洪建林

摘 要：數(shù)學(xué)學(xué)科的核心問題在于學(xué)生思維能力的發(fā)展，而創(chuàng)新思維又是學(xué)生思維能力的核心所在。創(chuàng)新思維本質(zhì)上在于人具有活躍的狀態(tài)、創(chuàng)造的自覺。讓學(xué)生的創(chuàng)新思維自然流淌，有利于學(xué)生創(chuàng)新素質(zhì)的發(fā)展，也有利于學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。當(dāng)下，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)務(wù)必追尋一種本真方法；綜合運(yùn)用、深度發(fā)散，自由自在地創(chuàng)新發(fā)展。

關(guān)鍵詞：創(chuàng)新思維；自然流淌

數(shù)學(xué)學(xué)科的核心問題在于學(xué)生思維能力的發(fā)展，而創(chuàng)新思維又是學(xué)生思維能力的核心所在。創(chuàng)新思維是一種以新穎獨(dú)創(chuàng)的方法解決問題的思維活動(dòng)，這種思維能突破常規(guī)思維的界限，以超常規(guī)甚至反常規(guī)的方法、視角去思考問題，提出與眾不同的解決方案，從而產(chǎn)生新穎、獨(dú)到、有意義的思維成果，它具有變通性、獨(dú)特性和敏感性等特性。懷特海認(rèn)為，教育的全部目的就是使人具有活躍的思維。創(chuàng)新思維本質(zhì)上在于人具有活躍的狀態(tài)、創(chuàng)造的自覺。讓學(xué)生的創(chuàng)新思維自然流淌，有利于學(xué)生創(chuàng)新素質(zhì)的發(fā)展，也有利于學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。

當(dāng)下，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)務(wù)必追尋一種本真狀態(tài)，讓學(xué)生自主探索、靈活變通、合作對(duì)話、善于暴露、辨析比較、優(yōu)化方法、綜合運(yùn)用、深度發(fā)散，自由自在地創(chuàng)造和發(fā)展。

一、自主探索，靈活變通——?jiǎng)?chuàng)新思維之“根”

懷特海認(rèn)為，使知識(shí)充滿活力而不是使之僵化，是一切教育的核心問題。即使一個(gè)簡(jiǎn)單知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，也會(huì)蘊(yùn)涵內(nèi)在的活力，這種活力更多來自學(xué)生的思維活動(dòng)。因此，教師需要致力于讓學(xué)生自主探索、獨(dú)立思考。有了“獨(dú)思”，學(xué)生才能充分挖掘自身潛能，不斷變通思路，發(fā)展創(chuàng)新思維。

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)第13頁例題9：

北京頤和園占地290公頃，其中水面面積大約是陸地面積的3倍。頤和園的陸地和水面面積大約各有多少公頃？

學(xué)生列方程解答后需要檢驗(yàn)，教師鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度進(jìn)行。大部分學(xué)生列式72.5+217.5=290（公頃），也有部分學(xué)生列式：290-217.5=72.5（公頃）或290-72.5=217.5（公頃）。在接下來的檢驗(yàn)中，有的學(xué)生用217.5÷72.5，看是否正好是3倍；有的學(xué)生用290除以72.5，看是否是4（即3+1）倍；還有的學(xué)生用217.5÷3，看是否等于陸地的面積……學(xué)生列出了不同的算式進(jìn)行檢驗(yàn)，角度不同、路徑各異，展現(xiàn)了學(xué)生思維的創(chuàng)新性。

在這個(gè)例子中，我們發(fā)現(xiàn)并不是所有的學(xué)生都整齊劃一地運(yùn)用一種思路，他們沒有做教材的奴隸，絕對(duì)“服從”教材提供的方法，即：72.5+217.5=290（公頃）；217.5÷72.5=3。學(xué)生在自主探索中從“我”出發(fā)，尊重“我”的思維取向，靈活運(yùn)用加減法各部分之間的關(guān)系、乘除法各部分之間的關(guān)系變通思路，對(duì)“水面面積大約是陸地面積的3倍”有了靈活的理解，不拘泥于“水面面積÷陸地面積=3”這一模型，從而豐富了數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)，對(duì)數(shù)量之間的整體理解比較深刻。可以看到，這樣的思路變通富有價(jià)值、意義深遠(yuǎn)，對(duì)學(xué)生今后正確、靈活地檢驗(yàn)，整體把握數(shù)量關(guān)系有著積極的作用。

不少教師在引領(lǐng)學(xué)生檢驗(yàn)這一道題目時(shí)，往往是強(qiáng)化格式的規(guī)范性、模型的固定性，淡化了數(shù)學(xué)理解，抑制了學(xué)生的創(chuàng)造思維。只有讓學(xué)生遵循自己的思路解決問題，立于“自我”，根于“自我”，變通思路、創(chuàng)新思維的過程才會(huì)有“根”。

二、合作對(duì)話，善于暴露——?jiǎng)?chuàng)新思維之“源”

學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)離不開合作，合作促進(jìn)方法生成，合作促進(jìn)深度思考，而課堂合作主要用對(duì)話進(jìn)行。簡(jiǎn)單地說，對(duì)話是師生基于相互尊重、信任和平等的立場(chǎng)，通過言談、傾聽而進(jìn)行的雙向溝通、共同學(xué)習(xí)的過程，這是我們對(duì)“對(duì)話”的一個(gè)基本的定位。學(xué)生在對(duì)話中展露思維、發(fā)散思路，有效地促進(jìn)了思維經(jīng)驗(yàn)的積累。尤其是課堂上暴露的不同見解乃至差錯(cuò)，都是促進(jìn)合作對(duì)話的良好資源，是創(chuàng)新思維之“源”。我們認(rèn)為，任何一個(gè)學(xué)生的思考與挫折都應(yīng)當(dāng)視為精彩的表現(xiàn)來加以接納。課堂上，即使生成了一些差錯(cuò)，只要教師正確對(duì)待，化腐朽為神奇，不僅不會(huì)影響課堂教學(xué)效果，還會(huì)激活學(xué)生的創(chuàng)造火花。

在教學(xué)蘇教版五年級(jí)下冊(cè)《解決問題的策略——一一列舉》時(shí)，有這樣的教學(xué)場(chǎng)景：

（1）出示“活動(dòng)要求”。

活動(dòng)一：嘗試操作，感知策略

五（8）班種植小隊(duì)在勞動(dòng)實(shí)踐基地“稚耕園”用22根1米長(zhǎng)的木條圍成一塊長(zhǎng)方形試驗(yàn)田，怎樣圍面積最大？

1.想一想：圍成的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)一定是多少米？

2.畫一畫：下面每個(gè)小方格表示邊長(zhǎng)為1米的正方形，請(qǐng)你嘗試畫出不同的圍法。（圖略）

友情提醒：可以將不同長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬等填在下面的表格中。

3. 組內(nèi)交流：你是怎樣圍的？怎樣圍面積最大？

（2）學(xué)生進(jìn)行操作、觀察，教師巡視并進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)。

（3）各小組進(jìn)行組內(nèi)展示、交流，學(xué)生之間進(jìn)行對(duì)話。

學(xué)生展示的研究情況多種多樣，出現(xiàn)了以下的生成性資源：

……

針對(duì)以上不同的情況，學(xué)生進(jìn)行了這樣的對(duì)話：

生1：我認(rèn)為表①中列舉的情況不夠齊全，少了長(zhǎng)是8米、寬是3米。

生2：在列舉時(shí)不能遺漏，要將符合條件的全部列舉出來。

生3：少了一種情況后，面積最大的圍法就可能不可靠。

生4：我覺得表②中列舉到長(zhǎng)6米、寬5米就可以了，后面的數(shù)據(jù)不需要列出來。

生5：是的，后面的兩個(gè)圖形已經(jīng)出現(xiàn)，是重復(fù)的，不需要列舉出來。

生6：表③的主要問題是數(shù)據(jù)排得有點(diǎn)雜亂，沒有按照一定的順序思考，不利于較快地解決問題。

……

（4）教師與學(xué)生對(duì)話、交流。

提問：我們可以借助列表進(jìn)行列舉，填表時(shí)可以從長(zhǎng)（或?qū)挘┦菐酌椎拈L(zhǎng)方形開始想起？為什么要從長(zhǎng)10米（或?qū)?米）的長(zhǎng)方形開始想起？

生1：22÷2=11（米），周長(zhǎng)的一半是11米，因?yàn)殚L(zhǎng)、寬都是整米數(shù)，所以長(zhǎng)最長(zhǎng)是10米（或?qū)捵疃淌?米）。

生2：從長(zhǎng)是10米開始按照一定的順序思考，接著依次是9米、8米、7米、6米。

生3：也可以從寬是1米開始按照一定的順序思考，接著依次是2米、3米、4米、5米。

（5）學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)：一共有幾種圍法？長(zhǎng)、寬各是多少米時(shí)，面積最大？你還有怎樣的發(fā)現(xiàn)？

（6）師生談話：剛才采用了列舉的策略解決問題，我們是對(duì)不同圍法一一列舉，而且有順序地進(jìn)行思考，做到不重復(fù)、不遺漏，這樣解決問題結(jié)果會(huì)更加可靠。（板書：有序思考 不重復(fù) 不遺漏）

鐘啟泉教授有這樣的觀點(diǎn)：教學(xué)不是告知與被告知的事情。教師上課的本質(zhì)恰恰在于如何尊重學(xué)生的差異，盡可能地調(diào)動(dòng)兒童活躍的思維，發(fā)現(xiàn)不同的思路，激活認(rèn)知沖突，展開集體思維。在這一案例中，學(xué)生進(jìn)行合作對(duì)話，出現(xiàn)了不同的思路，畫出了不同的長(zhǎng)方形，有的思考無序，有的出現(xiàn)遺漏，有的出現(xiàn)重復(fù)，不同的結(jié)果展現(xiàn)了不同的思維過程。在這原生態(tài)、接地氣的思維暴露活動(dòng)中，學(xué)生生成了各種各樣的問題，在互動(dòng)的過程中積累創(chuàng)造思維經(jīng)驗(yàn)。在小組展示、對(duì)話過程中，學(xué)生結(jié)合數(shù)據(jù)進(jìn)行補(bǔ)充、修正和完善，最后形成了一致的看法：通過一一列舉，有順序地進(jìn)行思考，做到不重復(fù)、不遺漏，這樣解決問題結(jié)果會(huì)更加可靠?？梢哉f，整個(gè)對(duì)話過程充分暴露了學(xué)生的不同觀點(diǎn)，展現(xiàn)了異中求同的創(chuàng)新思維過程。

三、辨析比較，優(yōu)化方法——?jiǎng)?chuàng)新思維之“重”

鄭毓信先生指出，相對(duì)于“善于舉例”與“善于提問”而言，“善于比較與優(yōu)化”應(yīng)當(dāng)說更為直接地涉及了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)：這應(yīng)該被看成一個(gè)文化繼承的過程，且是在教師的指導(dǎo)下完成的，即主要表現(xiàn)為不斷地優(yōu)化。

以蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)《多邊形的內(nèi)角和》為例：

教師先復(fù)習(xí)了三角形的內(nèi)角和及推導(dǎo)過程，接著出示了四邊形、五邊形和六邊形等，引領(lǐng)學(xué)生提出不同的問題，有的學(xué)生提出：四邊形的內(nèi)角和是多少度？五邊形呢？……還有學(xué)生提出：多邊形的內(nèi)角和可能與什么有關(guān)系呢？

學(xué)生通過合作交流，提出了這樣的方法：

（1）用量角器量出每個(gè)角的度數(shù)，再求和；

（2）將四邊形的四個(gè)角撕開，再拼在一起，看拼成的角可能是什么角？

（3）將四個(gè)角折一折，看組成的角是什么角？

（4）先嘗試將四邊形分一分，看可以分成幾個(gè)已經(jīng)學(xué)過的三角形？

……

這里，借助方法（1）（2），可以讓學(xué)生動(dòng)手操作，但這樣的操作沒有必要，從三角形的內(nèi)角和推導(dǎo)看，學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意的三角形，如果每次都先測(cè)量、再求和（或?qū)⒚恳粋€(gè)角都撕下來，再拼一拼），比較麻煩，且測(cè)量容易產(chǎn)生誤差，難以得到準(zhǔn)確的結(jié)果。進(jìn)而使學(xué)生明確：探索多邊形的內(nèi)角和，可以先將多邊形分成若干個(gè)圖形，分別求出每個(gè)圖形的內(nèi)角和，再相加。

在研究五邊形時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)了這樣的方法：分成3個(gè)三角形（180°×3）或分成2個(gè)圖形：1個(gè)三角形和1個(gè)四邊形（180°+360°）。

在研究六邊形時(shí)，學(xué)生的方法也很豐富：分成4個(gè)三角形（180°×4）；分成3個(gè)圖形，即2個(gè)三角形和1個(gè)四邊形（180°×2+360°）；分成2個(gè)圖形，即2個(gè)四邊形（360°×2）。

學(xué)生接著在小組內(nèi)進(jìn)行了這樣的交流：

生1：研究四邊形、五邊形和六邊形等圖形時(shí)，可以通過分割的方法將多邊形轉(zhuǎn)化成已研究過的圖形，再將各個(gè)圖形內(nèi)角的和相加。

生2：每一個(gè)多邊形分割成已知圖形的方法較多，似乎不容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

生3：要是能將任意多邊形分割成同一種圖形，那該多好！

教師進(jìn)行點(diǎn)撥：

怎樣分割我們比較容易發(fā)現(xiàn)任意邊數(shù)的多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法呢？能不能將各個(gè)多邊形轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單的圖形？

生4：可以把各個(gè)多邊形分割成一定個(gè)數(shù)的三角形，再用三角形的內(nèi)角和乘三角形的個(gè)數(shù)。

生5：三角形的個(gè)數(shù)等于多邊形的邊數(shù)減去2，所以多邊形的內(nèi)角和= 180°×（邊數(shù)-2）。

生6：我覺得這樣分割比較容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

數(shù)學(xué)邏輯思維重在培養(yǎng)學(xué)生分析、比較、抽象和概括等方面的能力，而創(chuàng)新思維的重心也在于比較、優(yōu)化，在辨析、比較等活動(dòng)中進(jìn)行異中求同、同中求異，對(duì)不同的思路、方法等進(jìn)行優(yōu)化選擇和運(yùn)用。在上面的案例中，隨著邊數(shù)的增加，學(xué)生感覺到分的方法越來越多，似乎難以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，教師這時(shí)候進(jìn)行畫龍點(diǎn)睛，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行思維的變通：無論怎樣分，我們都是將多邊形通過分割的方法轉(zhuǎn)化為已經(jīng)研究的圖形。怎樣分割比較容易發(fā)現(xiàn)任意邊數(shù)的多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法呢？學(xué)生的思維回歸到解決問題的基點(diǎn)：分成一定個(gè)數(shù)的三角形比較容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律，能夠?qū)⒍噙呅蔚倪厰?shù)與分成的三角形的個(gè)數(shù)建立一定的聯(lián)系，從而構(gòu)建解決問題的模型，優(yōu)化解決問題的路徑和方法。這樣的教學(xué)既讓學(xué)生發(fā)散思維，又讓學(xué)生得到優(yōu)化發(fā)展。

由此可見，在教學(xué)活動(dòng)中教師必須有意識(shí)地讓學(xué)生進(jìn)行思路發(fā)散，同時(shí)組織學(xué)生辨析比較，在發(fā)散的基礎(chǔ)上聚合思維，優(yōu)化解決問題的思路，并尋求不同解決問題的方案，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新思維。

四、綜合運(yùn)用，深度發(fā)散——?jiǎng)?chuàng)新思維之“境”

不少心理學(xué)家認(rèn)為，發(fā)散思維是創(chuàng)造性思維最主要的特點(diǎn)，是測(cè)定創(chuàng)造力的主要標(biāo)志之一。結(jié)合生活實(shí)際，讓學(xué)生綜合運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，針對(duì)需要解決的問題提出不同的方案，對(duì)問題解決深度思考，能達(dá)成創(chuàng)新思維發(fā)展的新境界。

有這樣的例子：教師結(jié)合生活實(shí)際，引領(lǐng)學(xué)生完成下列活動(dòng)要求。

1. 一間長(zhǎng)方形客廳，地面長(zhǎng)5.6米，寬3.2米，用以下規(guī)格的方磚鋪地：

價(jià)格表

瓷磚1規(guī)格：80 cm×80 cm，每塊價(jià)格：90元；

瓷磚2規(guī)格：40 cm×40 cm，每塊價(jià)格：25元；

瓷磚3規(guī)格：30 cm×20 cm，每塊價(jià)格：10元。

活動(dòng)：設(shè)計(jì)不同的方案

如果在客廳地面最外面一層正好鋪滿一種正方形瓷磚，里面正好鋪滿另一種瓷磚，可以怎樣鋪貼？

1. 組內(nèi)分工合作，一人做好記錄。

2. 我們小組的設(shè)計(jì)：最外面一層鋪貼（ ）；里面鋪貼（ ）。研究過程：

我們的研究結(jié)論：

3. 全班交流。

2. 學(xué)生分工合作，教師指導(dǎo)小組活動(dòng)，注意對(duì)有困難的小組或?qū)W生進(jìn)行點(diǎn)撥。

3. 師：請(qǐng)一個(gè)小組的同學(xué)匯報(bào)研究結(jié)果。

生1：最外面一層鋪貼：80 cm×80 cm，里面鋪貼：40 cm×40 cm，

（560-80×2）÷40=10（塊），

（320-80×2）÷40=4（排），

560÷80×2+（320-80×2）÷80×2=18（塊），

10×4×25+18×90=2620（元）。

生2：最外面一層鋪貼：80 cm×80 cm，里面鋪貼：30 cm×20 cm，

（560-80×2）×（320-80×2）÷（30×20），不是整數(shù)倍，里面不能正好鋪滿。

……

生3：最外面一層鋪貼：40 cm×40 cm，里面鋪貼：80 cm×80 cm，

（560-40×2）÷80=6（塊），

（320-40×2）÷80=3（排），

560÷40×2+（320-40×2）÷40×2=40（塊），

6×3×90+40×25=2620（元）。

生4：最外面一層鋪貼：40 cm×40 cm，里面鋪貼：30 cm×20 cm，

（560-40×2）÷30=16（塊），

（320-40×2）÷20=12（排），

560÷40×2+（320-40×2）÷40×2=40（塊），

12×16×10+40×25=2920（元）。

生4：有三種方案能讓最外面、里面都正好鋪滿，其中兩種方案的價(jià)格一樣。

師：請(qǐng)生1說一說每一個(gè)列式求的是什么？

生1：（560-80×2）÷40求的是沿著里面的長(zhǎng)鋪貼，一排可以鋪貼多少塊； （320-80×2）÷40求的是沿著里面的寬鋪貼，一排可以鋪貼多少塊（或者說：里面一共可以鋪貼多少排？）；560÷80×2+（320-80×2）÷80×2求的是最外面一共可以鋪貼多少塊；10×4×25+18×90求的是一共要多少元。

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)谛〗M內(nèi)交流不同算式表示的含義。

師：在不同的搭配方式中，關(guān)鍵是求出什么？

生：求出里面地面的長(zhǎng)和寬，再看能不能正好鋪滿。

師：對(duì)于不同的可行性方案，可以先分別求出最外面和里面正好鋪貼的塊數(shù)，再計(jì)算出總價(jià)，看哪種比較合算。

以上案例表明，數(shù)學(xué)是思維的學(xué)科，實(shí)際問題的解決需要學(xué)生主動(dòng)探索、積極思考。在不同的搭配方式中，關(guān)鍵是先求出里面地面的長(zhǎng)和寬，再看能不能正好鋪滿。對(duì)于不同的方案，可以計(jì)算出總價(jià)，看哪種比較合算。這一活動(dòng)具有豐富性、復(fù)雜性和嚴(yán)密性等特點(diǎn)，學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在畫畫、算算、比比等操作、思考活動(dòng)中愈加深刻。尤其是最外面一層鋪貼正方形地磚后，里面可以怎樣鋪需要學(xué)生借助圖示深度思考；由提出方案，到驗(yàn)證方案是否可行，再到得出結(jié)論，這樣的過程是一個(gè)科學(xué)探究的過程，有利于學(xué)生掌握探究的方法。

總之，學(xué)生創(chuàng)新思維的發(fā)展，離不開教師精心的指導(dǎo)、組織和促進(jìn)。教師只有不斷引領(lǐng)學(xué)生自主探索、合作對(duì)話、比較優(yōu)化、綜合運(yùn)用，讓學(xué)生的創(chuàng)新思維在自然狀態(tài)下盡情流淌，以培養(yǎng)創(chuàng)新思維為核心的素質(zhì)教育才會(huì)綻放異彩。