簡化函數結構　破解復雜問題

內蒙古師范大學附屬中學(010020)

王洪軍

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簡化函數結構破解復雜問題

內蒙古師范大學附屬中學(010020)

王洪軍

函數內容貫穿整個高中數學，尤其借助導數工具來研究函數問題，使得設計題目更加靈活，難度也更大，每當學生遇到此類問題，往往盲目進行嘗試，徒勞無功. 其實好多函數問題在處理時都需要仔細觀察其結構的，不妨將函數中復雜的部分記為f(x)×g(x)，按處理問題的難易程度依次分為如下幾種：①f(x)為指數型且g(x)為對數型；②f(x)為指數型(或對數型)且g(x)為分式型；③f(x)為指數型(或對數型)且g(x)為多項式型；④f(x)和g(x)均為分式型；⑤f(x)和g(x)均為多項式型. 對于復雜的函數問題，好多情況都是因為函數的結構復雜，有時我們只需將結構簡化，問題便會迎刃而解.下面我們通過具體實例來體會其中意義.

例1(2014年新課標全國Ⅰ卷理科21題)

(1)求a，b； (2)證明：f(x)>1.

評注：通過將待證式轉化為上述(*)式，使得復雜的函數結構變得相對簡單，再通過常用的一個不等式(當x>0時，有ex>x+1)進一步簡化函數的結構，問題便迎刃而解了.

下面再給出兩種利用常用不等式簡化函數結構的證法.

例2(2011年新課標全國卷文科21題)

(1)求a，b的值；

通過前面論述，我們能看到簡化函數結構對解題的幫助，數學解題本身是一門實踐性技術，經歷實踐、認識、再實踐、再認識的過程，高考卷中的典型問題是值得反復推敲的.本文從這些函數實例中通過簡化函數結構尋求處理問題的一般方法. 對于復雜的問題，智者見智，希望能對讀者有所啟發(fā).