袁宏觀

數(shù)學(xué)壓軸題是為考查考生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力而設(shè)計(jì)的，集中體現(xiàn)知識(shí)的綜合性和方法的綜合性，多數(shù)為函數(shù)型綜合題和幾何型綜合題. 中考?jí)狠S題大多是以坐標(biāo)系為橋梁，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)建立點(diǎn)與數(shù)即坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，一方面可用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)，另一方面又可借助幾何直觀，得到某些代數(shù)問(wèn)題的解答. 解題的關(guān)鍵是掌握幾種常用的數(shù)學(xué)思想方法.

一是運(yùn)用函數(shù)與方程思想. 以直線或拋物線知識(shí)為載體，列（解）方程或方程組求其解析式，研究其性質(zhì).

二是運(yùn)用分類討論的思想. 對(duì)問(wèn)題的條件或結(jié)論的多變性進(jìn)行探究.

三是運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. 由已知向未知，由復(fù)雜向簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)換. 中考?jí)狠S題是對(duì)考生綜合能力的一個(gè)全面考查，所涉及的知識(shí)面廣，思想方法也較全面. 因此，可把壓軸題分離為相對(duì)獨(dú)立而又單一的知識(shí)或方法組塊去思考和探究.

原題呈現(xiàn) 如圖1，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，3），且當(dāng)x=1時(shí)，y有最小值2.

（1） 求a，b，c的值；

（2） 設(shè)二次函數(shù)y=k（2x+2）-（ax2+bx+c）（k為實(shí)數(shù)），它的圖像的頂點(diǎn)為D.

①當(dāng)k=1時(shí)，求二次函數(shù)y=k（2x+2）-（ax2+bx+c）的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

②請(qǐng)?jiān)诙魏瘮?shù)y=ax2+bx+c與y=k（2x+2）-（ax2+bx+c）的圖像上各找出一個(gè)點(diǎn)M，N，不論k取何值，這兩個(gè)點(diǎn)始終關(guān)于x軸對(duì)稱，直接寫出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方）；

③過(guò)點(diǎn)M的一次函數(shù)y=-x+t的圖像與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像交于另一點(diǎn)P，當(dāng)k為何值時(shí)，點(diǎn)D在∠NMP的平分線上？

④當(dāng)k取-2，-1，0，1，2時(shí)，通過(guò)計(jì)算，得到對(duì)應(yīng)的拋物線y=k（2x+2）-（ax2+bx+c）的頂點(diǎn)分別為（-1，-6），（0，-5），（1，-2），（2，3），（3，10），請(qǐng)問(wèn)：頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)是變量嗎？縱坐標(biāo)是如何隨橫坐標(biāo)的變化而變化的？

【分析】本題是一道以二次函數(shù)為背景的題目，綜合考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定與性質(zhì)以及一元二次方程的解法等知識(shí).

（1）設(shè)函數(shù)解析式為頂點(diǎn)式，把（0，3）代入求得a，然后再把a(bǔ)的值代入化為一般式，即得a、b、c的值；

（2） ①當(dāng)k=1時(shí)，可得函數(shù)解析式為y=

-x2+4x-1，令y=0時(shí)，求出x的值，可寫出與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；②由于點(diǎn)M、N關(guān)于x軸對(duì)稱，則點(diǎn)M和點(diǎn)N的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即ax2+bx+c+[k（2x+2）-（ax2+bx+c）]=0，解得x=

-1，代入函數(shù)解析式y(tǒng)=ax2+bx+c與y=k（2x+2）-（ax2+bx+c）中，即可求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；③易得一次函數(shù)解析式為y=-x+，可得此直線與x軸交點(diǎn)A（7，0），根據(jù)已知可得AE=8，MN=10，設(shè)MD交x軸于點(diǎn)B，作BC⊥MA于點(diǎn)C，利用三角形相似或銳角三角函數(shù)的定義列出等式，求得BC=3，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入MB的解析式，即可求出k的值；④通過(guò)觀察頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化可得：當(dāng)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于-1時(shí)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)的增大而增大，當(dāng)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于-1時(shí)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)的增大而減小.

②∵點(diǎn)M、N關(guān)于x軸對(duì)稱，則點(diǎn)M和點(diǎn)N的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即ax2+bx+c+[k（2x+2）-（ax2+bx+c）]=0，2k（x+1）=0，不論k取何值方程都有解，∴x=-1，y=ax2+bx+c=x2-2x+3=1+2+3=6，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，6），∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-1，-6）.

∵M(jìn)N⊥x軸，

∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，∴AE=8.

又∵M(jìn)E=6，∴MA=10.

如圖2，設(shè)MD交AE于點(diǎn)B，作BC⊥AM于點(diǎn)C.

④是. 當(dāng)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于-1時(shí)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)的增大而增大，當(dāng)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于-1時(shí)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)的增大而減小.