陳超波,胡　莉 ,馬　穎，高　嵩,楊雪輝

(1.西安工業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院,西安 710021；2.山東航天電子技術(shù)研究所,煙臺 264670)

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一種改進(jìn)式遺傳算法優(yōu)化分?jǐn)?shù)階PID控制器*

陳超波1,胡莉1,馬穎1，高嵩1,楊雪輝2

(1.西安工業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院,西安 710021；2.山東航天電子技術(shù)研究所,煙臺 264670)

摘要：為提高伺服控制系統(tǒng)的精度及響應(yīng)速度.基于改進(jìn)Oustaloup近似,采用改進(jìn)式遺傳算法對控制參數(shù)進(jìn)行整定,提出了一種基于改進(jìn)式遺傳算法優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階PID控制器.在控制器的參數(shù)編碼、適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計(jì)和進(jìn)化機(jī)制選擇上,引入競爭因子和優(yōu)劣空間,選用自適應(yīng)調(diào)節(jié)交叉概率和變異概率的方式,加快了優(yōu)良子群的遺傳進(jìn)化,消除了傳統(tǒng)遺傳算法早熟和收斂性差等缺陷.將優(yōu)化的整定結(jié)果應(yīng)用到伺服系統(tǒng)模型中.通過時域性能仿真分析,結(jié)果表明：提出的改進(jìn)式遺傳算法分?jǐn)?shù)階控制器與傳統(tǒng)PID控制器相比,具有更低的超調(diào)、更快的響應(yīng)速度和更小的穩(wěn)態(tài)誤差,控制系統(tǒng)的動、靜態(tài)性能顯著優(yōu)化,系統(tǒng)魯棒性增強(qiáng).

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階PID；改進(jìn)式遺傳算法；伺服系統(tǒng)；變異概率

自從1999年I.Podlubny對分?jǐn)?shù)階比例-積分-微分(Proportion-Integral-Derivative,PID)控制器[1]系統(tǒng)性能進(jìn)行深入分析,其理論已日趨成熟.控制系統(tǒng)的性能分析一般是考慮系統(tǒng)的瞬態(tài)及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)性能,結(jié)合其實(shí)際系統(tǒng)的控制效果,分析控制器的魯棒性和穩(wěn)定性等因素,隨著在傳統(tǒng)PID控制器的研究的深入,結(jié)合分?jǐn)?shù)階微積分理論,發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階PID控制器比整數(shù)階控制器具有更優(yōu)的動態(tài)性能和強(qiáng)魯棒性,其已廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、材料學(xué)和建筑學(xué)等各個工程領(lǐng)域[2-4].分?jǐn)?shù)階控制器的設(shè)計(jì)及參數(shù)整定優(yōu)化比傳統(tǒng)PID控制器增加了整定難度及不確定性,但隨著各種智能優(yōu)化算法的深入研究,對分?jǐn)?shù)階PID控制器的設(shè)計(jì)也取得了一定的成果.文獻(xiàn)[5]提出了一種對分?jǐn)?shù)階控制器參數(shù)進(jìn)行智能調(diào)整的自適應(yīng)的改進(jìn)差分進(jìn)化算法,結(jié)合實(shí)際被控對象構(gòu)成的該閉環(huán)系統(tǒng)具有超調(diào)量小,上升時間快,穩(wěn)定性好的優(yōu)點(diǎn).文獻(xiàn)[6]用分?jǐn)?shù)有限差分方法,建立分?jǐn)?shù)階延遲微分方程模型,對影響旅鼠群年生命周期的延遲系統(tǒng)進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)[7]基于ARMAX模型的預(yù)測函數(shù)控制與分?jǐn)?shù)階比例積分相結(jié)合的控制算法,解決了預(yù)測控制模型失配和傳統(tǒng)比例積分控制抗干擾性能差的問題.文獻(xiàn)[8]提出了一種改進(jìn)的基因遺傳進(jìn)化算法,這種算法是源于電磁理論的基于人群的啟發(fā)式算法,使得優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階PID控制器作用于系統(tǒng)提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度.文獻(xiàn)[9]針對標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法(Simple Genetic Algorithm,SGA)易早熟、運(yùn)行后期搜索速度慢等問題,提出了一種基于小種群策略的并行遺傳算法來改善系統(tǒng)后期執(zhí)行效率不高的性能.有效的解決了算法收斂速度與局部最優(yōu)解之間的相互矛盾,針對非線性分?jǐn)?shù)階時滯微分方程的邊值問題，求解出了不同種類的分?jǐn)?shù)階邊界問題的近似解.

分?jǐn)?shù)階控制器在工程應(yīng)用中起到越來越重要的作用,為了更好的對控制器進(jìn)行參數(shù)求解,本文提出一種改進(jìn)式遺傳算法,該算法在分?jǐn)?shù)階控制器的參數(shù)編碼、適應(yīng)度函數(shù)的標(biāo)定及進(jìn)化機(jī)制上進(jìn)行了分析,引入競爭因子和優(yōu)劣空間,選用改善的自適應(yīng)調(diào)節(jié)交叉變異概率的方式,將優(yōu)良子群快速的遺傳進(jìn)化,淘汰更新適應(yīng)力差的個體,克服了傳統(tǒng)遺傳算法的收斂性及穩(wěn)定性的不足.通過實(shí)際伺服系統(tǒng)的仿真,驗(yàn)證了改進(jìn)式遺傳算法的有效性,以期提高被控系統(tǒng)的快速性和收斂性,同時使得系統(tǒng)具有更好的抗擾能力.

1分?jǐn)?shù)階微積分PID控制器

1.1分?jǐn)?shù)階微積分

分?jǐn)?shù)階微積分[10]是很好的建模工具,尤其是控制工程領(lǐng)域,分?jǐn)?shù)階微積分可以更加準(zhǔn)確的描述應(yīng)用對象[11-12].分?jǐn)?shù)階將整數(shù)階微積分的階次拓展到非整數(shù),實(shí)質(zhì)是任意階微積分.函數(shù)f(t)的m階微分為

(1)

(2)

微積分算子為

(3)

式中：α為微積分的階次,既可為整數(shù)也可以為分?jǐn)?shù)；R(α)是α的實(shí)數(shù)部分.

分?jǐn)?shù)階微積分算子包含G-L定義和R-L定義,分?jǐn)?shù)階微積分G-L定義為

(4)

分?jǐn)?shù)階微積分R-L定義為

(5)

式中：m-1<α

1.2分?jǐn)?shù)階PID控制器

微積分算子通常用G-L定義可較精確的計(jì)算出給定信號的微積分,但這需要預(yù)先計(jì)算輸入信號的采樣值,不適用于控制系統(tǒng)仿真,故用濾波器算法逼近.本文采用改進(jìn)Oustaloup濾波器近似法.

分?jǐn)?shù)階PID控制器比傳統(tǒng)的整數(shù)階PID控制器多了兩個可變參數(shù),這使得參數(shù)的整定更為復(fù)雜,其參數(shù)分別為比例系數(shù)KP、積分系數(shù)KI、微分系數(shù)KD、積分階次λ和微分階次μ,且當(dāng)λ=μ=1時,分?jǐn)?shù)階PID控制器中的階次從實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)換為整數(shù),即可等效于整數(shù)階PID控制器.分?jǐn)?shù)階PID控制器的輸出可描述為

uc(t)=KPe(t)+KID-λe(t)+KDDμe(t)

(6)

式中：uc(t)為分?jǐn)?shù)階控制器的輸出；e(t)為系統(tǒng)的誤差及控制器的輸入信號；D為微分算子.

由拉普拉斯變換,可得其傳遞函數(shù)為

(7)

其中Uc(s)和E(s)分別為分?jǐn)?shù)階控制器的輸入和輸出的拉氏變換.

2遺傳算法的改進(jìn)

遺傳算法以生物界自然選擇和自然遺傳理論為基礎(chǔ),模擬自然界生物進(jìn)化過程與機(jī)制來求解問題的一類自組織與自適應(yīng)的人工智能技術(shù)[13-14].遺傳算法具有隨機(jī)選擇的初始群體變量,一個適應(yīng)度函數(shù)來評估每個個體在每一代的適應(yīng)能力,這些個體進(jìn)行復(fù)制、交叉和變異后產(chǎn)生新的下一代個體.遺傳算法的可調(diào)參數(shù)較多,不同的參數(shù)配置對遺傳算法的優(yōu)化效果有顯著影響,這對系統(tǒng)的控制參數(shù)的調(diào)整過程具有明顯的不確定性,同時又可能不易找到最優(yōu)參數(shù)而浪耗費(fèi)機(jī)時.基于SGA的優(yōu)化算法作為概率化的隨機(jī)搜索方法,具有內(nèi)在的隱并行性和全局尋優(yōu)能力.但是,遺傳算存在早熟和晚期收斂速度慢的現(xiàn)象,其原因主要是搜索過程中會喪失的種群多樣性.因此,本文引入競爭因子和優(yōu)劣空間等使良好種群個體較快地遺傳進(jìn)化,從而抑制早熟并增加種群的多樣性.

2.1染色體構(gòu)造編碼和初始種群的生成

改進(jìn)式遺傳算法(ImprovedGeneticAlgorithm,IGA)對PID參數(shù)進(jìn)行編碼,構(gòu)造出兩個染色體,比例積分環(huán)節(jié)系數(shù)作為粗調(diào)參數(shù)分配給一個染色體,將微分環(huán)節(jié)的參數(shù)分配給另一染色體,均采用二進(jìn)制字符集進(jìn)行編碼.用佳點(diǎn)集的方法隨機(jī)生成一定數(shù)目的個體,對N個染色體編碼的隨機(jī)初始串?dāng)?shù)據(jù)作為初始點(diǎn)進(jìn)行迭代,直到初始群體中的個體數(shù)目達(dá)到一定的規(guī)模,停止迭代.

2.2適應(yīng)度函數(shù)值評估及標(biāo)定

為了滿足系統(tǒng)的動態(tài)特性,本文參考常見的誤差絕對時間積分的性能指標(biāo)和系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間確定系統(tǒng)的評價函數(shù),為了防止控制量過大,引入輸入的平方項(xiàng).評價函數(shù)為

(8)

式中：w1、w2和w3為評價各個部分的權(quán)重值；e(t)為系統(tǒng)誤差；u(t)為控制輸入；ts為系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間.將目標(biāo)函數(shù)做適當(dāng)處理,可得適應(yīng)度函數(shù)為

Fitness=1/J

(9)

為防止陷入局部最優(yōu),需要給予一定的限制,因此對適應(yīng)度函數(shù)進(jìn)行如下變換,即

Fitness′=e-βFitness

(10)

其中β為變換函數(shù)中的系數(shù).β值越小,會強(qiáng)制選擇那些趨向于適應(yīng)度值大的種群個體.在優(yōu)化后期,群體中個體適應(yīng)度值通常非常接近,會導(dǎo)致不易收斂的情況發(fā)生,此時就需要放大個體適應(yīng)度值,以提高選擇能力.

2.3種群的選擇及更新

SGA通常在解空間內(nèi)使用一定隨機(jī)方法產(chǎn)生一系列解集,并不能有效保證均勻分布,很可能始終群出現(xiàn)“早熟”情況.

i= 1,2,…,n；h= 0,1,2

(11)

式中：X為編碼串序列；np為第n個染色體的p位的子編碼串.當(dāng)h為0時,將個體分到優(yōu)空間集合；當(dāng)h為1時,將個體分到劣空間集合；當(dāng)h為2時,將個體分為空間需要補(bǔ)充的集合,一般視情況而定.劃分優(yōu)劣空間的標(biāo)準(zhǔn)為

(12)

在選擇優(yōu)質(zhì)個體構(gòu)成新的M個群體優(yōu)劣空間中,繼續(xù)將位數(shù)劃分為高、中和低3個等級,以位數(shù)個數(shù)的均分比例末位淘汰制排擠,中等的前1/3位的位數(shù)可補(bǔ)充淘汰的部分,高等的作為父代進(jìn)行交叉變異計(jì)算.

2.4自適應(yīng)調(diào)整交叉變異率

遺傳算法中使用交叉變異來產(chǎn)生新個體,通常用到的是固定交叉概率的點(diǎn)類的交叉算子和固定變異概率的基因位的變異算子,于是Srinvivas等提出了經(jīng)典的自適應(yīng)調(diào)整交叉概率和變異概率的方法,但是在進(jìn)化初期會出現(xiàn)停滯現(xiàn)象,本文對經(jīng)典自調(diào)整交叉概率Pc和變異概率Pv進(jìn)行改進(jìn),即

(13)

(14)

式中：Fmax為最大種群的適應(yīng)度值；Favg為每次迭代代種群的平均適應(yīng)度值；F為要交叉的兩個個體中的較大的適應(yīng)度值(即選擇算子中優(yōu)劣空間中高等級適應(yīng)度個體)；F’為變異個體的適應(yīng)度值；Pc0為種群初始交叉概率；Pc1為提高后的種群交叉概率；Pv0為種群初始變異概率；Pv1為提高后的種群變異概率；k1和k2為變概率常數(shù).

2.5優(yōu)化分?jǐn)?shù)階PID算法

優(yōu)化分?jǐn)?shù)階PID算法步驟：① 對分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)按照經(jīng)驗(yàn)范圍分為分?jǐn)?shù)階積分和分?jǐn)?shù)階微分兩部分,確定出各個參數(shù)上下限和精度，計(jì)算出二進(jìn)制串位數(shù)進(jìn)行參數(shù)編碼.采用佳點(diǎn)集方法對參數(shù)群體進(jìn)行初始化,包括初始子群的規(guī)模、搜索編碼范圍及最大迭代次數(shù)等.② 由設(shè)計(jì)的適應(yīng)度函數(shù),計(jì)算初始化的粒子適應(yīng)度值、平均粒子的適應(yīng)度值及當(dāng)前適應(yīng)度誤差.③ 對初始化群體利用式(8)～(9)計(jì)算對應(yīng)個體的適應(yīng)度值并結(jié)合式(10)對適應(yīng)度函數(shù)進(jìn)行標(biāo)定變換.④ 種群的遺傳進(jìn)化.利用

式(11)～(12)進(jìn)行群體父代的選擇,以保證選擇出較好的適應(yīng)度值個體,然后利用式(13)～(14)進(jìn)行自適應(yīng)交叉變異過程.⑤ 利用誤差精度和迭代總次數(shù)判斷是否滿足結(jié)束條件,若滿足則進(jìn)行步驟⑥,否則返回步驟②.⑥ 將優(yōu)化后的子群參數(shù)值[KP,KI,λ]和[KD,μ]進(jìn)行解碼并輸出相應(yīng)的適應(yīng)度值.

3仿真及分析

3.1被控對象數(shù)學(xué)模型

本文將電流環(huán)和速度環(huán)看作由伺服電機(jī)及其驅(qū)動器構(gòu)成的內(nèi)部閉環(huán)結(jié)構(gòu),設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階PID控制器完成伺服系統(tǒng)最外環(huán)-位置環(huán)的控制.

伺服系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示,其中虛線框內(nèi)表示伺服系統(tǒng)雙閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)作為位置環(huán)的被控對象.WAPR(s)、WAVR(s)、WACR(s)分別為位置調(diào)節(jié)器、速度調(diào)節(jié)器和電流調(diào)節(jié)器,ω，β和γ分別為位置、速度和電流反饋系數(shù),θ*為給定位置信號,θ為位置輸出信號.Un為速度輸入,Ui為電流輸入,Ud為電機(jī)輸入電壓,Id為電機(jī)電流輸出,Idl為勵磁電流,E為電樞回路電動勢,n為電機(jī)轉(zhuǎn)速,Ks為PWM變換器放大系數(shù),Ts為變換器滯后時間常數(shù),Ti為電樞回路電磁常數(shù),Tm為電力拖動系統(tǒng)機(jī)械時間常數(shù),Ce為電機(jī)反電動勢系數(shù)，R為電樞電阻.

由圖1伺服系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),設(shè)計(jì)該系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階PID控制器參數(shù)整定框圖如圖2所示.FN為適應(yīng)度函數(shù)評估；Gc(s)為位置環(huán)伺服控制器；Gp(s)為該伺服系統(tǒng)位置環(huán)的被控對象；Gh(s)為反饋通道傳遞函數(shù).

R(s)為系統(tǒng)的位置輸入,E(s)為系統(tǒng)誤差信號,U(s)為被控對象的輸入信號,即分?jǐn)?shù)階控制器的輸出,C(s)為系統(tǒng)的輸出信號的傳遞函數(shù).

圖1　伺服系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖Fig.1　Servo system block diagram

圖2　分?jǐn)?shù)階控制器參數(shù)整定框圖Fig.2　Parameter setting of fractional order controller

辨識結(jié)果利用連分式簡化及降階處理近似伺服系統(tǒng)模型[15],最后得到控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

G(s)=

(15)

式中：K1為等效伺服系統(tǒng)比例系數(shù),其值為0.987；Kp、Ki、Kd、λ和μ為分?jǐn)?shù)階控制器的待求參數(shù).

3.2模型仿真及分析

利用被控對象模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證,分別選取整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階控制對象進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),其中,分?jǐn)?shù)階參數(shù)仿真實(shí)驗(yàn)選取參數(shù)為初始種群規(guī)模n=40,最大迭代步長iter_max=300次,交叉概率Pc0=0.85,變異概率Pv0=0.09,Kp∈[0,100],Ki∈[0,50],Kd∈[0,50],λ和μ∈[0,2]為搜索空間的上限和下限,計(jì)算得出的迭代后的算法曲線如圖3所示.

圖3　適應(yīng)度變化曲線Fig.3　Fitness change curve

由圖3可知,參數(shù)整定結(jié)果在迭代24次后可以取得滿足精度的適應(yīng)度函數(shù)的最小值.此時,得到的分?jǐn)?shù)階控制器為

(16)

傳統(tǒng)PID方式整定出的整數(shù)階控制器為

(17)

將用改進(jìn)式遺傳算法整定的分?jǐn)?shù)階控制器的參數(shù)、傳統(tǒng)PID控制器及未施加控制器分別進(jìn)行仿真,得到系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖4所示.其中t為仿真時間,y為系統(tǒng)仿真輸出.

圖4　不同控制器單位階躍響應(yīng)Fig.4　Unit step response of different controller

由圖4可知,與傳統(tǒng)PID控制器相比,分?jǐn)?shù)階控制器在保證控制精度的同時也改善了系統(tǒng)動態(tài)品質(zhì),減小了系統(tǒng)的超調(diào)并縮短了系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間,圖4中各性能指標(biāo)見表1,其中系統(tǒng)指標(biāo)參數(shù)Tr、Tp、Mp分別為系統(tǒng)的上升時間、峰值時間和超調(diào)量,ts為系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間.

表1　不同控制器下的系統(tǒng)時域性能指標(biāo)Tab.1　Performance indicators in timedomain with different control systems

由表1可知,分?jǐn)?shù)階控制器在上升時間和峰值時間上改善不大,但在抑制系統(tǒng)振蕩和進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時間上面有良好的控制效果.

當(dāng)t=0.3s時,給系統(tǒng)加一個幅值為0.2rad的擾動,此時系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖5所示.

由圖5可知,分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)在受到干擾后仍可以較快的恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài),與整數(shù)階控制器相比,系統(tǒng)具有良好的抗干擾能力.優(yōu)化后的分?jǐn)?shù)階控制器在系統(tǒng)受到一定的干擾后，仍可以使得系統(tǒng)具有良好的魯棒性和動態(tài)響應(yīng)，系統(tǒng)動態(tài)性能也較優(yōu)化前明顯改善.

圖5　受擾動的單位階躍響應(yīng)Fig.5　Step response of the disturbance

4結(jié) 論

1) 針對簡單遺傳算法存在的早熟和收斂速度的問題,通過對自適應(yīng)遺傳算法進(jìn)化初期的停滯現(xiàn)象進(jìn)行分析,本文提出了一種改進(jìn)式遺傳算法來優(yōu)化分?jǐn)?shù)階PID控制器.

2) 通過對實(shí)際伺服系統(tǒng)辨識模型進(jìn)行數(shù)值模擬,結(jié)果表明該分?jǐn)?shù)階PID控制器優(yōu)化時的收斂速度加快,保證了PID控制的實(shí)時性.

3)IGA優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階PID控制與傳統(tǒng)PID控制相比,在系統(tǒng)的時域響應(yīng)和抗干擾方面,優(yōu)化后的分?jǐn)?shù)階PID控制系統(tǒng)具有較低的超調(diào)、較快的響應(yīng)速度和良好的抗干擾性能.

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(責(zé)任編輯、校對張超)

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DOI:10.16185/j.jxatu.edu.cn.2016.06.014

*收稿日期：2015-09-15

基金資助：兵器預(yù)研支撐基金(62201070317)；陜西省國際科技合作重點(diǎn)項(xiàng)目(2015KW-024)

作者簡介：陳超波(1978-)，男，西安工業(yè)大學(xué)副教授，主要研究方向?yàn)橹悄芸刂啤⒛Ｊ阶R別.E-mail：choby@xatu.edu.cn.

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:中圖號：TP273A

文章編號：1673-9965(2016)06-0510-07

Improved Genetic Algorithm for Optimal Fractional-Order PID Controller

CHENChaobo1,HULi1,MAYing1,GAOSong1,YANGXuehui2

(1.School of Electronic Information Engineering,Xi’an Technological University,Xi’an 710021,China;2.Shandong Institute of Aerospace Electronics Technology,Yantai 264670,China)

Abstract:In order to enhance the accuracy and response speed of servo control system,based on improved Oustaloup approximation,an improved genetic algorithm in optimal fractional order PID controller is proposed.The competition factor and the pros and cons of space are induced,and the adaptive crossover rate and mutation rate are selected,to accelerate the evolution rate of excellent subgroup and eliminated the premature and poor convergence of traditional genetic algorithm.Optimized results are applied in servo system model.The simulation and analysis in time-domain show that the proposed improved genetic algorithm of fractional order controllers is better than the conventional PID controller in faster response speed,lower overshoot and smaller steady-state error,as well as excellent dynamic and static properties and strong robustness.

Key words:fractional order PID controller; improved genetic algorithm; servo system; mutation rate