任曉燕

[摘 要] 大學(xué)高等數(shù)學(xué)教育旨在培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力和應(yīng)用技能，同時也要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。在大學(xué)高等數(shù)學(xué)教育中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，不僅可以加深學(xué)生對高數(shù)知識的理解，還能有效培養(yǎng)學(xué)生的問題分析和解決思維能力，全面增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)的提高。主要深入探究了大學(xué)高數(shù)數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用及其意義，為類似研究提供一些參考。

[關(guān) 鍵 詞] 高數(shù)；數(shù)學(xué)思想；方法應(yīng)用

[中圖分類號] G712 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號] 2096-0603（2016）28-0134-02

大學(xué)高等教育的目的不但是幫助學(xué)生積累扎實(shí)的理論知識，而且要引導(dǎo)學(xué)生掌握一定的學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)思維。在大學(xué)教育中，高等數(shù)學(xué)是一門理論性、抽象性較強(qiáng)的學(xué)科，學(xué)生學(xué)習(xí)起來較為吃力，很容易對高數(shù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生倦怠心理。在高數(shù)教學(xué)過程中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法輔助教學(xué)，除了可以有效培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維，幫助學(xué)生鞏固知識外，還能深化高數(shù)知識內(nèi)容，促進(jìn)高數(shù)教學(xué)活動的順利開展。數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)知識體系中的重要組成部分，學(xué)生要想更好地理清各個數(shù)學(xué)知識點(diǎn)間的關(guān)系，有效解決數(shù)學(xué)問題，可以采用數(shù)學(xué)思想和方法去建立數(shù)學(xué)模型，提高高數(shù)學(xué)習(xí)成效。因此，教師在大學(xué)高數(shù)教學(xué)中，加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。

一、高數(shù)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用意義

數(shù)學(xué)思想方法伴隨著數(shù)學(xué)概念的延伸和數(shù)學(xué)知識的拓展，它不僅是數(shù)學(xué)內(nèi)容中的本質(zhì)思想，更是聯(lián)系各個數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的重要紐帶，因此，數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和掌握應(yīng)是高數(shù)教學(xué)中的重要內(nèi)容之一。在大學(xué)高數(shù)教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，具有以下幾方面意義。

（一）加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，主要是指培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運(yùn)算能力及問題分析解決能力。學(xué)生通過長期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，已經(jīng)掌握了豐富的數(shù)學(xué)理論知識，但缺乏將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的條件，即學(xué)生還沒做到靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決各類數(shù)學(xué)問題，這主要是因?yàn)閷W(xué)生還沒充分掌握數(shù)學(xué)思想方法。學(xué)生在學(xué)習(xí)高數(shù)知識初期會積累一定的感性認(rèn)識，當(dāng)感性認(rèn)識積累到一定量，學(xué)生便會加深對高數(shù)知識的理解，從而對高數(shù)知識產(chǎn)生理性認(rèn)識，形成數(shù)學(xué)思想方法。此時，教師只需引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決數(shù)學(xué)問題，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力便會得到有效提高。

（二）加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，有效培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力

數(shù)學(xué)思想方法是伴隨數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生而逐步發(fā)展的，數(shù)學(xué)思想方法的創(chuàng)新也會促使數(shù)學(xué)知識的變革和發(fā)展。由此可見，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要推動力，不論是拉格朗日中值定理，還是二次積分求面積，這些內(nèi)容都是數(shù)學(xué)學(xué)者在數(shù)學(xué)思想方法上進(jìn)行創(chuàng)新變革所得。大學(xué)高數(shù)教學(xué)的目標(biāo)是在學(xué)生掌握扎實(shí)理論知識的基礎(chǔ)上，高效培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，而數(shù)學(xué)思想方法正是有效培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的重要途徑。教師在高數(shù)教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法，有助于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識類比遷移的方法，從而促進(jìn)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力，便于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的創(chuàng)新與發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。

（三）加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，有效培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力

高等教育旨在為企業(yè)培養(yǎng)一批具有高文化、強(qiáng)技能的應(yīng)用型人才，良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)能高效培養(yǎng)學(xué)生的終身學(xué)習(xí)能力和可持續(xù)發(fā)展能力，保證高校學(xué)生能適應(yīng)市場崗位需求。高數(shù)教學(xué)涉及眾多內(nèi)容，但教學(xué)課時相對較少，因此，教師要在短暫的教學(xué)時間內(nèi)讓學(xué)生掌握具體數(shù)學(xué)知識并靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識是十分困難的。為解決這一矛盾，教師應(yīng)將數(shù)學(xué)思想方法滲透到高數(shù)教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、問題分析方法、問題解決對策等，切實(shí)增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)知識，使學(xué)生能自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問題，發(fā)展學(xué)生的終身學(xué)習(xí)能力。

二、高數(shù)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用分析

數(shù)學(xué)思想方法是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的重要途徑，數(shù)學(xué)思想方法包含數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，數(shù)學(xué)思想著重數(shù)學(xué)指導(dǎo)思想，即解題策略；數(shù)學(xué)方法側(cè)重數(shù)學(xué)實(shí)踐應(yīng)用，即解題方法。目前，高等數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法主要有以下幾種。

（一）數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指運(yùn)用函數(shù)的精確性去描繪某些曲線圖形的特征屬性，充分表現(xiàn)幾何圖形的直觀性，其本質(zhì)是以函數(shù)描繪圖形特點(diǎn)，以圖形反映函數(shù)特征。在高等數(shù)學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想可以實(shí)現(xiàn)數(shù)量與圖形間的對應(yīng)轉(zhuǎn)換，將抽象思維與形象思維相結(jié)合，精準(zhǔn)解決數(shù)學(xué)問題。在高數(shù)教學(xué)內(nèi)容中，需要運(yùn)用到數(shù)形結(jié)合思想去解決的內(nèi)容主要有：導(dǎo)數(shù)、極限、定積分、重積分的幾何解釋；線面積分、定積分、重積分的計算求解；函數(shù)圖形的單調(diào)性、奇偶性、連續(xù)性、凹凸性、極值、拐點(diǎn)；無窮數(shù)列收斂性等。

（二）類比思想

類比思想是指針對具有部分相同屬性的兩個或兩類對象進(jìn)行推理類比的思想方法。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，類比思想常應(yīng)用于數(shù)學(xué)概念、定理性質(zhì)及解題應(yīng)用，例如，函數(shù)的左極限和右極限，函數(shù)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)等都可以運(yùn)用類比分析的思想方法加深學(xué)生的理解；又如，二元函數(shù)極限概念可以類比到一元函數(shù)極限概念，二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)概念可以類比到一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)概念。因此，教師在高數(shù)教學(xué)中應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用類比思想，將自己已知的數(shù)學(xué)知識、方法、思維方式類比遷移到數(shù)學(xué)新知識、新方法、新思維方式中去，有效培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新性思維。

（三）極限思想

數(shù)列及函數(shù)的極限求解都體現(xiàn)了從有限至無限的極限變化思想，極限思想是解決一些實(shí)際問題但無法求得精確解時常用的方法。極限思想最先是用來求解圓面積，具體是利用增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)來求解圓的近似面積；后來，極限思想又被推廣應(yīng)用到利用平均速度的時間改變量趨近于零的方法求解變速直線運(yùn)動的瞬時速度；接著，極限思想又被應(yīng)用到利用矩形面積邊長無限接近于零去求解曲邊梯形面積中。在高等數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)、定積分、無窮級數(shù)收斂性等都可以用極限思想來求解。

極限思想本質(zhì)上是一種關(guān)乎“變與不變”“有限與無限”“精確與近似”的辯證思想，理解掌握、靈活運(yùn)用極限思想分析、解決高數(shù)問題是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵。因此，在高數(shù)教學(xué)中，教師應(yīng)有針對性地在數(shù)學(xué)概念、定理性質(zhì)中引導(dǎo)學(xué)生掌握極限求解思想，高效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思想能力。例如，在講到定積分相關(guān)內(nèi)容時，為求解曲邊梯形的面積，我們可以利用極限思想將曲邊梯形想象成是由無數(shù)個小矩形近似形成的，引導(dǎo)學(xué)生形成一種“無限細(xì)分、無限接近、無限求和”的數(shù)學(xué)思想。教師在高數(shù)教學(xué)中滲透極限思想方法，能加深學(xué)生對高數(shù)知識的認(rèn)識，便于學(xué)生更容易接受后續(xù)二重積分、三重積分的學(xué)習(xí)，同時增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，有助于學(xué)生運(yùn)用極限思想去思考、解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問題。

（四）簡化思想

高等數(shù)學(xué)中有大量概念定義、規(guī)律定理和運(yùn)算方法，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中要全部掌握且靈活運(yùn)用是很困難的。為提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)成效，教師可以將抽象的高數(shù)知識簡化凝練，便于學(xué)生理解、掌握和應(yīng)用。同時，要培養(yǎng)學(xué)生的簡化意識，讓學(xué)生形成“復(fù)雜問題簡單化”的解題思想，抓住數(shù)學(xué)問題的解題關(guān)鍵，全面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

例如，在講到利用高數(shù)導(dǎo)數(shù)去描繪函數(shù)圖形的內(nèi)容時，可以運(yùn)用“點(diǎn)、線、面”結(jié)合分析的方法，即運(yùn)用函數(shù)導(dǎo)數(shù)去分析函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、極值性、凹凸性和拐點(diǎn)特征，精準(zhǔn)描繪函數(shù)圖像，具體操作步驟為：（1）確定函數(shù)定義域和值域。（2）綜合分析函數(shù)特征，考察函數(shù)的特性，如奇偶性、連續(xù)性和周期性。（3）求出函數(shù)的漸近線，再求出函數(shù)的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)，研究函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性。（4）求出函數(shù)的相關(guān)特殊點(diǎn)，例如與x軸和y軸的交點(diǎn)和容易計算的函數(shù)值的點(diǎn)的坐標(biāo)。（5）根據(jù)函數(shù)的特征點(diǎn)、單調(diào)性、漸近線、連續(xù)性、奇偶性，畫出函數(shù)圖像。

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生能牢固掌握函數(shù)圖像的描繪技巧，通過大量的練習(xí)實(shí)踐，學(xué)生加深了對函數(shù)特性的認(rèn)識，形成了“按部就班”的數(shù)學(xué)問題簡化思想，有效培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，全面增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

（五）轉(zhuǎn)化及化歸思想

轉(zhuǎn)化及化歸思想是指在解決毫無解題頭緒的高數(shù)題目時，可通過運(yùn)用觀察分析、類比推理、聯(lián)想轉(zhuǎn)化的方式換個角度分析思考數(shù)學(xué)問題，并將該問題化歸稱為自己已知的高數(shù)知識范圍內(nèi)進(jìn)行求解。高數(shù)問題分析中常見的轉(zhuǎn)化及化歸思想包括數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程變換思想等，常用的問題轉(zhuǎn)化手段則有分析法、反證法、構(gòu)造法等，常見的轉(zhuǎn)化及化歸基本類型主要有：常量與變量間轉(zhuǎn)化、函數(shù)與圖形轉(zhuǎn)化、實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化等。轉(zhuǎn)化及化歸思想能將復(fù)雜分析變?yōu)楹唵畏治觯瑢⒊橄髥栴}變?yōu)榫唧w問題，便于解題。

例如，在高數(shù)中函數(shù)的導(dǎo)數(shù)內(nèi)容包括一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)等，因此，在講到一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，教師可把函數(shù)的本質(zhì)講清楚，即導(dǎo)數(shù)本質(zhì)是函數(shù)變化率，它忽略了自變量和因變量的代表意義，只從數(shù)量層次上來表現(xiàn)變化率，簡單來說，函數(shù)是相對于自變量的變化率。學(xué)生在掌握一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的含義后，在學(xué)習(xí)多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)時，當(dāng)考慮到函數(shù)中一個變量變化而另一個變量固定不變時，則可以將多元函數(shù)求偏導(dǎo)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的求導(dǎo)問題，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡化處理，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化及化歸思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。

總之，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)規(guī)律的提煉，它不僅能反映各個數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，還能有效解決各類數(shù)學(xué)問題，是一種高效的解題指導(dǎo)思想。由于高等數(shù)學(xué)具有內(nèi)容復(fù)雜、理論抽象的特點(diǎn)，為提高高數(shù)課程教學(xué)成效，教師應(yīng)在教學(xué)過程中加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，多與學(xué)生互動交流，引導(dǎo)學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)高數(shù)知識點(diǎn)間的規(guī)律，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力，全面提升學(xué)生的綜合素質(zhì)。

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