晁冉冉　傅海倫

【摘要】

數(shù)學(xué)命題的學(xué)習(xí)要比數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)復(fù)雜得多，本文試以“排列”這一節(jié)為例，從知識(shí)掌握的領(lǐng)會(huì)、鞏固和應(yīng)用三個(gè)階段對“排列”這一內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)研究，以說明如何進(jìn)行數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)理論下的學(xué)與教.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)命題；學(xué)習(xí)理論；排列組合；教學(xué)設(shè)計(jì)

教師只有深入地了解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)部過程，把握其內(nèi)部機(jī)制，才能對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的各種現(xiàn)象的因果關(guān)系作出準(zhǔn)確判斷，真正做到有的放矢.數(shù)學(xué)命題（原理）一般由若干個(gè)概念組成，數(shù)學(xué)命題的學(xué)習(xí)實(shí)際上就是數(shù)學(xué)概念之間關(guān)系的學(xué)習(xí)，然而數(shù)學(xué)命題的學(xué)習(xí)要比數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)復(fù)雜得多.下面就以“排列”為例，以說明如何進(jìn)行數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)理論下的學(xué)與教.1數(shù)學(xué)命題知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體性

不同的數(shù)學(xué)原理有不同的概括水平，在每一概括水平上，儲(chǔ)存了可以用來區(qū)分其他水平的屬性.分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理是處理計(jì)數(shù)問題的兩種基本思想方法，因此它們儲(chǔ)存在最高水平；而排列、組合是兩類特殊的計(jì)數(shù)問題，而獲得排列數(shù)公式、組合數(shù)公式的基本思想和工具就是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，所以排列與排列數(shù)公式、組合與組合數(shù)公式儲(chǔ)存在比兩個(gè)基本原理低一級的水平；二項(xiàng)式定理是排列、組合知識(shí)的應(yīng)用，因此它在排列、組合低一級的水平上[1].因此，要學(xué)好排列、組合問題，必須學(xué)好分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.筆者認(rèn)為在引入排列、組合有關(guān)的命題時(shí)，要對兩個(gè)基本原理進(jìn)行復(fù)習(xí)回憶.將新知識(shí)恰當(dāng)?shù)厍度雽W(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中.2數(shù)學(xué)命題知識(shí)過程的掌握環(huán)節(jié)

從奧蘇貝爾的有意義接受學(xué)習(xí)理論出發(fā)，我國著名心理學(xué)家馮仲良以此理論為基礎(chǔ)，提出了知識(shí)掌握的領(lǐng)會(huì)、鞏固、應(yīng)用三階段理論.這種觀點(diǎn)認(rèn)為，要掌握知識(shí)，首先應(yīng)領(lǐng)會(huì)知識(shí)，然后在頭腦中將領(lǐng)會(huì)的知識(shí)加以鞏固，從而在實(shí)際中去應(yīng)用知識(shí)，以便得到進(jìn)一步的檢查和充實(shí)[2].

2.1“排列”學(xué)習(xí)的領(lǐng)會(huì)階段

學(xué)生知識(shí)掌握的領(lǐng)會(huì)階段又要經(jīng)歷三個(gè)環(huán)節(jié)，即聯(lián)結(jié)、精加工和組織.教師要針對這三個(gè)環(huán)節(jié)，進(jìn)行不同的設(shè)置.

（1）聯(lián)結(jié)環(huán)節(jié)：學(xué)生在該環(huán)節(jié)，接受新知識(shí)的刺激，知覺到語言符號信息進(jìn)入工作記憶，并激活長時(shí)記憶中的相關(guān)知識(shí)，這些新舊知識(shí)在工作記憶中被聯(lián)系起來構(gòu)成新命題（或形成假設(shè)）[3].在給出“排列”的定義時(shí)，學(xué)生長時(shí)記憶中的兩個(gè)基本原理等相關(guān)知識(shí)被激活，因此教師在給出“排列”以及“排列數(shù)”的定義時(shí)，要給學(xué)生留有思考的時(shí)間，讓學(xué)生思考“排列”與兩個(gè)基本原理的關(guān)系.

（2）精加工環(huán)節(jié)：學(xué)生在該環(huán)節(jié)中，要利用被激活的長時(shí)記憶中的相關(guān)知識(shí)對新命題的正確性進(jìn)行邏輯推理論證而形成新的原理（定理、法則等），分析出新舊知識(shí)間的新聯(lián)系，使新舊知識(shí)融會(huì)貫通，形成組塊，同時(shí)要盡量推出新的命題，并不斷激活和吸納更多的已有知識(shí)參與加工，使新知識(shí)與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的聯(lián)系更加緊密、全面[3].

教師利用兩個(gè)基本原理，讓學(xué)生經(jīng)歷推導(dǎo)出“排列數(shù)公式”的過程，讓學(xué)生了解到“排列”的本質(zhì)也是一種計(jì)數(shù)方法，“排列數(shù)公式”也是一種特殊的計(jì)數(shù)公式.將這一知識(shí)點(diǎn)和兩個(gè)計(jì)數(shù)基本原理建立新的聯(lián)系，使新舊知識(shí)融會(huì)貫通.

（3）組織環(huán)節(jié)：學(xué)生在該環(huán)節(jié)，需要將信息進(jìn)行分類整理，并按照相互之間的類屬關(guān)系進(jìn)行編碼，從而為一組信息建立一個(gè)合理有序的知識(shí)結(jié)構(gòu)，成為一個(gè)有機(jī)整體[3].學(xué)生在將新舊知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系后，原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行重組，教師可以通過畫知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖使學(xué)生的新舊知識(shí)成為一個(gè)有機(jī)整體.

2.2“排列”學(xué)習(xí)的鞏固階段

知識(shí)的鞏固是通過主動(dòng)復(fù)習(xí)而實(shí)現(xiàn)的.如果不能及時(shí)地進(jìn)行主動(dòng)復(fù)習(xí)，新學(xué)習(xí)的知識(shí)可能會(huì)被遺忘，只有當(dāng)再次復(fù)習(xí)時(shí)，新舊知識(shí)的聯(lián)系才更緊密.因此，教師在講完“排列與組合”這一節(jié)時(shí)，一定要給出適當(dāng)?shù)木毩?xí)以及在今后的學(xué)習(xí)中及時(shí)地進(jìn)行復(fù)習(xí).

2.3“排列”學(xué)習(xí)的應(yīng)用階段

知識(shí)的應(yīng)用涉及知識(shí)的提取和重構(gòu).在解答問題、學(xué)習(xí)新知的過程中，必然需要應(yīng)用已有知識(shí)，應(yīng)用的實(shí)質(zhì)是知識(shí)的提取和重構(gòu)，這是通過激活的擴(kuò)張而實(shí)現(xiàn)的.例如，在學(xué)習(xí)“排列”的有關(guān)知識(shí)后，讓學(xué)生解答：

“從10個(gè)不同的文藝節(jié)目中選6個(gè)編成一個(gè)節(jié)目單，如果某女演員的獨(dú)唱節(jié)目一定不能排在第二個(gè)節(jié)目的位置上，則共有多少種不同的排法？”

學(xué)生通過知識(shí)的提取和重構(gòu)將問題轉(zhuǎn)化為“從除去第二個(gè)節(jié)目的位置后，剩下的9個(gè)位置選一個(gè)安排女演員的獨(dú)唱節(jié)目，安排下女演員的獨(dú)唱節(jié)目后，將剩下的5個(gè)節(jié)目隨機(jī)排列在其余的9個(gè)位置上”即得到A19A59=136080.3“排列”學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)目標(biāo)

（1）能夠區(qū)分所研究問題是否是排列問題；

（2）掌握排列數(shù)的計(jì)算公式；

（3）熟練應(yīng)用排列問題的常見解題方法，體會(huì)到數(shù)學(xué)方法的多樣性

（4）培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

（二）教學(xué)重點(diǎn)

排列數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用.

（三）教學(xué)難點(diǎn)

解決實(shí)際問題時(shí)的思路分析.

（四）教學(xué)過程

1、復(fù)習(xí)舊知，引入新知

師：上一節(jié)我們已經(jīng)學(xué)過分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，請同學(xué)們回憶一下，什么是分類加法計(jì)數(shù)原理？什么是分步乘法計(jì)數(shù)原理？

設(shè)計(jì)意圖（1）檢查學(xué)生和新課有關(guān)知識(shí)的掌握程度；（2）刺激學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為新課與舊課的融會(huì)貫通埋下伏筆.

生1：分類加法計(jì)數(shù)原理是做一件事，完成它可以有n類辦法，第一類辦法中有m1種不同的方法，第二類辦法中有m2種不同的方法……，第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.

生2：分步乘法原理是做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1m2…mn種不同的方法.

師：這兩名同學(xué)回答的非常好，現(xiàn)在我相信在這兩個(gè)同學(xué)回答的同時(shí)，其他的同學(xué)也都掌握了這兩個(gè)基本原理，現(xiàn)在我們來分析兩個(gè)問題，看看有沒有更簡單的計(jì)數(shù)方法？

問題1從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？

觀察、分析學(xué)生的解題方法：學(xué)生在看到此題時(shí)，迅速對自己的知識(shí)進(jìn)行提取與重組，將問題轉(zhuǎn)化為：從甲、乙、丙3名同學(xué)中每次選出2名，按照參加上午的活動(dòng)在前，參加下午的活動(dòng)在后的順序排列，求一共有多少種不同的排法.

在了解學(xué)生的解題方法的同時(shí)，老師明白了學(xué)生的思考過程，如果某些學(xué)生不能很好地將以前的知識(shí)進(jìn)行提取，老師要進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶崾?最后，老師進(jìn)行統(tǒng)一講解：根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，先選參加上午活動(dòng)的同學(xué)共有3種選法，再選參加下午活動(dòng)的同學(xué)共有2種選法，因此要想完成這件事情，共有3×2=6種選法.

師：上面這個(gè)問題如果我們把具體的選法寫出來就是：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙.像這樣我們就可以說，從3個(gè)不同的元素中取2個(gè)，然后按照一定的順序排成一列，一共有3×2=6種不同的排列方法.

問題2從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字中，每次取出三個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，一共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)？

師：問題2與問題1有相似之處，這個(gè)問題我們可不可以轉(zhuǎn)化為：從4個(gè)數(shù)字中，每次取出3個(gè)，按“百”、“十”、“個(gè)”位的順序排成一列，就得到一個(gè)三位數(shù)，因此，有多少不同的排法就有多少不同的三位數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖用疑問的語氣提出此問題，既為學(xué)生做了適當(dāng)?shù)奶崾?，又可以讓學(xué)生積極思考老師的話是否正確.

在老師的提示下，學(xué)生給出答案：4×3×2=24種.

師：我們一起寫出所有的三位數(shù)為：

123，124，132，134，142，143，

213，214，231，234，241，243，

312，314，321，324，341，342，

412，413，421，423，431，432.

像這樣我們就可以說，從4個(gè)不同的元素中取3個(gè)，然后按照一定的順序排成一列，一共有4×3×2=24種不同的排列方法.

師：問題1和問題2的共同特點(diǎn)是什么，能將它們推廣到一般情形嗎？

設(shè)計(jì)意圖老師提問，學(xué)生自己歸納，從而提高學(xué)生的歸納、分析問題的能力以及數(shù)學(xué)語言表達(dá)的能力.最后在學(xué)生歸納的基礎(chǔ)上總結(jié)、完善排列的定義：一般地，從n個(gè)不同的元素中取出m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.

為了使學(xué)生了解“排列”這一定義的本質(zhì)，講解問題2中的，123與134因?yàn)閿?shù)字取得不同因此是不同的排列，123與132即使數(shù)字完全相同，因?yàn)轫樞虿煌?，也是不同的排?

師：所有不同的排列個(gè)數(shù)就稱為排列數(shù)，即從n個(gè)不同的元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用Amn表示.

2、探究公式，理解本質(zhì)

師：在前面兩個(gè)問題中，我們可以知道A23=6，A34=24.那么A2n、A3n、Amn，各是多少呢？聯(lián)系問題1和問題2，小組討論一下，A2n我們可以把它看成什么？

設(shè)計(jì)意圖這一抽象的數(shù)學(xué)符號不好理解，讓學(xué)生嘗試把它還原到實(shí)際情景的問題中，就能容易理解.然后經(jīng)過小組討論與合作，在激烈的爭論中，使自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在同化和順應(yīng)的基礎(chǔ)上，達(dá)到暫時(shí)的平衡.

生3：可以看成從n個(gè)元素中取2個(gè)元素，得到的排列數(shù)，可以用分步乘法計(jì)數(shù)原理，分為兩步，可以得到A2n=n（n-1）；同理A3n可以看成從n個(gè)元素中取3個(gè)元素，得到的排列數(shù)，可以用分步乘法計(jì)數(shù)原理，分為三步，得到A3n=n（n-1）（n-2）.

師：非常好，一般地我們就可以得到Amn=n（n-1）（n-2）…（n-m+1），這里n，m都是正整數(shù)，并且m≤n.這個(gè)公式就叫做排列數(shù)公式.特別地，當(dāng)m=n時(shí)，即從n個(gè)不同的元素中全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列，記為Ann=n（n-1）（n-2）…3×2×1.

3、練習(xí)鞏固，學(xué)以致用

例1：（1）寫出從4個(gè)不同的元素中任取2個(gè)元素的所有排列；

（2）寫出從5個(gè)不同的元素中任取3個(gè)元素的所有排列.

設(shè)計(jì)意圖雖然此題比較簡單，但是卻能讓學(xué)生理解排列的本質(zhì)是什么（即排列也是一種計(jì)數(shù)方式）；并且讓學(xué)生明白只有滿足什么條件時(shí)才是一種排列.

例2：（1）從5本不同的書中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？（2）從5本不同的書中買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生分析這兩個(gè)問題的區(qū)別，并且說出哪個(gè)是排列問題？哪個(gè)不是？為什么？可以提高學(xué)生的辨別能力，促進(jìn)學(xué)生的理解.

例3：用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？盡可能嘗試用不同的解法.

設(shè)計(jì)意圖使學(xué)生從不同的思路去思考解答此題，訓(xùn)練學(xué)生分析問題的能力.

例4：證明：Amn=n?。╪-m）！.

設(shè)計(jì)意圖此公式在以后的學(xué)習(xí)中有著廣泛的用途，是概率統(tǒng)計(jì)問題的工具，因此作為例題的形式，使學(xué)生不但記住，而且會(huì)推導(dǎo).

（五）鞏固練習(xí)，加強(qiáng)記憶

在此環(huán)節(jié)，教師可根據(jù)學(xué)生課堂的反映情況，對不同的學(xué)生進(jìn)行針對性的訓(xùn)練（這里不再進(jìn)行習(xí)題的設(shè)置），以鞏固新知.

（六）回顧總結(jié)，歸納提升

在這節(jié)課的結(jié)束前，教師應(yīng)領(lǐng)著學(xué)生進(jìn)行回顧總結(jié)這一節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，可以先讓學(xué)生敘述這一節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，然后教師再進(jìn)行總結(jié)、歸納和提升，將新學(xué)習(xí)的知識(shí)納入原有的知識(shí)體系之中.即便教學(xué)設(shè)計(jì)再完美，一堂課也不可能完全照教案下來，此時(shí)教師一定要在此基礎(chǔ)上，查缺補(bǔ)漏，幫助學(xué)生明白自己的學(xué)習(xí)目標(biāo)，應(yīng)該了解什么，理解什么，掌握什么，還會(huì)應(yīng)用什么，以幫助學(xué)生在建構(gòu)關(guān)于“排列”的合理有序的知識(shí)結(jié)構(gòu)的前提下，通過積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，最終形成學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

參考文獻(xiàn)

[1]曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2006：146

[2]趙維和，雷鳳蘭，任曙光等.一種新的知識(shí)掌握階段理論[J].湖南中學(xué)物理·教育前沿，2009（5）：46-47

[3]曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2006：148