李　佳，段　平，盛業(yè)華，呂海洋，張思陽

(1.云南師范大學　旅游與地理科學學院，云南 昆明 650050；2.南京師范大學　虛擬地理環(huán)境教育部重點實驗室，江蘇 南京 210023；3.江蘇省地理環(huán)境演化國家重點實驗室培育建設點，江蘇 南京 210023；4.江蘇省地理信息資源開發(fā)與利用協(xié)同創(chuàng)新中心，江蘇 南京 210023)

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一種緊支撐權函數(shù)性質的推導及空間插值實驗

李佳1,2,3,4，段平1,2,3,4，盛業(yè)華2,3,4，呂海洋2,3,4，張思陽2,3,4

(1.云南師范大學旅游與地理科學學院，云南 昆明 650050；2.南京師范大學虛擬地理環(huán)境教育部重點實驗室，江蘇 南京 210023；3.江蘇省地理環(huán)境演化國家重點實驗室培育建設點，江蘇 南京 210023；4.江蘇省地理信息資源開發(fā)與利用協(xié)同創(chuàng)新中心，江蘇 南京 210023)

在空間插值方法中，權函數(shù)是影響空間插值精度的重要因素之一，通常需要選擇具有性質較好的權函數(shù)進行空間插值。推導一種緊支撐權函數(shù)的性質，以鐵礦品位為數(shù)據(jù)源，采用緊支撐權函數(shù)進行空間插值，最終驗證該緊支撐權函數(shù)的優(yōu)良性質：具有較高的插值精度。推導的緊支撐權函數(shù)性質可為后期構建新的緊支撐權函數(shù)作為一種借鑒。

緊支撐權函數(shù)；空間插值；反距離權重；鐵礦品位

地理空間現(xiàn)象是連續(xù)變化的，通常為了表達連續(xù)的地理空間現(xiàn)象，需要建立連續(xù)的空間場。受觀測成本、觀測不可重復性等原因，只能在研究區(qū)域中采集到有限的散亂樣本數(shù)據(jù)，空間插值方法就是利用這些有限的散亂樣本數(shù)據(jù)建立一個連續(xù)函數(shù)模型，并計算地理空間任意位置上的特征屬性，最終重建整個空間場的空間分析方法[1-2]?？臻g插值方法主要確定參考點的選擇和權函數(shù)。當參考點確定后，權函數(shù)決定插值的精度。

國內外學者對空間插值方法中權函數(shù)進行大量的研究，如在經(jīng)典的Shepard插值方法中權函數(shù)是以冪函數(shù)為倒數(shù)的函數(shù)[3]，Bekele，Ping，Lloyd分別選取冪函數(shù)的不同次數(shù)(1～5)進行插值實驗[4-6]，Rühaak等人認為冪函數(shù)的次數(shù)應該根據(jù)觀測點的可信度來動態(tài)變化，Lu 等人則認為冪函數(shù)次數(shù)應該根據(jù)參考點的密度自適應變化[7]，史利民從數(shù)學曲面的角度定義幾類新的權函數(shù)[8]，徐遵義從權函數(shù)的衰減性上對Shepard插值方法中的權函數(shù)進行改進[9]，李正泉認為權函數(shù)的定義應該顧及插值參考點的方向遮蔽性，提出權函數(shù)應該考慮到反映方向的調和權重系數(shù)[10]。上述各種權函數(shù)的研究集中在構建新的權函數(shù)和對原始權函數(shù)改進，而對于權函數(shù)數(shù)學性質的研究較少，實際上權函數(shù)的數(shù)學性質指導著權函數(shù)的構建和改進?；诖?，本文證明了一種常見的緊支撐權函數(shù)的性質，并采用該緊支撐權函數(shù)對模擬數(shù)據(jù)和實際的采樣數(shù)據(jù)進行空間插值實驗，實驗表明本文采用的緊支撐權函數(shù)是一種插值精度較高的權函數(shù)，本文證明的緊支撐函數(shù)性質可為后期構建新的緊支撐函數(shù)作為一種指導。

1　空間插值方法中常見的權函數(shù)

(1)

式中：wk表達式常見的有3種，均是與距離有關的函數(shù)：

(2)

式中：μ為冪函數(shù)的次數(shù)，可選候選值為1、2、3、4、5等，但一般取2。

(3)

(4)

其中

(5)

式中：Rw為設置的緊支撐半徑。

從數(shù)學建模上分析，只要權函數(shù)的衰減性和光滑性越好，則插值效果越理想。而采用空間插值方法重建整個連續(xù)的空間場過程可以理解為數(shù)學建模過程。因此，在空間插值方法中，選擇的權函數(shù)應該具備較好的衰減性和光滑性。上述各式中權函數(shù)是一個衰減性函數(shù)，隨著距離的增加權函數(shù)對其插值點的貢獻越小，一般的權函數(shù)都具備衰減性，而光滑性表現(xiàn)在權函數(shù)的偏導數(shù)相等，式(4)是一種具有較好的光滑性的緊支撐權函數(shù)，給出權函數(shù)光滑性的證明。

2　一種緊支撐權函數(shù)性質的證明

以二維情況為例，給出式(4)緊支撐權函數(shù)的基本性質，在此基礎上給出偏導數(shù)相等的證明。

2.1緊支撐權函數(shù)的基本性質

當插值點(x, y)趨近于某個已知點(xj, yj)時，即(x,y)→(xj,yj)分為兩種情況：

1)當j=k時，可以認為第k個點在wk處的wk的值為無窮大。

wk(xj,yj)→∞，而權重值為

(6)

分母：

w1+w2+…+wj+…+wk+…+

wn～wj(xj,yj)→∞.

(7)

(8)

(9)

(10)

2.2緊支撐權函數(shù)偏導數(shù)相等的證明

1)若(x,y)→(xj,yj)=(xk,yk)，則：

wk(xk,yk)→∞，wj(xk,yk)→有界量

(11)

(12)

其中

(13)

(14)

其中

(15)

(16)

(17)

(18)

其中

(19)

(20)

(21)

(22)

2)若(x,y)→(xj,yj)≠(xk,yk)，

(23)

M1，M2與上述相同，均為有界量。則式(23)中各分量為

(24)

(25)

3　鐵礦品位的空間插值實驗與空間場重建

3.1鐵礦品位的空間插值實驗分析

為了驗證本文推導的緊支撐權函數(shù)的性質，采用與緊支撐權函數(shù)同一類型的其它權函數(shù)進行反距離權重(Inverse Distance Weighted，IDW)空間插值實驗對比，插值模型為

(26)

圖1　礦體水平巷道鉆孔數(shù)據(jù)空間分布

為了消除各種插值方法中參考點不同而影響插值誤差分析，因此需要各種插值方法所采用的參考點數(shù)量相同，本文采用最鄰近的30個點作為參考點，插值點與最鄰近的第30個點的距離作為緊支撐權重的半徑Rw。采用交叉驗證統(tǒng)計各種插值方法的最小誤差(Min)、最大誤差(Max)、平均誤差(ME)、均方根誤差(RMSE)，如表1所示。

表1中緊支撐權函數(shù)的Min較大，但實際數(shù)值也趨近于0，認為緊支撐權函數(shù)在Min方面與另外幾種插值方法無差異，而在Max方面，緊支撐權函數(shù)插值與式(2)權函數(shù)插值誤差近似，但是這二種權函數(shù)插值都不如式(3)權函數(shù)插值的誤差大，說明緊支撐權函數(shù)可能出現(xiàn)某個局部點的誤差較大。就ME和RMSE而言，緊支撐權函數(shù)插值方法的這二項誤差指標最小，而這二種誤差指標是評價插值方法總體性能的最重要指標[13]，說明緊支撐權函數(shù)插值的總體誤差最小，精度最高。從插值類型分析，與緊支撐權函數(shù)相似的幾種權函數(shù)插值誤差精度均優(yōu)于克里金插值和薄板樣條插值，4種誤差最大的是克里金插值，其次是薄板樣條插值，其原因是這二種插值方法所涉及的插值模型參數(shù)需要一定的人工經(jīng)驗，如果設置的不合理可能引起較大誤差。

表1　各種插值方法誤差統(tǒng)計指標

3.2鐵礦品位的空間場重建

分別采用5種插值方法對鐵礦品位進行空間場重建，如圖2所示中(a)、(b)、(c)、(d)、(e)分別為采用式(2)權函數(shù)的IDW插值、式(3)權函數(shù)的IDW插值、緊支撐權函數(shù)插值、薄板樣條插值、克里金插值的鐵礦品位空間場重建結果，各插值結果的邊界出現(xiàn)鋸齒狀，其原因是裁剪的多邊形有鋸齒狀，但不影響空間場重建的分析。

從圖2中可知，采用同一類型權函數(shù)插值方法(式(2)和式(3)權函數(shù)及緊支撐權函數(shù))建立的空間場整體形態(tài)近似，但是采用式(2)和式(3)權函數(shù)空間插值方法的空間場呈現(xiàn)出整體“模糊”，而緊支撐權函數(shù)構建的空間場呈現(xiàn)出的光滑性和連續(xù)性是優(yōu)于其他二種權函數(shù)插值方法，這也與3.1節(jié)中分析的插值誤差結論相對應，插值方法誤差越小表現(xiàn)在構建的空間場越光滑和越連續(xù)。與其他不同類型的樣條函數(shù)插值和克里金插值比較，從空間場形態(tài)上分析，樣條函數(shù)插值方法與其他方法的形態(tài)相差較大，主要原因與在3.1節(jié)中的各項誤差最大相應，但是其空間場表明的光滑性和連續(xù)性較好，但是從光滑性和連續(xù)性不能判定插值方法的好壞，要與精度一起綜合評價插值方法，而采用克里金插值方法重建的空間場形態(tài)與緊支撐權函數(shù)及其他權函數(shù)的空間場形態(tài)大體一樣，其空間場整體上光滑性和連續(xù)性也較好，但是在3.1節(jié)中的誤差不及緊支撐權函數(shù)空間插值。

綜上所述，從插值方法的各種誤差指標的總體性能及重建的空間場形態(tài)的連續(xù)性和光滑性分析，可知本文推導的緊支撐權函數(shù)在空間插值中表現(xiàn)較優(yōu)。

圖2　采用5種插值方法構建的鐵礦品位空間場

4　結　論

緊支撐權函數(shù)的數(shù)學性質影響插值精度，本文推導一種緊支撐權函數(shù)的數(shù)學性質，通過實驗驗證采用該緊支撐權函數(shù)插值具有較高的插值精度，同時推導的緊支撐權函數(shù)性質可為后期構建新的權函數(shù)作為一種指導。

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[責任編輯：李銘娜]

Theoretical derivation of compactly supported weight function andits application to spatial interpolation

LI Jia1,2,3,4,DUAN Ping1,2,3,4, SHENG Yehua2,3,4,LYU Haiyang2,3,4, ZHANG Siyang2,3,4

(1. College of Tourism and Geographical Sciences, Yunnan Normal University, Kunming 650500, China;2. Key Laboratory of Virtual Geographic Environment (Nanjing Normal University), Ministry of Education, Nanjing, 210023, China;3. State Key Laboratory Cultivation Base of Geographical Environment Evolution (Jiangsu Province), Nanjing, 210023, China;4. Jiangsu Center for Collaborative Innovation in Geographical Information Resource Development and Application, Nanjing 210023, China)

The weight function is one of the important factors that influence the spatial interpolation precision in many spatial interpolation methods. Weight function with better mathematical property is selected with spatial interpolation methods. Based on it, the mathematical property of compactly supported weight function is deduced in this paper. Iron ore grade sampling data as data source is used in compactly supported weight function interpolation experiment. By experimental validation, compactly supported weight function with fine properties has better precision and versatility. The mathematical property derivation of compactly supported weight function can be a guide for building a new compactly supported weight function.

compactly supported weight function; spatial interpolation; inverse distance weighted; iron ore grade

10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2016.11.002

2016-01-23

國家自然科學基金資助項目(41271383)；云南師范大學博士基金資助項目(01300205020503128)

李佳(1984-)，女，講師，博士.

P223

A

1006-7949(2016)11-0007-05