肖賢偉

【摘 要】 模型思想在初中數學中的應用非常廣泛.通過模型思想的教學， 使學生經歷從實際背景中抽象出數學模型、探索數量關系和變化規(guī)律的過程， 從而使學生運用所學知識和技能解決實際問題，達到提高學習數學的興趣和應用意識的目的.本文以“籃球比賽問題”為例， 從問題引入、解決、拓展、延伸等方面入手，就在教學中如何滲透數學建模思想談談個人的一些做法.

【關鍵詞】 教學實踐；籃球比賽；建模能力；應用意識

隨著數學教學的不斷深入，重視數學知識與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，發(fā)展學生的數學應用意識和應用能力，已成為數學教育發(fā)展的趨勢.因此，在日常數學課堂教學中，教師應結合數學課本知識，將未經簡化抽象的現(xiàn)實問題帶到課堂上，使學生能運用理解、觀察、比較、分析、綜合、歸納、抽象、概括等基本的數學思維方法，將實際問題抽象轉化為數學模型，然后用數學方法求解模型，使問題得到解答.本文以“籃球比賽問題”為例，就其在教學中如何滲透數學建模思想談談個人的一些做法.

1 問題引動、喚起應用意識

師：同學們喜歡籃球運動嗎？

眾生：喜歡.

師：本節(jié)課老師將與同學們一起來研究“籃球運動中的數學問題”，同學們加油?。?/p>

問題1 如圖1，一場籃球賽中，運動員小姚在距籃下4米處跳起投籃，籃球運行的路線是拋物線，當球運行的水平距離為2.5米時，達最大高度3.5米，然后準確落入籃圈（不考慮打板入籃）.已知籃圈中心到地面的距離為3.05米.該運動員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問球出手時他跳離地面的高度是多少？ 師：請同學們審題，尋求解決問題的方法.

評析 問題1中“距籃下4米處跳起投籃”，“籃圈中心到地面的距離為3.05米”，“球運行的水平距離為2.5米時，達最大高度3.5米”，“問球出手時他跳離地面的高度是多少”等數據貼近生活現(xiàn)實，源于自然生活的現(xiàn)實問題，這對喜歡藍球運動的學生來說感覺相當的親近，自然，傾注人文關懷.這種源于自然生活的現(xiàn)實問題能喚起學生用數學的眼光審視生活，積極參與數學活動，嘗試用數學知識、方法、思想解決問題的應用意識和心理沖動，培育了學生的數學敏感性和應用意識，感受到數學的價值和趣味性.

2 問題解決、體驗應用過程

師：如圖1，請同學們結合問題1中的現(xiàn)實情境想一想，要解決問題1需用什么數學知識？

生1（思考后）回答：籃球在空中運行的路線是拋物線，可能會用到二次函數的知識.

師：用二次函數的知識解決實際問題的思路是什么？

生2：“問題情境——建立模型——求解驗證”.

評析 “用什么數學知識解決問題1”，使學生都處于一種急于求成的興奮之中，由“籃球運行的路線是拋物線”，學生自然而然地想到利用二次函數的知識可能會解決問題1，從而確定解決問題的思路和方法.

師：用二次函數的知識解決問題1需要借助什么數學工具？

眾生：利用平面直角坐標系.

師：同學們的想法很好！下面就請同學們通過小組合作學習結合圖1中的關鍵點建立平面直角坐標系.

師生活動：學生小組合作學習嘗試，教師巡視了解、指導學生學習情況（足夠學習時間后），收集、反饋、展示小組合作學習成果.

師：請各小組學生代表匯報展示本組合作學習成果.

生3：如圖2，我們小組交流得到以投籃者站立點為坐標原點，這點與籃球架和地面接觸點中心的連線為橫軸建立平面直角坐標系.

生4：如圖3，我們小組是以籃球在空中經過的最高點為坐標原點，平行于地面的直線為橫建立平面直角坐標系.

生5：如圖4，我們小組選擇的是以籃圈中心為坐標原點，與水平地面平行的直線為橫軸建立平面直角坐標系.

師：以上各組在建立平面直角坐標系時，從不同的角度選擇了不同的坐標原點，這些想法都很好，接下來請說說確定籃球運行路線（拋物線）的解析式的思路？

生6：如圖2：設二次函數的解析式為y=ax2+bx+c，由題意可知點B（2.5，3.5）和C（4，3.05），點B又是拋物線的頂點，可通過建立方程組，確定二次函數的解析式.

生7：如圖3，坐標原點是拋物線的頂點，點D的坐標為（1.5，-3.5），通過建立方程組，可確定二次函數的解析式.

生8（其它組的學生）：點D的坐標不正確，應該是（1.5，-0.45）

師（對生8）：你能講一講理由嗎？

生8：點D的縱坐標應該是籃球的最高點到球圈中心的距離3.5-3.05.

師：很好！這位同學很細心，發(fā)現(xiàn)了問題，希望大家向他學習.雖然前面的同學在計算點D的坐標時沒算對，但他們的這種解題思路是獨到的.

生9：如圖4，經過原點的拋物線，頂點坐標是A（-1.5，0.45），可確定二次函數的解析式.

評析 學生在面臨一個具有挑戰(zhàn)性的現(xiàn)實問題時，僅靠模仿、記憶等方式是很難解決的.在函數學習之前，學生對數與形的學習基本上是分開進行的，只需要對數或形進行單一的思維，即所謂“數缺形時少直觀，形少數時難入微”.此時老師利用“形”的引入給學生研究問題帶來了直觀的空間感受，讓學生說出在小組合作學習中從不同的角度選擇坐標原點建立平面直角坐標系思路，體驗解決問題方法的多樣性，不同坐標系的建立讓每個學生都處于一種驚奇和不斷發(fā)現(xiàn)的學習過程中，并形成自已的解決問題的基本策略.教師隨堂巡視、指導學生學習并收集、整理學生學習情況，展示小組合作學習成果，即使學生的計算出現(xiàn)錯誤，教師也及時對學生“獨到的解題思路”給予鼓勵，激發(fā)了學生的學習自信心.較好地落實了《課程標準》“敢于發(fā)表自己的想法、勇于質疑、敢于創(chuàng)新，養(yǎng)成認真勤奮、獨立思考、合作交流等學習習慣，形成嚴謹求實的科學態(tài)度”的課程目標.

師：接下來請同學們說說怎樣求出“球出手時他跳離地面的高度”？

生10：根據前面建立的直角坐標系，先確定拋物線的解析式，求點A的坐標，然后用點A的縱坐標減去運動員小姚的身高.

師：說得好！請同學們按照各組構建的思路選擇合適的方法獨立求解.

全班學生獨立解題，教師任選三個學生分別根據圖2，圖3，圖4板書解題過程.

師：對比以上解法，說說你的想法.

生14：我認為生11的解法比較繁，我的解法是：設拋物線的解析式為：y=a（x-2.5）2+3.5，解得：a=- 1 5 ，y=- 1 5 （x-2.5）2+3.5，當x=0時，y=2.25，2.25-1.8-0.25=0.2，他跳離地面的高度是0.2米.

師：這位同學說得很好，說明他能認真分析問題，是大家應該學習的.

生15：選擇恰當的方法可使計算簡單.已知拋物線的頂點，設為頂點形式，容易求拋物線的解析式.

生16：在建立直角坐標系，求二次函數解析式時，選擇坐標原點要注意，怎樣才能使運算簡便.我認為，在這個問題中，將坐標系的原點選在拋物線頂點處，最好算.

評析 數學計算的教學中最大瓶頸就是怕耽誤教學時間，完不成教學任務，（特別是一些公開課、示范課、研討課）往往是將題目演算步驟由教師全包全攬，以上過程中教師順著學生的思路，恰當地處理講授與學生自主學習的關系，引導學生獨立思考、自主計算、合作交流，同時在交流中進一步理解和掌握基本的數學知識與技能，提高了學生的運算能力.

3 問題拓展、發(fā)展應用意識

問題2 這場籃球賽中，另一位運動員小蔡跳起投籃，如圖5，已知球出手時離地面高 20 9 米，與籃圈中心的水平距離為8米，當球出手后水平距離為4米時到達最大高度4米，問此球能否投中？

圖5 師：請同學們類比問題1的解題思路，構建自己的解法.

生17（簡要計算后）：先建立如圖6所示的平面直角坐標系，已知拋物線經過坐標原點O和點A -4，- 16 9 ，判斷點（4，-0.95）是否在籃球運行的拋物線上，如果在就能投中，如果不在就不能投中.

師：請你來寫出你的解題過程.

學生17（板書）：設解析式為y=ax2，于是16a=- 16 9 ，a=- 1 9 ，y=- 1 9 x2，當x=4時，y=- 16 9 ，- 16 9 <-0.95，所以點（4，-0.95）不在拋物線上，因此不能投中.

師：這位同學的解法很好，還有補充的嗎？

生18：根據拋物線的對稱性，點（-4，- 16 9 ）的對稱點是（4，- 16 9 ）可知（4，-0.95）不在拋物線上，所以不能進球（全班掌聲）.

師：假設出手的角度和力度都不變，則如何才能使此球投中？

生19（舉手）：可以跳高一點.

師：對，可以跳高一點，實際上就是把拋物線沿著y軸向上平移，并用幻燈片演示（圖略），你能計算出可以跳高多少嗎？

生19：跳起的高度為 49 225 米.

生20：我覺得可以朝著籃球架的方向走一點，我不知道怎么算.

生21：可先計算縱坐標為3.05-4時的橫坐標，再求4和這個數的差就行了.

師：同學們，你們認為這位同學的計算方法正確嗎？生眾：正確.

師強調：朝前走一點，實際是就是把拋物線向右平移（并用幻燈片演示（圖略）），這一過程再一次驗證了二次函數y=ax2，y=a（x+m）2，y=a（x+m）2+n的聯(lián)系.

評析 問題2承接問題1，又有變化，不是作簡單的模仿，特別是利用點的坐標是否在拋物線上來檢驗進球與否，體現(xiàn)了用數學的理念，使應用意識和數學模型思想得到了進一步的拓展.對投藍不進作進一步的探究，看似簡單自然，卻意味深長，老師巧妙的設問，讓學生在不知不覺中復習了拋物線是軸對稱圖形的性質，以及圖形的平移，使知識結構體系渾然一體，從數學現(xiàn)實出發(fā)，加強了數學的應用，積累了數學活動經驗，發(fā)展了學生的應用意識，提升數學核心素養(yǎng).

4 總結回顧，升華應用意識

師：通過本節(jié)課的學習，你在應用數學知識分析解決實際問題方面有什么收獲與感想？

生22：通過本節(jié)課的學習，知道了在解決現(xiàn)實世界中的實際問題時，將實際問題轉化為數學問題求解.

師：請同學們結合自已解決問題1的經歷說說將實際問題轉化為數學問題的思維過程.

學生議論后你一言我一語回答（過程略）.

師（概括）：從思維層面上講，尋找解決實際問題的基本過程（思路）有以下幾個層次：

第一層次：通過生活現(xiàn)實關注來源于自然、社會中更為廣泛的現(xiàn)象和具體的“問題情境”，感受生活問題數學化，明確解決問題的基本策略.

第二層次：在“問題解決的過程中”主動嘗試用不同的方法“建立模型”，“求解驗證”形成解決問題的基本數學活動經驗.

第三層次：通過“問題的拓展”和總結回顧，回歸生活的本來面目，實現(xiàn)了由數學看現(xiàn)實，由現(xiàn)實想數學的思維方式的提升.

評析 從學生的總結看，這節(jié)課，學生獲得基本的數學活動經驗和應用意識.通過數學知識生活化，體會數學方法對現(xiàn)實世界中現(xiàn)象的解釋，意識到用數學的角度看世界，喚起學生欲發(fā)現(xiàn)、想探究、思創(chuàng)造的愿望.

課后感悟 二次函數是初中數學的核心內容，在初中數學課程體系中占據重要的位置，也是數學的難點內容，知識點多、綜合性強.讓學生應用二次函數知識解決現(xiàn)實生活中的實際問題，變抽象為現(xiàn)實，是培養(yǎng)學生應用意識和數學素養(yǎng)的出發(fā)點.本節(jié)課用生活中人們司空見慣的藍球運動為題材，貼近學生的生活經驗，使生活走向數學，數學依托于生活，顯得自然而然、水到渠成，沒有突兀之感，使學生感受數學的親和力.它還具有降低學生心理預期難度的作用，源于數學來自身邊，自然生成一種諧和的安全心理，使數學不再可怕.日本數學家米三國臧說過：“在學校學的數學知識，畢業(yè)后若沒什么機會去用，一兩年后，很快就忘掉了.然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數學的精神、數學的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們終生受益”.這種數學的精神就是我們所說的數學素養(yǎng)，這種回歸數學素養(yǎng)的數學教學，就是我們數學教育的理想.