陳金曉，梁　斌，李　戎，徐紅玉

(1.河南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院,河南 洛陽 471023；2.九州工業(yè)大學(xué) 機(jī)械系，日本 北九州 804-8550)

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水下環(huán)肋圓柱殼的振動(dòng)耦合頻率影響因素分析

陳金曉1，梁斌1，李戎2，徐紅玉1

(1.河南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院,河南 洛陽 471023；2.九州工業(yè)大學(xué) 機(jī)械系，日本 北九州 804-8550)

摘要：在Flügge理論的基礎(chǔ)上，考慮流體的影響，通過波動(dòng)法推導(dǎo)出靜水壓力下環(huán)肋圓柱殼耦合振動(dòng)特征方程，并利用牛頓迭代法求得耦合振動(dòng)頻率。將靜水壓力下圓柱殼與環(huán)肋圓柱殼的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法的正確性和有效性。通過算例分析了在不同邊界條件下，環(huán)肋形式、靜水壓力、圓柱殼尺寸、環(huán)肋尺寸和環(huán)肋數(shù)目等因素對(duì)靜水壓力下環(huán)肋圓柱殼耦合頻率的影響。研究結(jié)果表明：在靜水壓力下，肋條的存在增強(qiáng)了圓柱殼的振動(dòng)強(qiáng)度，耦合作用的存在降低了圓柱殼的振動(dòng)強(qiáng)度。連續(xù)靜水壓力下，隨著靜水壓力的增大，圓柱殼的振動(dòng)強(qiáng)度不斷減弱；圓柱殼尺寸、肋條尺寸和環(huán)肋數(shù)目的改變?cè)诓煌潭壬细淖兞藞A柱殼的耦合頻率。

關(guān)鍵詞：靜水壓力；環(huán)肋；圓柱殼；波動(dòng)法；耦合頻率

0引言

環(huán)肋圓柱殼是一類重要的工程結(jié)構(gòu)，在航空器、宇航飛行器、艦艇以及水下潛艇結(jié)構(gòu)中廣泛應(yīng)用。研究靜水壓力下環(huán)肋圓柱殼耦合振動(dòng)特性的影響因素，對(duì)水下環(huán)肋圓柱殼的安全設(shè)計(jì)具有重要意義。文獻(xiàn)[1]采用無損預(yù)報(bào)方法計(jì)算了水下環(huán)肋圓柱殼彈性失穩(wěn)的臨界荷載，分析了邊界條件對(duì)水下環(huán)肋圓柱殼臨界荷載的影響。文獻(xiàn)[2]在傳遞矩陣法的基礎(chǔ)上，研究了變厚度環(huán)肋圓柱殼的振動(dòng)特性。文獻(xiàn)[3]利用Flügge方程和Helmholtz波動(dòng)方程，在振動(dòng)方程中把靜水壓力當(dāng)做額外應(yīng)力考慮，研究了靜水壓力對(duì)環(huán)肋圓柱殼輸入功率流的影響。文獻(xiàn)[4-5]采用波動(dòng)法研究了圓柱殼的自由振動(dòng)。文獻(xiàn)[6]采用能量法，引入應(yīng)變能因子，討論環(huán)肋與殼體之間的相互作用，分析了環(huán)肋圓柱殼的振動(dòng)特性。文獻(xiàn)[7]在Love殼體理論和波動(dòng)法基礎(chǔ)上，分析了環(huán)肋形式、肋條尺寸和肋條數(shù)目等因素對(duì)充液環(huán)肋圓柱殼耦合振動(dòng)的影響。文獻(xiàn)[8]在Flügge理論的基礎(chǔ)上，考慮流體與圓柱殼接觸面的耦合作用，研究了靜水壓力等因素對(duì)水下環(huán)肋圓柱殼耦合振動(dòng)的影響。但是，綜合考慮環(huán)肋形式和靜水壓力等組合因素，關(guān)于圓柱殼耦合振動(dòng)特性方面的研究還存在著大量空白。

本文基于Flügge理論利用波動(dòng)法并考慮流體影響，得到靜水壓力下環(huán)肋圓柱殼耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。采用牛頓迭代法求解出靜水壓力下不同環(huán)肋形式圓柱殼的耦合頻率，研究了環(huán)肋形式和邊界條件等因素對(duì)圓柱殼耦合頻率的影響。

1理論分析

本文采用的靜水壓力下環(huán)肋圓柱殼及環(huán)肋截面模型，如圖1所示。圖1中：R為平均半徑；L為圓柱殼長度；h為圓柱殼壁厚；O為圓柱殼圓形截面的圓心；hr為肋條截面高度；br為肋條截面寬度；d2為肋條間距；e2為環(huán)肋的偏心距(不同的環(huán)肋形式，環(huán)肋偏心距的取值不同，見文獻(xiàn)[9])。在圓柱殼的中面上建立正交坐標(biāo)系(x,θ,z)，其中，x、θ和z分別為圓柱殼的軸向、環(huán)向和徑向坐標(biāo)。

用波動(dòng)法表示的圓柱殼振動(dòng)位移方程為：

(1)

其中：Um,Vm,Wm分別為x,θ,z方向的波幅；n為周向波數(shù)；i2=-1；ω為固有角頻率；t為時(shí)間；km為軸向波數(shù)，其大小與邊界條件有關(guān)；x,θ分別為圓柱殼的軸向和環(huán)向坐標(biāo)。

圖1　靜水壓力下環(huán)肋圓柱殼及環(huán)肋截面模型

將方程(1)代入靜水壓力下環(huán)肋圓柱殼的運(yùn)動(dòng)方程[10]，得到用矩陣表示的靜水壓力下振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：

(2)

計(jì)算中,需要考慮流體與圓柱殼結(jié)構(gòu)的耦合效應(yīng)，在流體中用柱坐標(biāo)表示的聲壓方程為：

ψ=ψmcos(nθ)Jn(krr)eiωt-ikm，

(3)

在圓柱殼外壁與流體的接觸界面上，需要滿足流體徑向位移與圓柱殼徑向位移必須相等的耦合條件，其表達(dá)式為：

(4)

(5)

(6)

其中：FL為流體聲場作用所產(chǎn)生的流體荷載項(xiàng),

(7)

當(dāng)FL=0,靜水壓力Q=0 kPa時(shí)，方程(7)可以還原為不考慮流體影響的環(huán)肋圓柱殼固有頻率的求解，方程(2)可以求解不考慮流體影響的靜水壓力下環(huán)肋圓柱殼的固有頻率，方程(7)是一個(gè)超越方程，可以運(yùn)用牛頓迭代法求解環(huán)肋圓柱殼的耦合頻率。

2算例與討論

本文通過退化計(jì)算來驗(yàn)證理論研究的有效性和正確性，計(jì)算結(jié)果見表1與表2。表1退化計(jì)算了兩端簡支邊界條件下環(huán)肋圓柱殼在不同模態(tài)(m,n)下的固有頻率(m為軸向半波數(shù)，n為周向波數(shù))，將計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[11]中的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。表2退化計(jì)算了兩端簡支(SS-SS)、兩端固支(C-C)和一端固支一端自由(C-F)這3種邊界條件時(shí)，靜水壓力下不加環(huán)肋圓柱殼的耦合頻率，將計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[12]中的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。兩類退化計(jì)算的結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了本文計(jì)算的有效性和正確性。

表1 　兩端簡支邊界條件下環(huán)肋圓柱殼固有頻率計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析

表2　不同邊界條件時(shí)靜水壓力下不加環(huán)肋圓柱殼耦合頻率計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析

在計(jì)算靜水壓力下環(huán)肋圓柱殼耦合頻率時(shí)，需要考慮結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。當(dāng)固有頻率為0 Hz時(shí)，所對(duì)應(yīng)的靜水壓力可認(rèn)為是臨界靜水壓力。本文算例中，靜水壓力皆控制在臨界靜水壓力以上，即耦合頻率均控制在0 Hz以上。算例中分析了連續(xù)靜水壓力下環(huán)肋圓柱殼耦合頻率的變化規(guī)律,以及不同軸向半波數(shù)、環(huán)肋形式、圓柱殼尺寸、肋條尺寸和環(huán)肋數(shù)目等影響因素下耦合頻率的變化規(guī)律。計(jì)算結(jié)果見圖2至圖6，本文選用的圓柱殼幾何參數(shù)為：E=2.06×1011N/m2，υ=0.3，ρ=7 800 kg/m3，L=20 m，R=1 m，h=0.002 m，hr=0.005 82，br=0.002 18，m=1，n=2，肋條數(shù)目N=19。

圖2是以兩端簡支邊界條件下的環(huán)肋圓柱殼作為研究對(duì)象，分析了在連續(xù)靜水壓力Q下不同環(huán)肋形式圓柱殼耦合頻率變化規(guī)律。從圖2中可以看出：3種環(huán)肋形式圓柱殼耦合頻率均隨著靜水壓力的增大而不斷減小，耦合頻率在接近臨界靜水壓力時(shí)下降幅度增大；3種環(huán)肋形式圓柱殼，內(nèi)環(huán)肋圓柱殼耦合頻率最大，對(duì)稱環(huán)肋圓柱殼耦合頻率最小。

圖2兩端簡支邊界條件時(shí)不同靜水壓力下環(huán)肋圓柱殼的耦合頻率變化曲線

圖3兩端簡支邊界條件下不同環(huán)肋形式圓柱殼的固有頻率變化曲線

圖3以不同環(huán)肋形式為出發(fā)點(diǎn)，分析了靜水壓力Q=1 kPa時(shí)，考慮流體影響和不考慮流體影響兩種條件下圓柱殼固有頻率的變化規(guī)律。從圖3中可以看出：固有頻率隨著周向波數(shù)n的增大而增大；環(huán)肋圓柱殼固有頻率高于不加肋圓柱殼固有頻率。3種環(huán)肋形式的圓柱殼固有頻率，外環(huán)肋圓柱殼與內(nèi)環(huán)肋圓柱殼非常接近，內(nèi)環(huán)肋圓柱殼略大于外環(huán)肋圓柱殼，而外環(huán)肋圓柱殼大于對(duì)稱環(huán)肋圓柱殼。流體對(duì)圓柱殼固有頻率的影響比較顯著，不考慮流體影響的圓柱殼固有頻率明顯高于考慮流體影響的圓柱殼耦合頻率。

基于上述結(jié)論，下面以內(nèi)環(huán)肋形式和靜水壓力Q=5 kPa為研究對(duì)象進(jìn)行討論。圖4分析了兩端簡支(SS-SS)和兩端固支(C-C)兩種邊界條件時(shí)，不同軸向半波數(shù)m條件下圓柱殼耦合頻率隨h的變化規(guī)律。從圖4中可以看出：兩端固支圓柱殼耦合頻率大于兩端簡支圓柱殼耦合頻率。耦合頻率隨著h增大而不斷增大。隨著軸向半波數(shù)m的增大，耦合頻率也不斷增大，且耦合頻率的增長幅度變大。

圖5分析了兩端簡支(SS-SS)和兩端固支(C-C)兩種邊界條件下不同圓柱殼長度L時(shí)，圓柱殼耦合頻率的變化規(guī)律。由圖5可看出：圓柱殼耦合頻率隨著圓柱殼長度L的增大而減小，但隨著L的增長，耦合頻率的下降幅度減小。當(dāng)L=5 m時(shí)，隨著圓柱殼厚度h的增大，耦合頻率的增大幅度比較明顯。當(dāng)L增大到20 m，隨著h的增大，耦合頻率的增大速度趨于平緩。兩端固支圓柱殼耦合頻率明顯高于兩端簡支圓柱殼耦合頻率。

圖4不同m下圓柱殼的耦合頻率變化曲線

圖5不同L下圓柱殼的耦合頻率變化曲線

圖6　不同hr/br時(shí)圓柱殼的耦合頻率變化曲線

圖6 以不同肋條數(shù)目N為出發(fā)點(diǎn)，分析了兩端簡支(SS-SS)和兩端固支(C-C)兩種邊界條件下肋條截面高度與寬度之比hr/br不同時(shí)，圓柱殼耦合頻率的變化規(guī)律。從圖6中可以看出:圓柱殼耦合頻率隨著N的增加而增大。兩端簡支時(shí)，隨著hr/br的增大，耦合頻率的增大速度變快，而兩端固支時(shí)這種現(xiàn)象并不明顯。耦合頻率隨著hr/br的增大而增大，兩端簡支時(shí)增大幅度更加明顯。兩端固支時(shí)的耦合頻率明顯大于兩端簡支時(shí)的耦合頻率。

3結(jié)論

(1)環(huán)肋對(duì)水下圓柱殼耦合頻率的影響比較顯著，在連續(xù)靜水壓力下，3種環(huán)肋形式圓柱殼耦合頻率均明顯高于不加肋圓柱殼耦合頻率。3種環(huán)肋圓柱殼耦合頻率相比較，內(nèi)環(huán)肋圓柱殼耦合頻率最大，對(duì)稱環(huán)肋圓柱殼耦合頻率最小。

(2)環(huán)肋圓柱殼和不加環(huán)肋圓柱殼的耦合頻率均隨著靜水壓力增大而減小，流體對(duì)圓柱殼結(jié)構(gòu)的耦合效應(yīng)比較明顯，耦合效應(yīng)的存在大大降低了圓柱殼固有頻率。

(3)靜水壓力下環(huán)肋圓柱殼耦合頻率隨著圓柱殼厚度h增大而增大，增大速度隨著軸向半波數(shù)m增大而加快；耦合頻率隨著圓柱殼長度L增大而不斷減小，當(dāng)L較小時(shí)，頻率減小速度較快，當(dāng)L不斷增大時(shí)，頻率減小速度明顯減慢。

(4)圓柱殼耦合頻率隨著肋條截面高度hr與肋條截面寬度br比值的增大而增大，但增大幅度相對(duì)比較緩慢。與h、L對(duì)耦合頻率的影響相比，hr/br對(duì)耦合頻率的影響相對(duì)比較弱。在靜水壓力下，隨著肋條數(shù)目N的增大耦合頻率不斷增大，但是增大的速度比較緩慢。

(5)連續(xù)靜水壓力下，兩端固支環(huán)肋圓柱殼耦合頻率均高于兩端簡支環(huán)肋圓柱殼耦合頻率。

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基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51105132,11402077);河南省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(122300410112)

作者簡介：陳金曉(1991-),女,河南南陽人,碩士生;梁斌(1963-),男,河南洛陽人,教授,博士，博士生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)楣こ探Y(jié)構(gòu)非線性分析與優(yōu)化設(shè)計(jì).

收稿日期：2015-12-03

文章編號(hào)：1672-6871(2016)05-0041-05

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.05.010

中圖分類號(hào)：TB535+.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A