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      型極限的求解方法

      2017-01-17 20:15:18魏建剛李曉歌
      東方教育 2016年8期
      關(guān)鍵詞:泰勒公式洛必達(dá)法則

      魏建剛++李曉歌

      摘要:極限是高等數(shù)學(xué)中重要的知識(shí),而極限的求解更是高等數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一,本文對(duì)極限問(wèn)題中 型極限問(wèn)題的求解,給出利用有理化、利用重要極限、利用洛必達(dá)法則和利用泰勒公式這幾種方法,方便大家遇到類似極限輕松解題。

      關(guān)鍵詞:重要極限;洛必達(dá)法則;泰勒公式

      在我們剛進(jìn)入高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)的過(guò)程中,初步接觸到一些極限的求解方法,比如借助于定義法和極限的四則運(yùn)算來(lái)求解一些簡(jiǎn)單的極限。我們知道在利用極限的四則運(yùn)算中商的運(yùn)算法則中要求分母的極限不能為零。但是學(xué)習(xí)時(shí)總會(huì)遇到分母的極限為零的情形,如果分母的極限為零,分子的極限是一個(gè)常數(shù),那么可以用無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系求解。時(shí)常還會(huì)遇到分子和分母的極限都是零的情形,我們把這類極限稱之為“ ”型。下面就介紹一下一些 型極限的求解方法,以供參考。

      方法一 利用有理化或約零因子求 型極限。

      例1求

      解析 通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn),當(dāng) 時(shí),分子和分母的極限都是零,是一個(gè) 型極限,這時(shí)候無(wú)法用極限的四則運(yùn)算法則來(lái)求??梢韵葘⒋髽O限的分子先進(jìn)行因式分解,在用四則運(yùn)算法則求極限

      下面看一個(gè)利用有理化求解極限的例子

      例2求

      解析 上式極限也是一個(gè) 型的極限,顯然無(wú)法用因式分解約零因子的方法去求解,可以利用分母有理化的方法去求解

      方法二 利用重要極限求 型極限

      我們這個(gè)極限 稱之為重要極限,根據(jù)對(duì)這個(gè)極限內(nèi)容深刻理解,可以推廣到 ,下面看如何利用這個(gè)重要極限來(lái)求解 型極限。

      例3 求

      解析 這待求極限看似與重要極限形式不同,實(shí)際上先將這個(gè)極限的形式變形一下就可以借助重要極限來(lái)解答了。

      令 ,則 ,且當(dāng) 時(shí) ,所以有

      類似地還有這樣的極限 , 也可以利用重要極限來(lái)求解。

      方法三 利用洛必達(dá)法則來(lái)求解 型極限

      定理1:若函數(shù) 和 滿足

      上述定理就給出了洛必達(dá)法則的使用條件和使用方法。

      例4 求

      解析 容易驗(yàn)證 與 在點(diǎn) 的鄰域內(nèi)滿足上述定理的(1)(2),又因

      從而有洛必達(dá)法則可知

      如果 仍是 型極限,可以再次用洛必達(dá)法則,當(dāng)然這時(shí)候 和 在 的某鄰域內(nèi)必須滿足定理1中的條件。

      方法四 利用泰勒公式求解 型極限

      例5 求

      解析 本題可以用洛必達(dá)法則求解,但是過(guò)程角為繁瑣,若應(yīng)用泰勒公式求解可大為簡(jiǎn)化求解過(guò)程??紤]到極限式的分母為 ,可用麥克勞林公式表示極限的分子(取 )

      所以

      以上就是我們學(xué)習(xí)時(shí)經(jīng)常遇到的一z些 型的極限和相對(duì)應(yīng)的方法,當(dāng)然 型的極限的求解還有其他的方法,我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程不斷嘗試更多的解決 型的極限的方法,這樣才能不斷提高知識(shí)寬度和深度,從而在遇到這類極限的時(shí)候,才能迎刃而解。

      參考文獻(xiàn):

      [1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系。高等數(shù)學(xué)第三版,高等教育出版社 2001年

      [2]趙曄 關(guān)于 型極限求解方法的討論[J],重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào) 2015年

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