結(jié)合“洛必達(dá)法則”巧解2016年全國新課標(biāo)1卷壓軸題

李曉波

1前言

在全國高考試題中，與函數(shù)導(dǎo)數(shù)相關(guān)的難題，因?yàn)榫C合性強(qiáng)常常作為壓軸題出現(xiàn)，求解此類問題時(shí)，一般需要確定函數(shù)的值域和參數(shù)的范圍.今年也不例外，其中全國新課標(biāo)1卷理科壓軸題和文科壓軸題均需要確定參數(shù)的范圍.此題的傳統(tǒng)做法是構(gòu)建函數(shù)然后運(yùn)用分類討論，求導(dǎo)，分析單調(diào)性，過程復(fù)雜繁瑣，而且分類的情況比較多，學(xué)生討論的過程比較復(fù)雜，容易丟解或者漏解.筆者采用參變分離后結(jié)合“洛必達(dá)法則”解題，簡化解題過程，幫助學(xué)生快速解題.

2“洛必達(dá)法則”簡介

法則1若函數(shù)f（x）和g（x）滿足下列條件：（1）limx→af（x）=0及l(fā)imx→ag（x）=0；（2）在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f（x）與g（x）可導(dǎo)且g′（x）≠0；（3）limx→af′（x）g′（x）=l，那么limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=l.

法則2若函數(shù)f（x）和g（x）滿足下列條件：（1）limx→∞f（x）=0及l(fā)imx→∞g（x）=0；

（2）A>0，f（x）和g（x）在（-∞，A）與（A，+∞）上可導(dǎo)，且g′（x）≠0；

（3）limx→∞f′（x）g′（x）=l，那么limx→∞f（x）g（x）=limx→∞f′（x）g′（x）=l.

法則3若函數(shù)f（x）和g（x）滿足下列條件：（1）limx→af（x）=∞及l(fā)imx→ag（x）=∞；

（2）在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f（x）與g（x）可導(dǎo)且g′（x）≠0；（3）limx→af′（x）g′（x）=l，

那么limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=l.

3試題與解法分析

（2016年全國1卷理21題）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個(gè)零點(diǎn).（1）求a的取值范圍；

我們只研究第一問.

解法一由已知得：f′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a）.

①若a=0，那么f（x）=0（x-2）ex=0x=2，f（x）只有唯一的零點(diǎn)x=2，不合題意；

②若a>0，那么ex+2a>ex>0，所以當(dāng)x>1時(shí)，f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x<1時(shí)，f′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減.故f（x）在（1，+∞）上至多一個(gè)零點(diǎn)，在（-∞，1）上至多一個(gè)零點(diǎn).由于f（2）=a>0，f（1）=-e<0，則f（2）·f（1）<0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，f（x）在（1，2）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).而當(dāng)x<1時(shí)，exe（x-2）+a（x-1）2=a（x-1）2+e（x-1）-e.

則f（x）=0的兩根x1=-e-e2+4ae2a+1，x2=-e+e2+4ae2a+1，x10，故當(dāng)xx2時(shí)，a（x-1）2+e（x-1）-e>0，因此，當(dāng)x<1且x0.

又f（1）=-e<0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，f（x）在（-∞，1）上有且只有一個(gè)零點(diǎn).此時(shí)，f（x）在R上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，滿足題意.

③若-e20，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)ln（-2a）eln（-2a）+2a=0，即f′（x）=（x-1）（ex+2a）<0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，x-1>0，ex+2a>eln（-2a）+2a=0，即f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增.而極大值f[ln（-2a）]=-2a[ln（-2a）-2]+a[ln（-2a）-1]2=a{[ln（-2a）-2]2+1}<0

故當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）在x=ln（-2a）處取到最大值f[ln（-2a）]，那么f（x）≤f[ln（-2a）]<0恒成立，即f（x）=0無解.而當(dāng)x>1時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)f（x）在R上至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.

④若a=-e2，那么ln（-2a）=1，當(dāng)x<1=ln（-2a）時(shí)，x-1<0，ex+2a0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x>1=ln（-2a）時(shí)，x-1>0，ex+2a>eln（-2a）+2a=0，即f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增，又f（x）在x=1處有意義，故f（x）在R上單調(diào)遞增，此時(shí)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.

⑤若a<-e2，則ln（-2a）>1，當(dāng)x<1時(shí)，x-1<0，ex+2a0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)10，ex+2aln（-2a）時(shí)，ex+2a>eln（-2a）+2a=0，x-1>ln（-2a）-1>0，，即f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增，故當(dāng)x≤ln（-2a）時(shí)，f（x）在x=1處取到最大值f（1）=-e，那么f（x）≤-e<0恒成立，即f（x）=0無解，當(dāng)x>ln（-2a）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn).此時(shí)f（x）在R上至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.

綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)a>0時(shí)符合題意，即a的取值范圍為（0，+∞）.

解法二（利用洛必達(dá)法則）：顯然x=1不是函數(shù)f（x）的零點(diǎn).當(dāng)x≠1時(shí)，方程f（x）=0等價(jià)于-a=x-2（x-1）2ex，設(shè)g（x）=x-2（x-1）2ex，則g′（x）=x2-4x+5（x-1）3ex，顯然x2-4x+5>0，所以g（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.利用洛必達(dá)法則，

limx→-∞g（x）=limx→-∞x-2（x-1）2ex=limx→-∞（x-2）′[（x-1）2e-x]′=limx→-∞1e-x（-x2+4x-3）=0.

而limx→1-g（x）=limx→1-x-2（x-1）2ex=-∞，所以g（x）在（-∞，1）上的取值范圍是（-∞，0），同理g（x）在（1，+∞）上的取值范圍是（-∞，+∞）.g（x）圖象如右圖.

因此，當(dāng)-a<0即a>0時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，所以a的取值范圍為（0，+∞）.

評注解法一分類的情況比較多，討論的過程比較復(fù)雜，容易丟解或者漏解，以致于花費(fèi)大量時(shí)間還容易解錯(cuò).解法二在參數(shù)與變量分離后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值（值域），此時(shí)，利用“洛必達(dá)法則”可輕松處理.

4結(jié)束語

高考是選拔考試，數(shù)學(xué)的區(qū)分度高，有利于高校選拔具有學(xué)習(xí)潛能的人才.從近年來全國各地高考試題來看，以高等數(shù)學(xué)為背景的“高觀點(diǎn)”中學(xué)數(shù)學(xué)問題“頻頻登場”，此類問題也可用初等方法求解，但是要么過程繁瑣，要么技巧性高，學(xué)生大都覺的高不可攀，望題興嘆，但是如果能運(yùn)用“高觀點(diǎn)”居高臨下地分析和處理此類問題，往往簡單易行.

在初等數(shù)學(xué)教學(xué)中，向?qū)W生滲透極限等高等數(shù)學(xué)思想，對以后學(xué)好高等數(shù)學(xué)具有很大的實(shí)際意義.而在極限的理論中，“洛必達(dá)法則”發(fā)揮著重要的作用.

參考文獻(xiàn)

[1]劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義[M].高等教育出版社，2003.

[2]學(xué)而思.2016年高考新課標(biāo)I卷理數(shù)試題解析[DB/OL].http：//gaokao.zxxk.com/AttachDetail.aspx？InfoID=5359357