一類特殊反對(duì)角方程組的追趕法及其實(shí)現(xiàn)

吳宇航，閻少宏，彭美葉

（華北理工大學(xué)理學(xué)院，河北唐山063009）

一類特殊反對(duì)角方程組的追趕法及其實(shí)現(xiàn)

吳宇航，閻少宏，彭美葉

（華北理工大學(xué)理學(xué)院，河北唐山063009）

反三對(duì)角方程組；非奇異矩陣；YH分解；追趕法

研究了反三對(duì)角方程組的求解問題。首先給出了反三對(duì)角矩陣A的定義，其次證明了滿足嚴(yán)格反對(duì)角占優(yōu)的反三角矩陣為非奇異矩陣，然后通過利用YH矩陣分解的方法，推導(dǎo)得出了反三對(duì)角方程組的追趕法，最后運(yùn)用算例進(jìn)行演示。

0 引言

隨著現(xiàn)代工業(yè)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，線性方程組的應(yīng)用出現(xiàn)在經(jīng)濟(jì)管理、工程計(jì)算等各個(gè)領(lǐng)域，許多應(yīng)用會(huì)導(dǎo)出一些具有特殊結(jié)構(gòu)的稀疏線性方程組的計(jì)算問題［1，2］。伴隨著這些方程組的出現(xiàn)，尋找簡(jiǎn)便而且準(zhǔn)確的求解方法就顯得十分重要而且具有現(xiàn)實(shí)意義。

反三對(duì)角方程組是反對(duì)角方程組中比較常見的一類，在力學(xué)、流體力學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域有很重要的應(yīng)用。事實(shí)上，因?yàn)樵S多實(shí)際問題通常會(huì)采用微分方程模型來(lái)描述，然后用有限元方法、差分方法等來(lái)求其數(shù)值解，這類問題的最終解決又歸結(jié)為解大型線性方程組的問題。在對(duì)角線性方程組的解法中，追趕法因其計(jì)算公式簡(jiǎn)單，運(yùn)算量和存儲(chǔ)量小，在科學(xué)領(lǐng)域中被廣泛運(yùn)用。因此，在借鑒文獻(xiàn)［3－6］的思想后，建立求解反三對(duì)角方程組的追趕法，然后算例進(jìn)行演示。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1若方陣A＝（aij）的元素當(dāng)1≤i≤n－2，1≤j≤n－i－1且3≤i≤n，n－i＋3≤j≤n時(shí)，均有aij＝0，則稱此矩陣為反三對(duì)角矩陣。

定義2若反三對(duì)角矩陣A滿足條件（1），則A為嚴(yán)格反對(duì)角占優(yōu)矩陣。

引理1對(duì)于任意階數(shù)不小于2的反三對(duì)角矩陣A，一般記：

若滿足條件（1），則矩陣A為非奇異矩陣。

證明：利用行列式初等變換把矩陣A轉(zhuǎn)化成三對(duì)角矩陣。即，

當(dāng)n＝4wn＝4w＋1（w為任意大于零的整數(shù)）時(shí)，

當(dāng)n＝4w＋2n＝4w＋3（w為任意大于零的整數(shù)）時(shí)，

通過三對(duì)角矩陣是非奇異矩陣的證明過程可以引證得滿足條件（1）的反三對(duì)角矩陣A為非奇異矩陣［6］（可逆矩陣）。

定理1對(duì)于非奇異的反三對(duì)角矩陣A都可以分解為如公式（2）形式的一個(gè)反三角矩陣與一個(gè)三角矩陣的乘積［7］。

證明：假設(shè)反三對(duì)角矩陣A可實(shí)現(xiàn)矩陣YH分解。利用矩陣乘法，可得

根據(jù)公式（3）可得一系列關(guān)系式如下：

由不等式（5）及條件（1）可知

即

同理可證

由a1＝ln≠0，c2＝p2ln，由公式（8）得0，同理可求得

從而由公式（3）可求出pi。

這就是說，由A的假設(shè)條件（1），完全確定了｛li｝，｛pi｝，｛mi｝，實(shí)現(xiàn)了A的YH分解。

2 反三對(duì)角線性方程組的追趕法

在實(shí)際問題中，會(huì)經(jīng)常遇到如下形式的線性方程組

這種方程組稱為反三對(duì)角方程組，簡(jiǎn)記為Ax＝f。

在引理1的條件下有l(wèi)i≠0，即追趕法可以進(jìn)行計(jì)算，故將求解方程組Ax＝f化為依次求解：

算法1

第1步：解方程組Yy＝f，即“追”過程，算法如下：

第2步：解方程組Hx＝y(tǒng)，即“趕”過程，算法如下：

其中l(wèi)i，pi，mi的計(jì)算見公式（3）。

上述算法1就是求解反三對(duì)角方程組的追趕法。又由不等式（8）的估計(jì)，即追趕法計(jì)算過程的中間變量有界，不會(huì)產(chǎn)生大的變化，可以有效地算出結(jié)果。

3 算例演示

用追趕法求解下列反三對(duì)角方程組：

根據(jù)反三對(duì)角方程組有

利用公式（3）可推導(dǎo)出

把以上結(jié)果代入公式（14），就可以得到關(guān)于xi（i＝1，2，…，7）的解：

4 結(jié)論

針對(duì)反三對(duì)角方程組的特點(diǎn)，沿用解三對(duì)角方程組時(shí)LU分解和追趕法的基本思想，證得滿足嚴(yán)格反對(duì)角占優(yōu)的反三對(duì)角矩陣是可逆的，可以分解成YH形式并推導(dǎo)出了反三對(duì)角方程組的追趕法。計(jì)算結(jié)果表明，此種追趕法求解n階反三對(duì)角方程組只需要O（5n－4）的運(yùn)算量，可在線性時(shí)間內(nèi)完成求解工作。

［1］ 張明望．一類非單調(diào)線性互補(bǔ)問題的高階Dikin型仿射尺度算法［J］．?dāng)?shù)學(xué)雜志．2004，24（05）：585－590．

［2］ 邱茂路．矩陣約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)化的一個(gè)新方法［J］．?dāng)?shù)學(xué)雜志．2001，21（02）：237－240．

［3］ 李文強(qiáng)，馬民．求解循環(huán)三對(duì)角方程組的追趕法［J］．科技導(dǎo)報(bào)．2009，27（14）：69－72．

［4］ 倪有義，蔡靜．反五對(duì)角與擬反五對(duì)角方程組的追趕法［J］．?dāng)?shù)學(xué)雜志．2014，34（01）：137－144．

［5］ 楊愛民，閻少宏，夏國(guó)坤，等．求解三對(duì)角方程組的并行追趕算法［J］．河北理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版．2008，30（01）：107－109．

［6］ 薛正林，吳開騰．求擬反三對(duì)角線性方程組的一種數(shù)值方法［J］．內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào)．2016，31（02）：4－7．

［7］ 關(guān)治，陸金甫．?dāng)?shù)值分析基礎(chǔ)［M］．北京：高等教育出版社，1998：254－256．

［8］ 李慶揚(yáng)，王能超，易大義．?dāng)?shù)值分析（第5版）［M］．北京：清華大學(xué)出版社，2008：159－160．

Pursuant Method of A Kind of Special Anti－diagonal Equations and Its Realization

WU Yu－h(huán)ang，YAN Shao－h(huán)ong，PENG Mei－ye
（College of Science，North China University of Science and Technology，Tangshan Hebei 063009，China）

anti－tridiagonal equation；nonsingular matrix；YHdecomposition；pursuant method

The problem of solving the anti－tridiagonal equation is discussed．The definition of the antitridiagonal matrix Ais firstly given．Secondly，it is proved that meet strictly diagonally dominant antitriangular matrix is nonsingular，and then by taking advantage of the YHdecomposition of matrix method，it is concluded that the pursuant method of anti－tridiagonal equations．Finally，a numerical example is used to demonstrate．

O241．6

A

2095－2716（2016）04－0027－05

2016－05－03

2016－09－22