馮小科汪松柏胡亞鵬張猛杜言平魯港

1.中國石化河南石油工程有限公司；2.中國石油遼河油田勘探開發(fā)研究院

多控制點水平井靶體邊界計算

馮小科1汪松柏1胡亞鵬1張猛1杜言平1魯港2

1.中國石化河南石油工程有限公司；2.中國石油遼河油田勘探開發(fā)研究院

為在鉆井設計軟件中精確地繪制出多控制點水平井靶體，給出了多控制點水平井靶體的數(shù)學定義。以矢量代數(shù)為數(shù)學工具，利用靶體設計軸線上任意點的法面坐標，給出了靶體外邊界曲線的數(shù)學定義，提出了曲邊長方體靶的新概念，建立了靶體外邊界曲線的計算公式。鉆井設計軟件開發(fā)實踐及應用效果表明，曲邊長方體靶的定義是合理的，計算公式是精確的，且易于編程實現(xiàn)；可以在水平投影圖、垂直投影圖、剖面展開圖、三維圖形中精確地繪制出水平井靶體圖形。

鉆井設計；水平井；井眼軌道；控制點；曲邊長方體靶

最簡單形狀的水平井靶是一個長方體［1-3］，由于空間直線向任意平面的投影仍然是直線（或退化成一點）［4］，無論是水平投影圖還是垂直投影圖，可以很容易地畫出長方體靶的投影圖。當水平井需要通過多個目標點時，由于相鄰2個目標點之間的設計軌跡可能是彎曲井段（例如空間圓?。?，水平井靶外邊界線（相當于長方體靶的與靶體軸線相平行的四條邊）在水平（垂直）投影圖上的投影不再是簡單的直線段，而是復雜的三維連續(xù)曲線。對國內近20年來的文獻進行檢索，發(fā)現(xiàn)關于多控制點水平井靶體

1　長方體靶

Cuboid target

使用最多的水平井靶由2個控制點A和B所確定（參見圖1），A點處靶窗矩形寬為2wA、高為2hA，其中±wA和±hA分別為A點的橫向和縱向允許設計偏差。B點處靶窗矩形寬為2wB、高為2hB，其中±wB和±hb分別為B點的橫向和縱向允許設計偏差。線段AB為設計井眼軌跡的一部分，稱為靶體軸線。通常情況下，B點處的允許設計偏差可能會大于A點處的允許設計偏差，這時，靶體不再是長方體，而是截頭方錐體［7］。

圖1　水平井靶示意圖Fig. 1 Target of horizontal well

劉修善等［1-2］考慮了地層傾角情況下的靶體擺放姿態(tài)。當?shù)貙觾A角比較小時，總可以通過調整設計允許偏差的數(shù)值使得靶體位于目的層之內，而當?shù)貙觾A角比較大時，也不太適合于設計成水平井，因此，工程上總是假定靶窗矩形的上、下邊是與水平面相平行的。

對于靶體軸線上的任意點P，長方體靶的橫截面仍然是一個矩形P1、P2、P3、P4，橫向和縱向允許設計偏差由下式計算

式中，具有長度量綱的參數(shù)其物理單位為m，角度的物理單位為rad。

當水平井靶體是由多個控制點所確定時，由于這些點不可能都在同一條直線上（否則只需要第一點和最后一點即可確定靶體），必定有某些相鄰控制點之間的靶體軸線是曲線段（例如空間圓?。?，這時，靶體不可能是簡單的長方體或截頭方錐體。

假想有一段截面為矩形空心鋼管，柔性很好、不易折斷，用手握住鋼管兩端用力使它彎曲，彎曲后的鋼管的任意截面仍然為矩形。對這個假想實驗進行數(shù)學抽象，建立多控制點水平井靶體的數(shù)學模型。

2　曲邊長方體靶

Cuboid target with curved boundary

為具有幾何直觀性和計算公式簡潔明了，采用矢量數(shù)學符號來進行相關計算公式的推導。

2.1井眼軌跡模型

Hole trajectory model

假設相鄰2個控制點A和B之間的設計軌跡為一條三維空間曲線，井眼軌跡上任一點P的矢徑可根據(jù)井深來計算

式中，r和rA分別為P點和A點的矢徑（位置矢量）；ΔL=L-LA為P點的井深增量（其中L和LA分別為P點和A點處井深）；函數(shù)f（ΔL）為ΔL的連續(xù)可微矢量值函數(shù)。

由于井深L即是三維空間曲線的弧長參數(shù)，微分幾何方法中的有關導數(shù)計算相對比較簡單。

文中使用“列矢量”來表示矢量；上標“T”表示矩陣和矢量的轉置運算，上撇符號“' ”表示對井深的一階導數(shù)，“" ”表示對井深的二階導數(shù)，‖‖表示矢量求模函數(shù)。

井眼方向矢量定義為井眼軌跡切線方向上的單位長度矢量

式中，t為井眼方向矢量，α為井斜角，φ為方位角。

主法線方向矢量和井眼曲率分別由下式計算

式中，n為主法線方向矢量，K為井眼曲率。

在井眼軌跡模型中，井斜角和方位角也能表示成井深或井深增量的函數(shù)

式中，函數(shù)g（ΔL）和h（ΔL）均為連續(xù)可微函數(shù)。矢徑r有時也寫成下面的形式

式中，函數(shù)F（α，φ，ΔL）為井斜角、方位角、井深增量的三元連續(xù)可微矢量值函數(shù)。

顯然，將式（8）～（9）代入式（4）可知，矢徑r仍然是井身L或井深增量ΔL的函數(shù)，井斜角變化率和方位角變化率分別由下式定義

式中，Kα為井斜變化率，（°）/m；Kφ為方位變化率，（°）/m。

常用的井眼軌跡模型包括空間圓弧模型、圓柱螺線模型、自然曲線模型等［2］，對于每一個具體的數(shù)學模型，都可以給出函數(shù)f、g、h、F的具體計算公式。

2.2井眼軌跡的法平面

Normal plane of hole trajectory

在設計井眼軌跡上任一點P，井眼高邊矢量h和定向矢量v定義如下

可以證明［8］

式中，k=［0，0，1］T為垂直向下的單位長度矢量。

可以證明［8］：h、v、t是兩兩相互垂直的單位長度矢量，可以作為一個成右手系的空間直角坐標系的坐標軸上的單位長度矢量，這個坐標系稱為P點的局部坐標系，參見圖2。

圖2　井眼軌跡的法平面Fig. 2 Normal plane of hole trajectory

假設Q點在局部坐標系中的位矢為ρ=（x，y，z）T，則

式中，q和p分別為Q點和P點在整體坐標系中的位矢，R為坐標變換矩陣，由下式計算［2，8］

由于矩陣R的單位正交矩陣，從式（16）得

2.3靶體軸線的伴隨曲邊長方體

Adjoint cuboid with curve border on the target’s axis line

對于靶體軸線（井眼設計軌跡從第一個控制點到最后一個控制點的那部分）上任意點P，按照式（1）～（2）定義該點的橫向允許偏差w和縱向允許偏差h。在局部坐標系P-xyz中（見圖3），矩形P1P2P3P4的中心為P點，寬和高分別為2 w和2 h。記矩形頂點Pi的局部坐標矢徑依順時針順序為ρi=（xi，yi，0）T，i=1，2，3，4，則有ρ1=（h，w，0）T、ρ2= -（h，w，0）T、ρ3= （-h，-w，0）T、ρ4= （h，-w，0）T。

圖3　局部坐標系Fig. 3 Local coordinate system

根據(jù)坐標變換公式（18），得到矩形頂點Pi在整體坐標系中的矢徑

當井深L連續(xù)變化時，靶窗矩形所遍歷的空間區(qū)域稱為靶體軸線的伴隨曲邊長方體，簡稱曲邊長方體。4個矩形頂點Pi形成4條連續(xù)曲線，稱為曲邊長方體的曲邊，或簡稱邊。

任意一條曲邊曲線都不是簡單的曲線，在一般情況下，既不是圓，也不是橢圓，甚至有可能不是平面曲線。

2.4曲邊長方體靶

Cuboid target with curved boundary

當水平井靶由多個控制點所確定時，相鄰2個控制點之間的靶體為截頭方錐體（當兩點之間設計井段為線段時），或者為曲邊長方體（當兩點之間設計井段為曲線時），將這些截頭方錐體和/或曲邊長方體按照控制點的順序依次拼接，所形成的空間圖形即為多控制點水平井段的設計靶體，稱為曲邊長方體靶。

如果相鄰2個控制點之間由多個設計井段組成，可以將上段曲邊長方體靶定義中的“控制點”改為“設計節(jié)點”，所形成的靶體仍為曲邊長方體靶。

當靶體軸線的井眼曲率較小或者允許偏差較小時，曲邊長方體靶是截頭方錐體靶的合理推廣。但是當井眼曲率大于允許偏差時，曲邊長方體靶的“內側”曲邊會出現(xiàn)“折疊”現(xiàn)象。舉例對曲邊“折疊”現(xiàn)象加以解釋。參見圖4，4個控制點A、B、C、D均位于水平面上（垂深相等），橫向允許偏差均為w，AB 和CD為線段，BC為圓弧，曲率半徑為R。在情況（a）中， R=|BE|=|CE|＞w，圓弧井段部分的曲邊曲線均為圓弧曲線，屬于正常情況；在情況（b）中，R=w，這時，圓弧井段部分的“內側”曲邊曲線退化成一個單獨點；在情況（c）中，R＜w，圓弧井段部分的“內側”曲邊曲線出現(xiàn)“折疊”現(xiàn)象。幸運的是，在工程實際中，極少出現(xiàn)這種極端現(xiàn)象。例如，取井眼曲率為K=30 （°）/30 m，則曲率半徑R約等于57.3 m，而允許偏差一般不會達到這樣大的數(shù)值。

圖4　“折疊”現(xiàn)象的圖解Fig. 4 Diagram for folding phenomenon

2.5井眼軌跡模型

Hole trajectory model

前面給出了曲邊長方體靶的定義及有關計算公式。仔細分析上述定義可以發(fā)現(xiàn)，與特定井眼軌跡模型有關的參數(shù)只是矢徑r、井眼方向矢量t、曲線主法線矢量n。所以，對于一般的靶體軸線曲線模型，只要能給出位矢、井斜角和方位角及其變化率的計算公式，就可以計算曲邊長方體靶。

根據(jù)微分幾何的知識［8］，可推導出下式

這是劉修善公式［2］的矢量化形式。

另外，下式恒成立［2］

常用的井眼軌跡模型有空間圓弧模型［8］、圓柱螺線模型［2］、自然曲線模型［2］等，計算公式參見有關文獻。對于恒工具面角模型［2］及樣條曲線模型［2］等其他井眼軌跡模型，也均可以求出井斜角和方位角及其變化率公式、位矢公式。

3　繪圖算法

Mapping algorithm

首先，依據(jù)設計井深增加的方向，根據(jù)式（19）等求出4條曲邊上足夠多的離散點，使得相鄰2個離散點之間的直線距離足夠小，當投影到計算機屏幕上時，這兩點之間橫/縱向不超過2個像素點。

如果是繪制三維圖形，只需要分別將這些離散點用線段連接即可（當然還需要繪出第一個和最后一個控制點處的靶窗矩形）。

如果是繪制水平投影圖，則離散點的Z坐標均相等，只需要繪制離散點（X，Y）即可。

如果是繪制垂直投影圖，假設投影方位角為φ0，對每個離散點（X，Y，Z），計算視平移

繪圖時繪制諸離散點（V，Z）。

如果是繪制剖面展開圖，則需要利用靶體軸線的水平投影長度S和垂深Z的數(shù)據(jù)對（S，Z）。對于靶體軸線上任意點P，在該點的井眼高邊矢量的正向和負向上各取一點P+和P-，它們與P點的距離均等于該點的縱向允許偏差，參見圖5。

圖5　剖面展開圖參數(shù)計算示意圖Fig. 5 Calculation sketch of unfolded section parameters

根據(jù)圖5中的幾何關系可求得

因此，在剖面展開圖中，P±點在坐標為（s±hcosα，2±hsinα）。當P點沿圓弧從θ=0連續(xù)變動到θ=ε時，動點P+所形成的連續(xù)曲線和動點P-所形成的連續(xù)曲線可以作為曲邊長方體在剖面展開圖上的投影的上、下邊界曲線。

4　算例

Case study

某多控制點水平井靶體設計參數(shù)見表1，設計井段AB為穩(wěn)斜穩(wěn)方位井段，BC和CD為空間圓弧井段，井眼曲率分別為8.90（°）/30 m和15.97（°）/30 m。使用文中算法繪制的水平投影圖和垂直投影圖（投影方位角63.43°）分別見圖6和圖7。

表1　控制點參數(shù)Table 1 Parameters of control points

圖6　水平投影圖Fig. 6 Horizontal projection

圖7　垂直投影圖Fig. 7 Vertical projection

5　結論

Conclusions

（1）利用法面坐標給出了多控制點水平井靶的外邊界曲線的數(shù)學定義，推導出了設計軸線彎曲井段為空間圓弧曲線時的外邊界曲線的具體計算公式，為鉆井軟件開發(fā)中的圖形繪制提供了數(shù)學基礎。

（2）軟件開發(fā)實踐表明，在水平投影圖、垂直投影圖、剖面展開圖、三維圖形中，使用外邊界曲線公式可以繪制出多控制點水平井靶的精確圖形。

References:

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（修改稿收到日期 2016-03-22）

〔編輯 薛改珍〕

Calculation on the boundary of horizontal well target with multiple control points

FENG Xiaoke1， WANG Songbo1， HU Yapeng1， ZHANG Meng1， DU Yanping1， LU Gang2
1. SINOPEC He’ nan Petroleum Engineering Co. Ltd.， Nanyang， Henan 473132， China；2. Exploration and Deνelopment Research Institute of PetroChina Liaohe Oilfield Company， Panjin， Liaoning 124010， China

The mathematical definition of horizontal well target with multiple control points was set， so as to describe it accurately in the drilling design software. The vector algebra was used as the mathematical tool， and the external boundary curve of target was mathematically defined by using the normal plane coordinates of an arbitrary point on the target design axis. Then， a new concept of cuboid target with curved boundary was proposed and the calculation formula was also established for the external boundary curve of target. And finally， the drilling design software was applied in field. It is shown that the definition of cuboid target with curved boundary is reasonable and its calculation formula is accurate and can be easily presented in programming. Moreover， it was made possible to draw horizontal well targets accurately in horizontal projection， vertical projection， profile expansion and 3D diagrams.

drilling design； horizontal well； hole trajectory； control point； cuboid target with curved boundary

魯港（1963-），1985年畢業(yè)于復旦大學數(shù)學系應用數(shù)學專業(yè)，從事鉆井工程數(shù)學模型和算法研究及計算機軟件開發(fā)工作，高級工程師。通訊地址：（124010）遼寧省盤錦市興隆臺區(qū)石油大街95號。E-mail：Lugang1999@sina.com參數(shù)計算和繪圖方面的研究論文幾乎還是空白［5-6］。結合近年來的理論研究工作和鉆井軟件開發(fā)實踐，筆者對多控制點水平井靶體參數(shù)計算和繪圖的方法進行了一些理論總結。

TE21

A

1000 - 7393（ 2016 ） 03 - 0286- 05

10.13639/j.odpt.2016.03.0002

FENG Xiaoke， WANG Songbo， HU Yapeng， ZHANG Meng， DU Yanping， LU Gang. Calculation on the boundary of horizontal well target with multiple control points［J］. Oil Drilling & Production Technology， 2016， 38（3）: 286-290.

馮小科（1985-），2008年畢業(yè)于西安石油大學石油工程專業(yè)，長期從事鉆井技術管理與研究工作，工程師。通訊地址：（473132）河南省南陽市河南石油工程有限公司。E-mail：214822882@qq.com

引用格式：馮小科，汪松柏，胡亞鵬，張猛，杜言平，魯港.多控制點水平井靶體邊界計算［J］.石油鉆采工藝，2016，38（3）：286-290.