鄧奎彪，范永青（.柳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣西柳州 545006；.西安郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，陜西西安　700）

?

一個(gè)混沌系統(tǒng)的單輸入指數(shù)自適應(yīng)同步分析

鄧奎彪1，范永青2
（1.柳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣西柳州 545006；2.西安郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，陜西西安710210）

摘要：首先引入一個(gè)含有乘積項(xiàng)系統(tǒng)參數(shù)的混沌系統(tǒng).對(duì)新的吸引子的基本性質(zhì)用相圖、平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性、李亞譜諾夫指數(shù)譜、分岔圖、Poincaré截面進(jìn)行了詳細(xì)分析.然后對(duì)系統(tǒng)參數(shù)都為正時(shí)的系統(tǒng)的界進(jìn)行了估計(jì)，并給出系統(tǒng)界的表達(dá)式.由于系統(tǒng)中含有乘積項(xiàng)參數(shù)，當(dāng)參數(shù)未知時(shí)，同步新系統(tǒng)會(huì)比較困難.文中用一個(gè)帶有自適應(yīng)參數(shù)更新的單輸入控制器取得了系統(tǒng)的同步.最后，用數(shù)值仿真驗(yàn)證提出方法有效性.

關(guān)鍵詞：指數(shù)同步；混沌系統(tǒng)；單輸入；自適應(yīng)

0　引言

自L(fǎng)orenz在1963年發(fā)現(xiàn)了第一個(gè)混沌系統(tǒng)，即Lorenz混沌模型［1］以來(lái)，混沌奇特的非性線(xiàn)現(xiàn)象引起了國(guó)內(nèi)外的學(xué)者廣泛關(guān)注，混沌在眾多領(lǐng)域取得了巨大而深遠(yuǎn)的影響，并且許多新的混沌系統(tǒng)相繼被提出［2-6］.在混沌的諸多特性中，混沌系統(tǒng)的界對(duì)混沌的同步與控制有極為重要的意義.然而混沌系統(tǒng)的界并不易求得，只能估計(jì)少量混沌系統(tǒng)界，如Lorenz系統(tǒng)［7］，Lorenz系統(tǒng)族［8-9］，Chuan系統(tǒng)［10］等.本文首先引入一個(gè)含有乘積項(xiàng)的混沌系統(tǒng)，分析了其基本的動(dòng)力學(xué)特性.然后，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)恼ê瘮?shù)結(jié)合Lagrange函數(shù)法給出了新系統(tǒng)界的估計(jì).作為界估計(jì)的應(yīng)用，本文設(shè)計(jì)出一個(gè)帶自適應(yīng)的單輸入線(xiàn)性反饋控制器實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的指數(shù)同步，由于系統(tǒng)中含有乘積耦合項(xiàng)的系數(shù)，那么對(duì)于參數(shù)未知的自適應(yīng)同步就非常困難，目前國(guó)內(nèi)外很少有文獻(xiàn)［11］關(guān)于有乘積耦合項(xiàng)系數(shù)自適應(yīng)同步的報(bào)道.

1　新的混沌系統(tǒng)

式中：x，y，z代表系統(tǒng)的狀態(tài)變量，a，b，c，d是系統(tǒng)參數(shù)，且都是正的實(shí)常數(shù).系統(tǒng)中有兩個(gè)非線(xiàn)項(xiàng)，并有一個(gè)參數(shù)乘積項(xiàng)cd.當(dāng)a=0.6，b=0.4，c=1.2d，d=1.5時(shí)，三個(gè)李氏指數(shù)為L(zhǎng)1=0.178，L2=0，L3=-0.718.系統(tǒng)（1）有一個(gè)混沌吸引子，此混沌的三維相圖見(jiàn)圖1.

圖1　系統(tǒng)（1）相圖

1.1平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性

只需求解a=0.6，b=0.4，c=1.2d，d=1.5在方程組

就能得到平衡點(diǎn)。易求E1（0，5，0），E2（1.1431，1.7333，-0.9526），E3（-1.1434，1.7333，0.9526），三個(gè)平衡點(diǎn).在平衡點(diǎn)E1處線(xiàn)性化系統(tǒng)（1）得到雅可比矩陣為：

由特征方程|λI-J（E1）=0，易求得三個(gè)特征值λ1=4.0514，λ2=-1.4514，λ3=-0.4 .因?yàn)橛笑?，λ3＜0，λ1＞0，所以平衡點(diǎn)E1是不穩(wěn)定的鞍點(diǎn).同理可求出在平衡點(diǎn) E2，E3處的三個(gè)特征值為別為 λ1=-1.403，λ2=0.1681+1.8221i，λ3=0.1681-1.8221i .此時(shí)在平衡點(diǎn)E2，E2是不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn).

1.2隨參數(shù)變化分岔圖，Lyapunov指數(shù)譜

分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜可表明系統(tǒng)狀態(tài)隨參數(shù)變化時(shí)的情況.下面只討論參數(shù)b變化情形，其它參數(shù)與之類(lèi)似，故不再一一討論.固定參數(shù)a=0.6，c=1.2，d=1.5，改變參數(shù)b.當(dāng)參數(shù)b∈［］0.1，0.4時(shí)，系統(tǒng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜如圖2和圖3.圖2說(shuō)明當(dāng)數(shù)b變化時(shí)系統(tǒng)（1）從倍周期進(jìn)入混沌狀態(tài).圖3表明隨著b變化時(shí)的過(guò)程中周期軌和混沌交替出現(xiàn). 1.3 Poincaré截面圖

圖2　b變化時(shí)的分岔圖

圖3　b變化時(shí)的Lyapunov指數(shù)

系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)特性還可以用Poincaré截面圖來(lái)進(jìn)行分析.對(duì)Poincaré截面的選取應(yīng)該恰當(dāng)，既不能包含系統(tǒng)的軌線(xiàn)，也不能與軌線(xiàn)相切.經(jīng)分析計(jì)算，得系統(tǒng)在x=0截面上的Poincaré截面圖如圖4所示.顯見(jiàn)在這Poincaré截面上的映射點(diǎn)集具有分形結(jié)構(gòu)的密集點(diǎn)，吸引子的葉片清晰可見(jiàn)，表明新系統(tǒng)具有分形的特點(diǎn).

圖4　Poincaré截面圖

以上的分析說(shuō)明新的系統(tǒng)的確滿(mǎn)足混沌的基本特征，眾所周知混沌的運(yùn)動(dòng)軌線(xiàn)始終局限在一個(gè)確定的區(qū)域內(nèi)，因而混沌吸引子是一定有界的，下面來(lái)估計(jì)混沌系統(tǒng)的界.

2　混沌系統(tǒng)界的估計(jì)

在混沌的諸多特征中，具有正的Lyapunov指數(shù)和有界的軌道這兩個(gè)特征是目前廣泛采用的混沌判據(jù).前面得出了典型系統(tǒng)具有正的Lyapunov指數(shù)，本節(jié)對(duì)新系統(tǒng)的界進(jìn)行估計(jì)，給出當(dāng)參數(shù)a，b，c，d全為正數(shù)時(shí)系統(tǒng)界的表達(dá)式，從而證實(shí)了新系統(tǒng)具有正的Lyapunov指數(shù)并且有界這兩個(gè)混沌的基本特征.

證明：選取如下的正定函數(shù)

對(duì)（4）式沿著系統(tǒng)（1）的軌跡求導(dǎo)，有

構(gòu)造如下形式的的Lagrange函數(shù)

對(duì)式（7）求導(dǎo)，分別令

總結(jié)上面的四種情況，令

則定理1的證明完成.

圖5　　系統(tǒng)（1）含在橢球體內(nèi)

3　　指數(shù)自適應(yīng)同步新的混沌系統(tǒng)

本節(jié)將研究指數(shù)自適應(yīng)同步問(wèn)題，設(shè)系統(tǒng)（1）是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為:

式中x1，y1，z1是系統(tǒng)的狀態(tài)變量，u是要設(shè)計(jì)的使得系統(tǒng)（1）和（13）取得指數(shù)自適應(yīng)同步的控制器，a1，b1，c1，d1是響應(yīng)系統(tǒng)（13）中未知需要估計(jì)的系統(tǒng)參數(shù).系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（13）之間的誤差失量E和參數(shù)誤差失量Ep分別定義為:

由系統(tǒng)（1）和（13）得到系統(tǒng)誤差為:

定義1指數(shù)同步：如果控制器U和參數(shù)更新規(guī)則能使得下式

成立。則稱(chēng)系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（13）取得指數(shù)同步.上式中的A，B是兩個(gè)正數(shù)，V=eTpe是一個(gè)二次多項(xiàng)式，PT=P∈R7×7是一正定矩陣，e=［E，EP］TB為指數(shù)收斂率.

引理（算術(shù)幾何平均不等式）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)X，Y及正實(shí)數(shù)ε都有成立.

線(xiàn)性反饋增益k滿(mǎn)足

參數(shù)更新規(guī)則為

式中α，β是正的實(shí)數(shù)，且α+β=1，μ1，μ2，μ3，μ4〉0，那么驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)自適應(yīng)指數(shù)同步.

證明：構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)

對(duì)V1求導(dǎo)得

將式（18）（20）代入（22）有

根據(jù)式（12）和引理1，有

當(dāng)下面的條件滿(mǎn)足時(shí)

由微分知識(shí)求得V1〈V1（0） e-tδ，且V1（0）〉0根據(jù)定義1有ex，ey，ez，ea，eb，ec，ed指數(shù)收斂到0.因此在控制器（18）和參數(shù)更新規(guī)則（20）的作用下驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（13）取得了指數(shù)自適應(yīng)同步.

4　數(shù)值仿真

本節(jié)用數(shù)值仿真驗(yàn)證以上提出理論的正確性.采用四階Runge-Kutta法求解系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（13），仿真步長(zhǎng)為0.0001.系統(tǒng)（1）的參數(shù)值為，初始值系統(tǒng)令（13）初值，估計(jì)參數(shù)初值令式（20）中的參數(shù)，由式（26）要求，選取滿(mǎn)足條件的反饋增益k=34.選定式（20）中的，我們選?。?8）中的指數(shù)收斂率δ=0.15那么由定理2得時(shí)有均指數(shù)收斂到0即有,由圖（6）可見(jiàn)在控制器（18）和參數(shù)自應(yīng)律（20）的作用下驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（13）很快達(dá)到指數(shù)同步，并且也實(shí)現(xiàn)對(duì)響應(yīng)系統(tǒng)未知參數(shù)的識(shí)別.

圖6　系統(tǒng)（1）和（13）實(shí)現(xiàn)了指數(shù)自適應(yīng)同步

5　結(jié)論

首先分析了系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，其次，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)正定函數(shù)結(jié)合Lagrange乘法確定系統(tǒng)（1）在參數(shù)都為正數(shù)的情形下的界.最后，設(shè)計(jì)了一個(gè)帶有自適應(yīng)參數(shù)更新的單輸入控制器取得了系統(tǒng)的同步.由于只有一個(gè)單輸入控制器，相比多個(gè)輸入的控制器，不僅能降低控制成本，而且在工程上更容易實(shí)現(xiàn).因此本文的提出的同步方法，在理論上和工程實(shí)踐應(yīng)用中都具有重要的價(jià)值.

［參考文獻(xiàn)］

［1］LORENZ E N.Deterministic no-periods flow［J］.Journal of the atmospheric sicence，1963，20（2）:130-148.

［2］ROSSLER O E.An equation for continuous chaos［J］.Phys Lett A，1976，57（5）: 397-398.

［3］SPROTT J C.Some simple chaotic flows［J］.Phys Rev E，1984，50（2）:647-650.

［4］CHEN G R，Ueta A.Yet another chaotic Attractor［J］.Inter J Bifur chaos，1999，9（7）:1465-1466.

［5］LIU C X，LIU T，LIU L，et al.A new chaotic attractor［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2004，22（5）:1031-1038.

［6］DENG K B，LI J，YU S M.Dynamics ananysis and synchronization of a new chaotic attrator［J］.Optik-international journal for light and electron optics，2014，125（13）:3071-3075.

［7］LI D M，LU J A，WU X Q，et al. Estimating the bounds for the Lorenz family of chaotic systems［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2005，23 （2）: 529-534.

［8］YU P，LIAO X X.New estimation for globally attractive and positive invariant set of the family of the Lorenz systems［J］.Inter J Bifur Chaos，2006，16（11）:3383-3390.

［9］SUN Y J. Solution bounds of generalized Lorenz systems［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2009，40（2）:691-696.

［10］LIAO X X，YU P，XIE S L，et al.Study on the global property of the smooth Chua's systems［J］. Inter J Bifur Chaos，2006（10）:2815-2841.

［11］YANG C C.Exponential synchronization of a new Lorenz-like attrator with uncertain parameters via single input［J］. Applied mathematics and computation，2011，217（14）:6490-6497.

（責(zé)任編輯：李潔坤）

The Analysis of a Single Exponential Input Adaptive Synchronization of a Chaotic System

DENG Kuibiao1，F(xiàn)AN Yongqing2
（1. Liuzhou Vocational & Technical College，Liuzhou，Guangxi，545006 China；2. School of Automation，Xi'an University of Posts and Telecommunication，Xi'an，Shaanxi，710121 China）

Abstract:This paper firstly presents a chaotic system including a product term of system parameters. Basic dynamical properties of the attractor are demonstrated in terms of phase portrait，equilibria and stability，Lyapunov exponent spectrum，bifurcation diagram and poincaré mapping. Then，the bound of this system is estimated for all the positive values of its parameters and the expression of the bound is illustrated. Owing to a product term of system parameters，it can be predicted that synchronization of the new system becomes more difficulty by taking account of uncertain system parameters. In this paper，the exponential synchronization between two identical chaotic systems by applying single input controller associated with system parameter update laws is proposed. At last，numerical studies are provided to illustrate the effectiveness of the presented scheme.

Key words:exponential synchronization；chaotic system；single input；adaptive

中圖分類(lèi)號(hào)：TP911-34；TP29

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：2096-2126（2016）01-0113-07

［收稿日期］2016-01-10

［基金項(xiàng)目］國(guó)家自然科學(xué)基金資助“帶有伸縮器和飽和器的模糊自適應(yīng)控制設(shè)計(jì)方法研究”（61305098）；廣西教育廳自然科學(xué)基金資助“物聯(lián)網(wǎng)中數(shù)據(jù)融合和安全問(wèn)題關(guān)鍵技術(shù)研究”（KY2015YB399）。

［作者簡(jiǎn)介］鄧奎彪（1970—），男，湖北荊門(mén)人，博士，工程師，研究方向：非線(xiàn)性控制、混沌同步、物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)；范永青（1978—），女，河南鶴壁人，博士，講師，研究方向：復(fù)雜網(wǎng)同步控制。