盧樹泉， 曹炳元

（廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 廣東 廣州， 510006）

含二次隸屬函數(shù)的模糊二次規(guī)劃模型求解

盧樹泉， 曹炳元

（廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 廣東 廣州， 510006）

基于一種新定義的可調(diào)節(jié)二次隸屬函數(shù)， 研究了一類帶有模糊資源約束的模糊二次規(guī)劃模型， 同時給出了兩種相應(yīng)的求解方法—擴(kuò)展的Zimmermann算法和擴(kuò)展的參數(shù)規(guī)劃法。實例表明， 兩類方法均有一定的合理性和有效性。

模糊二次規(guī)劃； 二次隸屬函數(shù)； 決策； 有效性

1　二次隸屬函數(shù)的構(gòu)造

在模糊集理論中， 模糊數(shù)是用隸屬函數(shù)來表示的。針對線性隸屬函數(shù)形式固定， 可調(diào)節(jié)性差的特點，構(gòu)造具有二次形式的隸屬函數(shù)。

1.1構(gòu)造函數(shù)

設(shè)xL為模糊數(shù)x~的期望值， 它代表決策者最想要的結(jié)果；xU 是決策者認(rèn)為最大可接受的上限數(shù)值。令具有二次形式的隸屬函數(shù)為

根據(jù)隸屬函數(shù)的性質(zhì)： 當(dāng)

求解方程（2）、（3）， 得出具含待定參數(shù)a的二次隸屬函數(shù)

作為某個模糊數(shù)的隸屬函數(shù)， 它還應(yīng)該要滿足在區(qū)間［Lx，Ux］嚴(yán)格單調(diào)下降的條件， 即或。

1.22種隸屬函數(shù)的比較

對于二次隸屬函數(shù)（4）而言： 當(dāng)參數(shù)a取不同的值時， 盡管確定了二次函數(shù)的2點（Lx， 1）和（Ux， 0）， 但是函數(shù)的弧度會有很大的區(qū)別， 所以在形式上它是可調(diào)節(jié)的。a取不同的值時， 某個可調(diào)節(jié)二次隸屬函數(shù)的示意圖如圖1所示。

相對于線性隸屬函數(shù)， 當(dāng)確定了 2點（Lx， 1）和（Ux， 0）后， 這條直線就隨之固定了， 其函數(shù)圖像如圖 1實線部分所示?？梢?， 線性隸屬函數(shù)是二次隸屬函數(shù)的特殊情況， 即取a=0時的情形。

圖1　a取不同值時二次隸屬函數(shù)示意圖

2　帶有二次隸屬函數(shù)的模糊二次規(guī)劃模型求解

模糊規(guī)劃是普通規(guī)劃的外延， 關(guān)于模糊線性規(guī)劃的研究已逐步走向成熟， 其中最具有代表性的解法是Zimmermann算法［11］和參數(shù)規(guī)劃法［12］。針對帶有模糊資源約束的模糊二次規(guī)劃問題， 提出了2種基于二次隸屬函數(shù)的擴(kuò)展Zimmermann算法和擴(kuò)展參數(shù)規(guī)劃法， 其本質(zhì)是對線性方法的延伸。

2.1擴(kuò)展Zimmermann算法

一般地， 帶模糊資源約束的模糊二次規(guī)劃問題具有如下的一般形式，

或改寫成向量形式

由于約束條件的模糊性必然導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)的模糊性。為求模糊目標(biāo)函數(shù)在模糊約束下的最優(yōu)解， 可先將模糊目標(biāo)函數(shù)化為約束條件。對應(yīng)X中的一個模糊集M~， 取隸屬函數(shù)為線性隸屬函數(shù)

其中z0和z0+d0分別是嚴(yán)格遵守約束條件Ax≤b和約束條件放松至Ax≤b+d情況下目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值。易見， S（ x）和M（ x）是相互矛盾的， 其中一方的增大會引起另一方的減少。同時兼顧模糊目標(biāo)和模糊約束， Bellman和Zadeh［13］給出了模糊決策D~的概念： 模糊約束隸屬函數(shù)和模糊目標(biāo)隸屬函數(shù)交點的最大值， 即

式（10）是一個帶有約束條件的非線性規(guī)劃問題， 可用罰函數(shù)等方法轉(zhuǎn)化為無約束的非線性規(guī)劃求解。擴(kuò)展Zimmermann算法的主要思想是先將模糊約束集與模糊目標(biāo)集分別表示成可調(diào)節(jié)的二次隸屬函數(shù)和線性隸屬函數(shù)的形式， 然后給出模糊決策的概念為兩者隸屬函數(shù)交點的最大值， 最終得出模糊最優(yōu)解。

2.2擴(kuò)展參數(shù)規(guī)劃算法

所謂的參數(shù)規(guī)劃， 是將式（5）所表達(dá)的模糊二次規(guī)劃轉(zhuǎn)化為帶有待定參數(shù)θ的規(guī)劃

其中參數(shù)θ∈［0，1］， r（θ）的取值可由二次隸屬方程μ（ x）=θ屬于區(qū)間［b， b+d］的根來確定。顯然， 當(dāng)參數(shù)θ確定后， 式（11）便退化為一般形式的凸二次規(guī)劃問題， 所以它的 Kuhn-Tucher必要條件同時也是充分條件。為求解規(guī)劃（11）， 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)［14］

這里μ是不等式約束的拉格朗日乘子向量。關(guān)于x∈Rn 求極小， 即令▽L（ x，μ）=0， 將所得結(jié)果x=代到式（11）有

所以， 根據(jù)Lagrange對偶方法得出一個含參數(shù)的二次規(guī)劃

擴(kuò)展參數(shù)規(guī)劃法的實質(zhì)， 是通過約束條件的隸屬函數(shù)定義的一個含有參數(shù)θ的規(guī)劃， 這個參數(shù)表示對限制條件的偏離程度。一旦確定了該參數(shù)的取值， 相應(yīng)地會有一個確定的二次規(guī)劃與之對應(yīng)。理論上， 由模糊集的表現(xiàn)定理， 整合所有參數(shù)在不同情況下的最優(yōu)解便能得出結(jié)果。

3　數(shù)值例子

考慮帶有模糊資源約束的模糊二次規(guī)劃問題

這里d=［2，5］是式（15）每個約束函數(shù)最大可接受的上限數(shù)值向量。因此， 當(dāng)a=0.01時， 它們的二次隸屬函數(shù)為：

利用Lingo11軟件求得λ=0.53， x1=2.61， x2=1.61， 其最優(yōu)值為zmin=-13.31。與約束條件不添加縮伸時的最優(yōu)值 z0=-12.06相比增加了 -1.25， 這是可行域增大的結(jié)果。

由式（11）、（15）可轉(zhuǎn)化為一個含有參數(shù)θ的規(guī)劃min z=或改寫成Lagrange對偶形式

表 1呈現(xiàn)了θ取不同值時， 該參數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)值情況。為了直觀地說明擴(kuò)展的Zimmermann算法和擴(kuò)展的參數(shù)規(guī)劃法之間的關(guān)系， 利用 Matlab軟件分別作出擴(kuò)展的Zimmermann算法下關(guān)于目標(biāo)函數(shù)的隸屬度直線和θ取不同值時擴(kuò)展參數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)值曲線， 如圖2所示。由圖2可知，2條線段交于點（-13.31， 0.53）， 即是擴(kuò)展Zimmermann的模糊最優(yōu)解。

圖3　a取不同值時擴(kuò)展參數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)值曲線

表1　θ取不同值時問題（14）的最優(yōu)值情況

圖2　2種方法的最優(yōu)值曲線

另一方面， 隸屬函數(shù)是決策者關(guān)于某個模糊概念的直觀判斷， 它的取值情況對最終的模糊判決有著非常大的影響。圖3列出了可調(diào)節(jié)二次隸屬函數(shù)的參數(shù)a取5組（a=0，a=±0.01和a=±0.04）不同值時， 該參數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)值曲線?？梢钥闯?， 盡管其中有些參數(shù)只有細(xì)微的波動， 但是它們的最優(yōu)值曲線還是相差較大的， 同時也說明了模糊最優(yōu)解容易受到隸屬函數(shù)的影響。

4　結(jié)論

本文針對一類帶有模糊資源約束的模糊二次規(guī)劃問題， 提出了一個具有二次形式的隸屬函數(shù)， 它與傳統(tǒng)的線性隸屬函數(shù)相比更具有可調(diào)節(jié)性?；谶@種二次隸屬函數(shù)， 參照模糊線性規(guī)劃的 Zimmermann算法和參數(shù)規(guī)劃法， 平行地給出了2種擴(kuò)展解法。實例表明， 擴(kuò)展的Zimmermann算法和擴(kuò)展的參數(shù)規(guī)劃法， 對二次隸屬函數(shù)的參數(shù)依賴程度高。盡管該參數(shù)發(fā)生細(xì)微的波動也可能導(dǎo)致最終模糊最優(yōu)解產(chǎn)生較大的變化。事實上， 出現(xiàn)這種情況正是決策者所需要的， 因為待定參數(shù)的改變， 直接反映了一個模糊概念隸屬程度的變化， 最終也必然影響模糊判決的好壞。因此， 選擇一個合適的隸屬函數(shù)是決策者做科學(xué)決策時最為關(guān)鍵的一步。

［1］ 曹炳元. 應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)與系統(tǒng)［M］. 北京： 科學(xué)出版社， 2005： 117-130.

［2］ Cruz C， Silva R， Verdegay J L. Extending and relating different approaches for solving fuzzy quadratic problems ［J］. Fuzzy Optimization Decision Making， 2011， 10： 193-210.

［3］ Silva R C， Verdegay J L， Yamkami A. Two-phase method to solve fuzzy quadratic programming problems ［C］// IEEE International Conference Fuzzy Systems. London： Imperial College， 2007： 1-6.

［4］ Silva R C， Yamakami A. A dual approach to solve fuzzy quadratic programming problems ［C］// IEEE Fuzzy Information processing Society， 2011： 1-6.

［5］ Liu S T. Quadratic programming with fuzzy parameters：a membership function approach ［J］. Chaos Solitons and Fractals，2009， 40（1）： 237-245.

［6］ Liu S T. Solving quadratic programming with fuzzy parameters based on extension principle ［C］// IEEE International Conference Fuzzy Systems. London： Imperial College， 2007： 1-5.

［7］ Zhou X G， Cao B Y. Optimality conditions for fuzzy number quadratic programming with fuzzy coefficients ［J］. Journal of Applied Mathematics， 2014（1）： 1-8.

［8］ Silva R C， Cruz C， Verdegay J L. Fuzzy costs in quadratic programming problems ［J］. Fuzzy Optim Decis Making， 2013，12（3）： 231-248.

［9］ Silva R C， Cruz C， Verdegay J L. A survey of fuzzy convex programming ［J］. Fuzzy Optimization， 2010， 254： 127-143.

［10］ Murthy A S. Fuzzy programming with quadratic membership functions for Muti-objective transportation problem ［J］. Pakistan Journal of Statistics & Operation Research， 2015， 5（2）： 231-240.

［11］ Zimmermann H J. Fuzzy mathematical programming ［J］. Computers & Operations Research， 1983， 10（4）： 291-298.

［12］ Chanas S. The use of parametric programming in fuzzy linear programming in fuzzy linear programming ［J］. Fuzzy Sets and Systems， 1983， 11： 243-251.

［13］ Bellman R E， Zadeh L A. Decision-marking in fuzzy environment ［J］. Management Science， 1970， 17（4）： 141-164.

［14］ 王宜舉， 修乃華. 非線性最優(yōu)化理論與方法［M］. 北京： 科學(xué)出版社， 2012： 165-167.

（責(zé)任編校： 劉曉霞）

Solution of fuzzy quadratic programming model with secondary membership function

Lu Shuquan， Cao Bingyuan
（School of Mathematics and Information Sciences， Guangzhou University， Guangzhou 510006， China）

Based on a new definition of secondary adjusted membership function， a class of quadratic programming model with quadratic membership function is studied， and then two corresponding solutions are presented， which extends Zimmmermann algorithm and parameter approach，respectively. The example shows that the methods have certain rationality and validity.

fuzzy quadratic programming； secondary membership function； decision making； effectiveness

O 221

1672-6146（2016）03-0001-05

10.3969/j.issn.1672-6146.2016.03.001

盧樹泉， lusquan@163.com。

2016-01-23

在實際問題中， 非線性規(guī)劃有著十分廣泛的應(yīng)用。無論是庫存管理、投資組合、工程設(shè)計還是經(jīng)濟(jì)研究等領(lǐng)域都離不開特定形式的數(shù)學(xué)規(guī)劃。但是， 到了真正的應(yīng)用中， 有些參數(shù)可能并不是確定的， 而更多表現(xiàn)出來是模糊性。于是， 一種新的數(shù)學(xué)規(guī)劃—模糊非線性規(guī)劃［1］應(yīng)運而生了。

目前， 關(guān)于模糊非線性規(guī)劃問題的研究幾乎都集中在模糊二次規(guī)劃上。特別地， 針對具有模糊約束的模糊二次規(guī)劃問題， Cruz［2］擴(kuò)展了模糊線性規(guī)劃中Zimmermann算法的一套理論， 并應(yīng)用于求解模糊二次規(guī)劃問題?；趨?shù)規(guī)劃法， Silva等［3-4］分別從原始問題和對偶問題2個角度對給定的α-水平下的普通二次規(guī)劃進(jìn)行求解， 通過整合這些α-最優(yōu)解得到了模糊最優(yōu)解。另外， 對于帶有模糊系數(shù)的模糊二次規(guī)劃問題， Liu等［5-6］應(yīng)用Zadeh擴(kuò)展原理將其轉(zhuǎn)化為一個雙層數(shù)學(xué)規(guī)劃問題， 并利用非線性規(guī)劃的有關(guān)知識進(jìn)行了簡化。Zhou等［7］則利用線性秩函數(shù)的方法來處理變量之間的這種模糊關(guān)系， 也給出了一個等價的二次規(guī)劃問題， 其它的求解方法由文獻(xiàn)［8-9］給出。受文獻(xiàn)［10］的啟發(fā)， 現(xiàn)有的許多文獻(xiàn)都是用線性隸屬函數(shù)來定義模糊約束集的， 這種類型的函數(shù)在形式上雖然簡單， 但是有時并不符合決策者的意愿。為此， 本文先提出了一種具有二次形式的隸屬函數(shù)。它與傳統(tǒng)的線性隸屬函數(shù)相比， 更具有可調(diào)節(jié)性。接著， 針對帶有模糊資源約束的模糊二次規(guī)劃問題， 分別采用擴(kuò)展的Zimmermann算法和擴(kuò)展的參數(shù)規(guī)劃方法進(jìn)行求解。最后， 用一個數(shù)值例子說明了它們的合理性和有效性。