◇陳仁蓮

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多重分形在滬深300股指期貨市場(chǎng)的應(yīng)用研究

◇陳仁蓮

摘要：本文采用Hurst指數(shù)檢驗(yàn)法，分析滬深300股指期貨市場(chǎng)是否存在多重分形特征。運(yùn)用MF-DFA法，結(jié)合mat鄄lab，做出滬深300股指期貨收益率序列的多重分形譜f（α）與奇異指數(shù)α的關(guān)系圖，知收益率序列的標(biāo)度指數(shù)也將不同，進(jìn)而通過多重分形參數(shù)△α來初步預(yù)測(cè)股指期貨合約價(jià)格走勢(shì)。

關(guān)鍵詞：多重分形；多重分形譜；市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度指標(biāo)；投資分析

10.13999/j.cnki.scyj.2016.06.023

金融市場(chǎng)的研究一直是大家關(guān)注的熱點(diǎn)，而分形理論的出現(xiàn)，給金融市場(chǎng)的探索開辟了另一條道路。1964年Mandelbrot[1]在研究資本市場(chǎng)的收益率時(shí)就有了分形思想，Peters （1994）[2]提出金融市場(chǎng)分形理論。隨著分形市場(chǎng)理論的研究不斷深入，對(duì)證券市場(chǎng)的研究結(jié)果表明：大多數(shù)市場(chǎng)具有明顯的分形特征：自相似性、顯著的 Hurst指數(shù)以及平均循環(huán)長(zhǎng)度[3-5]；許滌龍（2004）、黃詒蓉（2005）等分別利用 R/S分析方法得到我國(guó)股市的 Hurst指數(shù)和平均統(tǒng)計(jì)循環(huán)長(zhǎng)度，以不同形式的結(jié)果表明，我國(guó)金融市場(chǎng)存在長(zhǎng)期自相關(guān)性[6-7]。然而以上研究均僅考慮金融時(shí)間序列的單分形過程，事實(shí)上，不同證券市場(chǎng)的價(jià)格變化或收益率變化具有多重分形特征[8-11]。本文主要運(yùn)用多重去趨勢(shì)波動(dòng)分析（MF-DFA）及多重分形譜來研究滬深300股指期貨收益率。為投資者認(rèn)知我國(guó)市場(chǎng)提供幫助，運(yùn)用分形特征獲取最大利益。

一、數(shù)據(jù)描述

滬深300股指期貨是以滬深300指數(shù)作為標(biāo)的物的期貨品種，在2010年4月由中國(guó)金融期貨交易所推出。本文選用的樣本數(shù)據(jù)為2010年4月26日至2016年3月27日的滬深300股指期貨（IF8888）收盤價(jià)格數(shù)據(jù)，來源于同花順期貨行情系統(tǒng)。首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和預(yù)處理，剔除不完整數(shù)據(jù)，共余1443個(gè)有效數(shù)據(jù)。先選用大家熟悉的對(duì)數(shù)收益率為研究對(duì)象，即：

其中Rt（τ）表示在時(shí)間標(biāo)度τ下t時(shí)刻的收益率，τ=1、5、22（對(duì)應(yīng)為日、周、月），P（t）為t時(shí)刻價(jià)格。

二、數(shù)據(jù)處理

本文主要采用多重分形方面的方法并結(jié)合matlab軟件處理所獲得數(shù)據(jù)。

消除趨勢(shì)波動(dòng)分析方法（DFA）是由Peng[12]（1994）等在研究DNA機(jī)理時(shí)采用的標(biāo)度指數(shù)計(jì)算方法，用于分析時(shí)間序列的長(zhǎng)程相關(guān)性。但DFA算法只適合分析一維的單重分形時(shí)間序列。Kantelhardt[13]（2002）等將多重分形運(yùn)用到DFA方法，提出用多重分形趨勢(shì)波動(dòng)分析方法（MF-DFA）來刻畫時(shí)間序列在不同時(shí)間標(biāo)度下的多重分形特征，其步驟如下：

考察時(shí)間序列{X（t）}（t=1，2，…，N）的q階配分函數(shù)Xq（s）：

MF-DFA法與DFA法的前三步相同。

第四步:對(duì)所有子區(qū)間取平均,即得q階波動(dòng)函數(shù)：

第五步：對(duì)同一q,描繪Xq（s）對(duì)s的雙對(duì)數(shù)曲線。

Xq（s）是q和s的函數(shù)。對(duì)于同一q，Xq（s）隨s的增大而增大。Xq（s）也隨著多項(xiàng)式的階數(shù) m的變化而變化，s的變化范圍為s≥m+1。

如果時(shí)間序列X（t）具有標(biāo)度特性,則Xq（s）與s成冪律關(guān)系：

Xq（s）與s的雙對(duì)數(shù)曲線應(yīng)存在線性關(guān)系：

其中h（q）稱為廣義赫斯特指數(shù)（Hurst）。當(dāng)h（q）為q的函數(shù)時(shí)，序列X（t）具有多重分形特性；當(dāng)h（q）=0.5時(shí)，序列{X （t）}不相關(guān)。

1.Hurst指數(shù)檢驗(yàn)

用Hurst指數(shù)檢驗(yàn)滬深300股指期貨是否具有多重分形結(jié)構(gòu)，不妨取q為-10到10之間的整數(shù)，運(yùn)用MF-DFA并結(jié)合matlab軟件得廣義Hurst指數(shù)，見圖1。

圖1　q-Hurst指數(shù)圖

由圖1知，Hurst指數(shù)h（q）隨著q的不同而不同。當(dāng)取t= 1、5、22時(shí)，三條Hurst指數(shù)曲線h（q）都隨著q的增大而減小，因此不同時(shí)間標(biāo)度下的滬深300期貨市場(chǎng)存在多重分形特征。同時(shí)，q=0的右邊附近像是一個(gè)拐點(diǎn)，h（q）>0.5，從而說明市場(chǎng)存在長(zhǎng)期記憶性，而當(dāng)h（q）<0.5，說明市場(chǎng)存在反持續(xù)性。

2.多重分形譜（MFS）分析

多重分形描述的是分形幾何體在生長(zhǎng)過程中不同層次的特征。定義α為不同小區(qū)域內(nèi)的生長(zhǎng)幾率，令有相同α值的小區(qū)域構(gòu)成一個(gè)子集，則α稱為局部分維，或奇異指數(shù)。f（α）表示相同α值的子集的分形維，如果把不同的α值下對(duì)應(yīng)的f （α）放在一起，這時(shí)的f（α）稱為多重分形譜。而多重分形譜曲線是f（α）隨α變化的曲線，若能夠找到f（α）與α關(guān)系，便可以獲得某一時(shí)間序列下的多重分形譜。故對(duì)（5）進(jìn)行Legendre變換:

對(duì)滬深300股指期貨τ=1（日）的收益率結(jié)合matlab軟件作MF-DFA分析，s為天，q取-10到10之間的整數(shù)，結(jié)果如圖2。

圖2　τ=1時(shí)收益率Rt（τ）的MF-DFA分析

圖2是滬深300股指期貨序列的多重分形譜，可以看出：第一，分形譜是不對(duì)稱的，呈現(xiàn)右偏狀。τ=1時(shí)，α∈（0.9962，1.0033），說明α在不斷的變化。第二，α范圍隨著時(shí)間標(biāo)度的增加逐漸增大，f（α）的取值變化為（0.9672，1.0019），且當(dāng)約q=0時(shí)取得最大值，因此f（α）是一條光滑的曲線，所以收益率序列的標(biāo)度指數(shù)也將不同。

由于分形譜的寬度△α=αmax-αmin，運(yùn)用matlab做出股指期貨合約走勢(shì)圖3和△α的趨勢(shì)圖4，如下：

圖3　股指期貨合約走勢(shì)圖

圖4　△α的趨勢(shì)圖

圖3為滬深300股指期貨合約走勢(shì),圖4是根據(jù)移動(dòng)窗口求出的滬深300股指期貨合約的多重分形參數(shù)△α的走勢(shì)。對(duì)比可知，多重分形譜參數(shù)△α與滬深300股指期貨合約價(jià)格走勢(shì)大體上吻合，說明兩者之間有一定的相關(guān)性。因此可以粗略地用△α來預(yù)測(cè)股指期貨合約價(jià)格的變化趨勢(shì)。

三、結(jié)論

綜上對(duì)滬深300股指期貨合約走勢(shì)的Hurst指數(shù)分析，知其市場(chǎng)存在多重分形特征。運(yùn)用MF-DFA法，結(jié)合matlab軟件，觀察出滬深300股指期貨收益率序列的 f（α）與 α的關(guān)系圖，可知收益率序列的標(biāo)度指數(shù)也將不同，進(jìn)而通過多重分形參數(shù)△α來初步預(yù)測(cè)股指期貨合約價(jià)格走勢(shì)，因此具有一定的指導(dǎo)意義和價(jià)值。

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基金項(xiàng)目：茂名市軟科學(xué)項(xiàng)目（20140340）。

作者單位：（廣東石油化工學(xué)院理學(xué)院）