就是內(nèi)射模，故得到下面的結(jié)果.

推論2.8［16］若w.gl.dim(R)＜∞，則

gl.dim(R)=S.cot.D(R).

回顧環(huán)R稱為左IF環(huán)，是指每一內(nèi)射R－模是平坦模［17］.由定理2.6，可以得到以下推論.

推論2.9若R是左IF環(huán)，L是強(qiáng)余撓模，且fdRL＜∞，則L是內(nèi)射模.

3 模類F∞與模類SC

設(shè)(A，B)是一個(gè)模類對(duì).記

A⊥={B∈RM|對(duì)任何A∈A，Ex(A，B)=0}，以及

⊥B={A∈RM|對(duì)任何B∈B，Ex(A，B)=0}.若A=⊥B，且B=A⊥，則(A，B)稱為一個(gè)余撓對(duì)或一個(gè)余撓理論.J.Z.Xu［3］證明了平坦模類與余撓模類(F，C)構(gòu)成了余撓理論.S.B.Lee［5］證明了平坦維數(shù)不超過1的模類與弱內(nèi)射模類(F1，WI)構(gòu)成了余撓理論.更一般地，用Fn表示平坦維數(shù)不超過n的模類，Ln表示Ln－內(nèi)射模類，熊濤［12］證明了(Fn，Ln)構(gòu)成了余撓理論.用F∞表示平坦維數(shù)有限的模類，SC表示強(qiáng)余撓模類.由定義2.1知SC= F∞

⊥，F(xiàn)∞?⊥SC.下面證明一般地有(F∞，SC)不構(gòu)成余撓理論.

命題3.1

證明第一個(gè)等式是顯然的，第二個(gè)等式在文獻(xiàn)［10］中已經(jīng)指出.

定義3.2［18］環(huán)R的弱finitistic維數(shù)定義為

命題3.3若l.FFD(R)=∞，則存在R－模M，使得fdRM=∞，但對(duì)任何L∈SC有

證明由條件l.FFD(R)=∞，有對(duì)任何正整數(shù)n，存在R－模Mn，使得fdRMn=n.令

則

由于對(duì)任何L∈SC，有Ext1R(Mn，L)=0，因此有

推論3.4若l.FFD(R)=∞，則(F∞，SC)不構(gòu)成余撓理論.

引理3.5設(shè)R為環(huán)，F(xiàn)∞=⊥SC當(dāng)且僅當(dāng)F∞在直和下封閉.

證明參見文獻(xiàn)［14］的命題2.14.

文獻(xiàn)［14］證明了(F∞，SC)構(gòu)成余撓理論當(dāng)且僅當(dāng)F∞在直和下封閉.也可以用弱finitistic維數(shù)給出(F∞，SC)何時(shí)構(gòu)成余撓理論的刻畫.為此，需要下面的引理.

引理3.6設(shè)n是自然數(shù)，M和L是R－模，則:

1)M∈Fn當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何

2)L∈Ln當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何證明參見文獻(xiàn)［12］.

定理3.7對(duì)環(huán)R，以下各條等價(jià):

1)l.FFD(R)＜∞;

2)存在自然數(shù)n，使得Fn=F∞;

3)存在自然數(shù)n，使得Ln=SC;

4)存在自然數(shù)n，使得每一Ln－內(nèi)射模是強(qiáng)余撓模;

5)(F∞，SC)構(gòu)成余撓理論.

證明1)?2)設(shè)l.FFD(R)=n，則當(dāng)fdRM＜∞時(shí)，就有fdRM≤n.由此得到Fn=F∞.

2)?3)顯然，這是因?yàn)?/p>

3)?4)這是平凡的.

4)?1)設(shè)M是R－模，fdRM＜∞，則對(duì)任何L∈Ln，由條件，L是強(qiáng)余撓模，故由引理3.6，fdRM≤n.于是有l(wèi).FFD(R)≤n＜∞.

2)+3)?5)由文獻(xiàn)［12］，(Fn，Ln)構(gòu)成余撓理論.

5)?1)由推論3.4可知.

對(duì)定理3.7的證明作適當(dāng)變更，容易得以下定理.

定理3.8設(shè)n是自然數(shù)，對(duì)環(huán)R，以下各條等價(jià):

1)l.FFD(R)≤n;

2)Fn=F∞;

3)Ln=SC;

4)每一Ln－內(nèi)射模是強(qiáng)余撓模.

推論3.9每一余撓模是強(qiáng)余撓模當(dāng)且僅當(dāng)l.FFD(R)=0.

推論3.10每一R－模是強(qiáng)余撓模當(dāng)且僅當(dāng)R是左完全環(huán)，且l.FFD(R)=0.

證明若每一R－模是強(qiáng)余撓模，則每一R－模是余撓模.由文獻(xiàn)［3］的命題3.3.1，R是左完全環(huán).由推論3.9，l.FFD(R)=0.

反之，設(shè)R是左完全環(huán)，且l.FFD(R)=0.設(shè)C是任何R－模，M是R－模，fdRM＜∞.由于

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Strongly Cotorsion Modules over Non-commutative Rings

HU Qing，WANG Fanggui，XIONG Tao
(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

Let R be a ring and L an R-module.If Ext1R(M，L)=0 for all R-module M with finite flat dimension，then L is called strongly cotorsion.In this paper，it is shown that(F∞，SC)is a cotorsion theory if and only if l.FFD(R)＜∞，where F∞and SC denote respectively the class of modules with finite flat dimension and the class of strongly cotorsion modules.It is also shown that if w.gl.dim (R)＜∞，then all strongly cotorsion modules are injective.It is finally proved that every R-module is strongly cotorsion if and only if R is left perfect with l.FFD(R)=0.

cotorsion module;strongly cotorsion module;flat dimension;left perfect ring;weak finitistic dimension of a ring

O154

A

1001－8395(2016)03－0314－04

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.002

(編輯陶志寧)

2014－08－30

國家自然科學(xué)基金(11171240)和教育部博士點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(20125134110002)

*通信作者簡介:王芳貴(1955—)，男，教授，主要從事交換代數(shù)、同調(diào)代數(shù)與代數(shù)K－理論的研究，E－mail:wangfg2004@163.com

2010 MSC:16D50;16E10;16E30