王　鑫， 徐玉秀， 武寶林， 李濤濤

(1.天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,天津　300387； 2.現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,天津　300387；3.三一重型能源裝備有限公司,北京　102206)

兩級(jí)定軸齒輪斷齒故障的非線性耦合特性研究

王鑫1,2， 徐玉秀1,2， 武寶林1， 李濤濤3

(1.天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,天津300387； 2.現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,天津300387；3.三一重型能源裝備有限公司,北京102206)

為研究兩級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)斷齒故障的非線性耦合特性，建立了包含時(shí)變嚙合剛度、齒側(cè)間隙和綜合嚙合誤差等非線性因素的單級(jí)及兩級(jí)齒輪量綱一動(dòng)力學(xué)方程。利用數(shù)值方法對(duì)建立的非線性微分方程進(jìn)行求解，獲得系統(tǒng)的分岔圖、相圖及Poincaré截面，對(duì)比研究兩系統(tǒng)中一級(jí)齒輪隨激勵(lì)頻率變化的分岔特性及斷齒故障下的故障特性。研究結(jié)果表明：耦合特性使兩級(jí)齒輪系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)區(qū)間增加，幅值亦增加，混沌區(qū)間縮短并延遲，對(duì)混沌起到抑制作用；斷齒故障使單級(jí)齒輪系統(tǒng)突跳點(diǎn)增加，同時(shí)陣發(fā)周期運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)變化，且變化趨勢(shì)不確定，對(duì)于兩級(jí)齒輪系統(tǒng)僅使陣發(fā)周期運(yùn)動(dòng)幅值增加。

齒輪傳動(dòng)；非線性耦合動(dòng)力學(xué)；混沌；分岔；故障

齒側(cè)間隙可使齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為成為非線性狀態(tài)。對(duì)于含兩個(gè)齒側(cè)間隙的兩級(jí)齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)將產(chǎn)生非線性耦合，會(huì)使系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變[1-2]。當(dāng)上述系統(tǒng)有故障時(shí)，就會(huì)引起故障激勵(lì)與齒側(cè)間隙的非線性狀態(tài)的復(fù)雜耦合，使系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)狀態(tài)難以確定，對(duì)此故障也難以識(shí)別。只有準(zhǔn)確建立多間隙的非線性耦合模型、故障與多間隙的非線性耦合模型，分析出各耦合關(guān)系和影響特性，才能找出齒輪系統(tǒng)在故障狀態(tài)下的非線性耦合特性，把握故障對(duì)耦合特性的影響。

對(duì)于齒輪故障特性的研究，馬銳等[5-7]分析了含齒側(cè)間隙的單級(jí)齒輪分別在斷齒故障、裂紋故障及局部剝落故障情況下的非線性動(dòng)力學(xué)特性。王彥剛等[8-9]研究了含齒側(cè)間隙的單級(jí)齒輪分別在單齒沖擊、單齒剛度(斷齒故障)、單齒及全齒磨損故障狀態(tài)下的分岔特性，提出可以通過齒輪振子檢測(cè)齒輪斷齒程度。Wang等[10]發(fā)現(xiàn)，齒面摩擦?xí)购g隙單級(jí)齒輪系統(tǒng)的倍周期分岔、準(zhǔn)周期分岔及混沌運(yùn)動(dòng)發(fā)生延遲。

上述文獻(xiàn)主要研究含間隙單級(jí)齒輪系統(tǒng)的故障特性及間隙、負(fù)載等參數(shù)對(duì)耦合系統(tǒng)的影響，沒有進(jìn)行故障與多間隙的非線性耦合研究。本文從非線性動(dòng)力學(xué)角度，分別建立考慮時(shí)變嚙合剛度、齒側(cè)間隙和綜合嚙合誤差等非線性因素的單級(jí)及兩級(jí)定軸齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的量綱一動(dòng)力學(xué)方程，對(duì)比兩個(gè)系統(tǒng)的分岔特性及耦合特性，分別分析斷齒故障對(duì)兩個(gè)系統(tǒng)的耦合非線性影響，找到非線性系統(tǒng)的故障特性，以便進(jìn)行有效的故障識(shí)別。

1　兩級(jí)定軸齒輪系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型

圖1為兩級(jí)定軸齒輪減速器系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型，所有齒輪均為直齒圓柱齒輪。該模型不考慮各齒輪之間的橫向振動(dòng)位移，并假設(shè)系統(tǒng)各構(gòu)件為剛體，齒輪嚙合參數(shù)用彈簧和阻尼器進(jìn)行模擬，忽略齒面嚙合摩擦力的影響。當(dāng)系統(tǒng)僅有齒輪1，2時(shí)為單級(jí)齒輪動(dòng)力學(xué)模型。

圖1　兩級(jí)定軸齒輪扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Torsional dynamic model of two-stage gear

圖1中θi(i=1，2，3，4)為各齒輪的扭轉(zhuǎn)位移，C1、C2、K1(t)、K2(t)為齒輪嚙合副的等效阻尼和時(shí)變嚙合剛度，e1(t)、e2(t)為齒輪副綜合嚙合誤差，T1、T4為輸入扭矩、負(fù)載扭矩。

2　系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

2.1兩級(jí)齒輪運(yùn)動(dòng)微分方程

在考慮齒側(cè)間隙、時(shí)變嚙合剛度、綜合嚙合誤差的基礎(chǔ)上，根據(jù)拉格朗日方程建立圖1所示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：

(1)

Ji(i=1，2，3，4)為軸上各齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ri(i=1，2，3，4)為各齒輪的基圓半徑；

f(xi)(i=1，2)為齒側(cè)間隙非線性函數(shù)，定義為：

(2)

式中：bi(i=1，2)為齒側(cè)間隙的一半。

在不考慮齒輪傳動(dòng)效率的情況下，系統(tǒng)力矩平衡時(shí)齒輪的靜態(tài)嚙合力為

(3)

則負(fù)載扭矩與輸入扭矩的關(guān)系為

(4)

齒輪副的時(shí)變嚙合剛度Ki(t)可表示為

Ki(t)=Kmi+Kaisin(wmit+φi)

(5)

式中：Kmi為第i級(jí)齒輪副平均嚙合剛度，Kai為第i級(jí)齒輪副嚙合剛度變化幅值，wmi為第i級(jí)齒輪副嚙合頻率，φi為第i級(jí)齒輪副嚙合剛度變化幅值的初始相位。

阻尼系數(shù)表達(dá)式為

(6)

式中：ξ1、ξ2分別為一、二級(jí)齒輪副的阻尼比；mi(i=1，2，3)為第i個(gè)齒輪的質(zhì)量。

齒輪副的綜合嚙合誤差采用嚙合函數(shù)的一次諧波形式，即

ei(t)=eaisin(wmit+φi)

(7)

對(duì)方程(1)化簡，得

(8)

式中：me1、me2、me3為齒輪的等效質(zhì)量，且

對(duì)方程(8)進(jìn)行歸一化處理，得系統(tǒng)量綱一運(yùn)動(dòng)微分方程組：

(9)

式中：Ωi=wmi/wh1，i=1，2為量綱一激勵(lì)頻率；

量綱一時(shí)變嚙合剛度為

Ki(τ)=1+εisin(Ωiτ+φi)

(10)

其中εi=Kai/Kmi，i=1，2。

2.2單級(jí)齒輪運(yùn)動(dòng)微分方程

回屋的路上，大梁說，我把事情原原本本都跟慢成講了，他說二丫看到的那個(gè)東洋人，應(yīng)該可以肯定是狼剩兒。他們查到，從二十一年開始，東洋人就假裝看風(fēng)水、貨郎擔(dān)，到湖北來找礦。除了鐵冶，大冶、陽新、荊門、宜昌，都有。東洋人順帶拐走狼剩兒，養(yǎng)大了又讓他當(dāng)兵，這完全有可能。

單級(jí)齒輪運(yùn)動(dòng)微分方程為第一級(jí)齒輪運(yùn)動(dòng)微分方程，其推導(dǎo)公式與兩級(jí)齒輪相同，量綱一運(yùn)動(dòng)微分方程為

(11)

2.3剛度故障函數(shù)的建立準(zhǔn)則

當(dāng)齒輪存在單齒局部斷齒故障(如圖2所示，單齒齒寬減少40%)時(shí)，在其斷齒處剛度會(huì)減弱，而其他齒處剛度不變。依據(jù)GB/T3480-1997漸開線圓柱齒輪承載能力計(jì)算方法中平均嚙合剛度的計(jì)算公式[11]

Kmi=Crh

(12)

式中Cr是端面內(nèi)輪齒總剛度的平均值，h為齒寬，取Cr=20 N/(mm·μm)，h=15 mm。

圖2　定軸齒輪斷齒故障Fig.2 Spur gear with chipping fault

由式(12)可知，齒寬與平均嚙合剛度成正比。單齒發(fā)生斷齒故障時(shí)，其齒寬變小，導(dǎo)致單齒平均嚙合剛度變小。式(10)中正常狀態(tài)下量綱一平均嚙合剛度為1，故用aδ(τ)表示斷齒故障。δ(τ)為幅值為1的周期脈沖函數(shù)，周期為齒輪旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間，脈沖寬比為1∶N(N為齒輪齒數(shù))；a為斷齒程度，由于受到剛度波動(dòng)影響，取值范圍[0，0.8)， 圖2所示故障取a=0.4。將故障函數(shù)添加到式(10)，即得到量綱一時(shí)變嚙合剛度故障函數(shù)[8,12]

Ki(τ)=1+εisin(Ωiτ+φi)-aδ(τ)

(13)

3　非線性系統(tǒng)耦合特性分析

3.1單級(jí)與兩級(jí)齒輪耦合特性分析

為研究兩級(jí)齒輪系統(tǒng)的耦合特性，將其與單級(jí)齒輪的非線性特性進(jìn)行對(duì)比，考察第二級(jí)齒輪對(duì)第一級(jí)齒輪分岔及混沌特性的影響。分別計(jì)算圖1所示單級(jí)及兩級(jí)齒輪的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。其中兩級(jí)定軸齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1、2，壓力角α=20°，T1=6.5 N·m。表2中的取值在兩對(duì)齒輪的嚙合線上相等，故省略下標(biāo)i。

表1　各齒輪的參數(shù)

表2　計(jì)算參數(shù)

采用變步長Runge-Kutta法對(duì)非線性微分方程組(9)、(11)進(jìn)行數(shù)值求解，對(duì)比正常情況下單級(jí)齒輪及兩級(jí)齒輪系統(tǒng)中第一級(jí)齒輪的位移分岔圖，觀察第二級(jí)齒輪對(duì)第一級(jí)齒輪的影響。

圖3　單級(jí)齒輪位移分岔圖Fig.3 Displacement bifurcation diagram ofthe single gear pair

圖4　兩級(jí)齒輪系統(tǒng)中第一級(jí)齒輪位移分岔圖Fig.4 Displacement bifurcation diagram of the first gear in two-stage gear

上述分析可見，相比于單級(jí)齒輪系統(tǒng)，兩級(jí)齒輪系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)區(qū)間增加且幅值增加；混沌區(qū)間縮短并延遲，陣發(fā)周期運(yùn)動(dòng)受到抑制，失穩(wěn)減少。

對(duì)于兩級(jí)齒輪系統(tǒng)，由于一級(jí)齒輪信號(hào)中含有二級(jí)齒輪的振動(dòng)特性，使得周期運(yùn)動(dòng)幅值增加；當(dāng)一對(duì)齒輪發(fā)生脫齒，另一對(duì)齒輪處于接觸狀態(tài)時(shí)，耦合特性減少了混沌齒輪出現(xiàn)的脫齒碰撞現(xiàn)象，進(jìn)而減少并延遲了混沌運(yùn)動(dòng)，起到抑制混沌的作用。

3.2斷齒故障特性分析

設(shè)第一級(jí)齒輪有斷齒故障，將故障激勵(lì)函數(shù)式(13)分別代入式(9)的一級(jí)齒輪及式(11)中，計(jì)算其分岔圖。經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，單級(jí)齒輪及兩級(jí)齒輪在故障狀態(tài)下的分岔圖(圖5，6)分別與無故障(圖3，4)時(shí)基本一致。

圖5　單級(jí)齒輪故障狀態(tài)下分岔圖Fig.5 Displacement bifurcation diagram of the single gear pair under chipping fault

圖6　兩級(jí)齒輪系統(tǒng)中第一級(jí)齒輪故障狀態(tài)下位移分岔圖Fig.6 Displacement bifurcation diagram of the first gear in two-stage gear under chipping fault

由圖5和圖3比較可見，單級(jí)齒輪在激勵(lì)頻率較低時(shí)Ω1=0.2～0.3時(shí)，由于故障的增加，平穩(wěn)的周期運(yùn)動(dòng)變成波動(dòng)形式，這種波動(dòng)在Ω1=0.38處變成突跳，增加了突跳點(diǎn)，之后進(jìn)入平穩(wěn)周期運(yùn)動(dòng)。其分岔點(diǎn)與混沌區(qū)間不變，陣發(fā)周期運(yùn)動(dòng)區(qū)間的混沌運(yùn)動(dòng)有所減少。

由圖6和圖4比較可見，兩級(jí)齒輪系統(tǒng)在激勵(lì)頻率較低時(shí)沒有出現(xiàn)波動(dòng)，因此沒有增加突跳點(diǎn)，在陣發(fā)周期運(yùn)動(dòng)Ω1=1.7及1.874處幅值增加。對(duì)此，需要對(duì)兩系統(tǒng)出現(xiàn)變化的各激勵(lì)頻率位置進(jìn)行研究。

3.2.1單級(jí)齒輪正常與故障特性對(duì)比

單級(jí)齒輪系統(tǒng)在Ω1=0.38時(shí)隨斷齒程度a變化的位移分岔圖如圖7(a)所示。正常狀態(tài)下其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)a=0.4時(shí)出現(xiàn)跳躍，之后在a=0.6時(shí)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)，最終回歸周期運(yùn)動(dòng)。正常狀態(tài)下(即a=0時(shí))系統(tǒng)相圖及Poincaré截面如圖7(b)，此時(shí)相圖為一錐形圓環(huán)，Poincaré截面為一個(gè)點(diǎn)。隨斷齒程度增加，當(dāng)a=0.7時(shí)，系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)，如圖7(c)，錐形圓環(huán)環(huán)帶變寬且不重合，Poincaré截面分散呈不規(guī)則狀。

圖7　Ω1=0.38時(shí)正常與故障狀態(tài)下單級(jí)齒輪系統(tǒng)相圖Poincaré截面Fig.7 System phase contrail and Poincaré section of the single gear pair in states of normal and stiffness fault at Ω1=0.38

由圖5可知，發(fā)生故障時(shí)陣發(fā)周期運(yùn)動(dòng)區(qū)間的混沌運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)變化，在此取兩個(gè)陣發(fā)周期運(yùn)動(dòng)中的臨近激勵(lì)頻率Ω1=1.466、Ω1=1.47做分岔分析。當(dāng)Ω1=1.466時(shí)，系統(tǒng)隨斷齒程度a的位移分岔圖如圖8(a)所示。正常狀態(tài)下為混沌運(yùn)動(dòng)如圖8(b)，Poincaré截面為無規(guī)則點(diǎn)團(tuán)；隨故障增加，由混沌運(yùn)動(dòng)變?yōu)?周期運(yùn)動(dòng)，如圖8(c)， Poincaré截面為3點(diǎn)團(tuán)；故障繼續(xù)增加，系統(tǒng)又變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)，如圖8(d)，Poincaré截面為不規(guī)則點(diǎn)團(tuán)。與其相鄰的激勵(lì)頻率Ω1=1.47則表現(xiàn)出不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化。隨故障增加由3周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)殛嚢l(fā)周期運(yùn)動(dòng)再變?yōu)?周期運(yùn)動(dòng)，如圖9所示。在如此臨近的兩激勵(lì)頻率下，各自的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化卻出現(xiàn)了不同，這是由于陣發(fā)周期運(yùn)動(dòng)本就變化不定，故障的增加使得每一激勵(lì)頻率的變化趨勢(shì)都變得不確定。

圖8　Ω1=1.466時(shí)正常與故障狀態(tài)下單級(jí)齒輪系統(tǒng)分岔圖、相圖及Poincaré截面Fig.8 System bifurcation diagram, phase contrail and Poincaré section of the single gear pair in states of normal and stiffness fault at Ω1=1.466

圖9　Ω1=1.47時(shí)正常與故障狀態(tài)下單級(jí)齒輪系統(tǒng)分岔圖、相圖及Poincaré截面Fig.9 System bifurcation diagram, phase contrail and Poincaré section of the single gear pair in states of normal and stiffness fault at Ω1=1.47

圖10　Ω1=1.874時(shí)正常與故障狀態(tài)下兩級(jí)齒輪系統(tǒng)中一級(jí)齒輪的分岔圖、相圖及Poincaré截面Fig.10 System bifurcation diagram, phase contrail and Poincaré section of the first gear in two-stage gear in states of normal and stiffness fault at Ω1=1.874

3.2.2兩級(jí)齒輪系統(tǒng)正常與故障特性對(duì)比

由3.2中的圖6可知，兩級(jí)齒輪系統(tǒng)發(fā)生斷齒故障時(shí)，在Ω1=1.7及1.874這兩處的變化規(guī)律相同，在此僅給出兩級(jí)齒輪系統(tǒng)中一級(jí)齒輪在Ω1=1.874時(shí)的位移分岔圖，如圖10(a)。正常狀態(tài)下系統(tǒng)處于擬周期運(yùn)動(dòng)，如圖10(b)，相圖為圓形環(huán)帶，Poincaré截面為封閉環(huán)；當(dāng)故障增加時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)陣發(fā)周期運(yùn)動(dòng)，如a=0.4時(shí)系統(tǒng)為混沌運(yùn)動(dòng)，如圖10(c)，此時(shí)相圖為不規(guī)則曲線，Poincaré截面呈不規(guī)則點(diǎn)團(tuán)。與單級(jí)齒輪相比，兩級(jí)齒輪系統(tǒng)受故障影響較小，這是由于耦合特性抑制混沌的同時(shí)也抑制了故障特性。

4　結(jié)　論

(1) 對(duì)于兩級(jí)齒輪系統(tǒng)，由于一級(jí)齒輪信號(hào)中含有二級(jí)齒輪的振動(dòng)特征，使其周期運(yùn)動(dòng)幅值增加。

(2) 耦合特性使兩級(jí)齒輪系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)區(qū)間增加，混沌區(qū)間縮短并延遲，陣發(fā)周期運(yùn)動(dòng)被抑制，失穩(wěn)減少。

(3) 斷齒故障使單級(jí)齒輪系統(tǒng)激勵(lì)頻率較低時(shí)變得不穩(wěn)定，增加了突跳點(diǎn)，陣發(fā)周期運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)變化，且變化趨勢(shì)不確定。而對(duì)于兩級(jí)齒輪系統(tǒng)由于耦合特性的抑制作用，斷齒故障僅使陣發(fā)周期運(yùn)動(dòng)幅值增加。

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Coupled nonlinear characteristic of a two-stage gear system with chipping fault

WANG Xin1,2, XU Yu-xiu1,2, WU Bao-lin1, LI Tao-tao3

(1. School of Mechanical Engineering, Tianjin Polytechnic University, Tianjin 300387, China;2. Key Laboratory of Advanced Mechatronics Equipment Technology, Tianjin 300387, China;3. Sany Heavy Energy Machinery Co., Ltd, Beijing 102206, China)

In order to investigate the coupled nonlinear characteristic of a two-stage gear system with chipping fault, nonlinear dynamic dimensionless equations of a single gear pair and a two-stage gear system with time varying meshing stiffness, errors of transmission and backlashes were established and solved with the numerical method. The bifurcation and chipping fault properties of the 1st gear pair in both systems were analyzed by using bifurcation diagram, phase contrail and Poincaré section with increase in excitation frequency. The results showed that the two-stage gear system periodic motion interval and its amplitude increase and its chaotic interval shortens and delays due to coupling characteristics, they have a suppressing effect on chaos; the tooth chipping failure makes increase in critical points and changes intermittent periodic movements into uncertain ones for the single stage gear system, and makes increase in intermittent periodic motion amplitude for the two-stage gear system.

gear transmission; nonlinearly coupled dynamics; chaos; bifurcation; fault

10.13465/j.cnki.jvs.2016.13.020

國家重大科技成果轉(zhuǎn)化項(xiàng)目(2060403)；天津市自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10JCZDJC23400;13JCQNJC07000)

2015-04-09修改稿收到日期：2015-07-17

王鑫 女，博士生，1985年5月生

武寶林 男，教授，博士生導(dǎo)師，1962年10月生

TH132.41

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