樓智美　王元斌　謝志堃

1. 紹興文理學院物理系, 紹興 312000; 2. 紹興文理學院數(shù)學系, 紹興 312000;? E-mail: louzhimei@usx.edu.cn

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典型微擾力學系統(tǒng)的近似Lie對稱性、近似Noether對稱性和近似Mei對稱性

樓智美1，?王元斌2謝志堃1

1. 紹興文理學院物理系, 紹興 312000; 2. 紹興文理學院數(shù)學系, 紹興 312000;? E-mail: louzhimei@usx.edu.cn

利用3種近似對稱性方法(近似Lie對稱性法、近似Noether對稱性法和近似Mei對稱性法)研究典型微擾力學系統(tǒng)的一階近似對稱性和近似守恒量。結(jié)果表明, 利用近似Lie對稱性法找到的6個一階近似對稱性和近似守恒量與利用近似Noether對稱性法找到的相同, 而利用近似Mei對稱性法只能找到其中5個一階近似對稱性和近似守恒量。

微擾力學系統(tǒng); 近似Lie對稱性; 近似Noether對稱性; 近似Mei對稱性; 近似守恒量

北京大學學報（自然科學版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis, Vol. 52, No. 4 (July 2016)

分析力學中研究力學系統(tǒng)的對稱性與守恒量有3種對稱性方法[1–2]: Lie對稱性法、Noether 對稱性法和Mei對稱性法。引進群無限小變換, 微分方程在此變換下保持不變?yōu)?Lie 對稱性, 哈密頓作用量在此變換下保持不變?yōu)?Noether 對稱性, 力學系統(tǒng)的動力學函數(shù)在此變換下仍然滿足運動方程為Mei對稱性。事實上, 許多實際力學系統(tǒng)的某些參數(shù)常常會隨著位移、速度和時間的變化發(fā)生微小的變化, 即力學系統(tǒng)受到微擾作用, 這樣的力學系統(tǒng)稱為微擾力學系統(tǒng)。此類系統(tǒng)的近似對稱性和近似守恒量研究對于研究力學系統(tǒng)的特性至關(guān)重要。目前, 研究微擾力學系統(tǒng)近似對稱性與近似守恒量有兩種近似對稱性法: 近似 Lie 對稱性法[3]和近似Noether 對稱性法[4]。引進近似的群無限小變換, 微分方程在此變換下近似保持不變?yōu)榻?Lie 對稱性; 哈密頓作用量在此變換下近似保持不變則為近似 Noether 對稱性, 所得的守恒量為近似守恒量。

近年來, 關(guān)于常微分方程、偏微分方程近似對稱性和近似守恒量的研究已取得很多成果[3–16], 文獻[3–14]采用的方法都是近似 Lie 對稱性法或近似Noether對稱性法, 其中文獻[3–11]側(cè)重近似對稱性理論的研究, 文獻[12–14]側(cè)重近似對稱性理論的實際應(yīng)用, 文獻[15]提出用直接積分法求近似守恒量的方法, 文獻[16]將直接積分法應(yīng)用于求二階近似守恒量。但是, 到目前為止, 還沒有建立用近似Mei對稱性研究近似守恒量的理論, 關(guān)于3個近似對稱性理論相互關(guān)系方面也沒有深入的研究。事實上, 近似Lie對稱性法和近似Noether對稱性法是在Lie對稱性法和Noether對稱性法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的, 那么在Mei對稱性法的基礎(chǔ)上也可以建立相應(yīng)的近似Mei對稱性法, 即引進近似的群無限小變換, 力學系統(tǒng)的動力學函數(shù)在此變換下近似滿足運動方程為近似Mei對稱性。

本文分析近似Lie對稱性、近似Noether對稱性和Mei對稱性理論, 討論3種對稱性間的關(guān)系,并以頻率比為2:1的弱非線性耦合諧振子為例, 研究系統(tǒng)的一階近似對稱性和近似守恒量。

1　近似Lie對稱性、近似Noether對稱性和近似Mei對稱性理論

1.1近似Lie對稱性理論［3］

具有n個自由度的微擾Lagrange力學系統(tǒng), 其 Lagrange 函數(shù)可以表示為, 其中為廣義坐標,為廣義速度, 01ε＜?為微擾系數(shù)。微擾 Lagrange 力學系統(tǒng)的運動微分方程可以表示為

方程(1)可簡寫為

則可求出所有的廣義加速度:

引進近似的群無限小變換

其中s=1, 2, …, n, δ為無限小參數(shù), τ 和ξs為無限小變換生成元。式(5)的無限小生成元向量為

式(6)的一次擴展為

二次擴展為

式(5)~(8)中,

其中s=1, 2, …, n, k為微擾項的階數(shù)。

運動微分方程(1)的k階近似Lie對稱性是指式(4)在近似的群無限小變換(式(5))下近似保持不變[3], 即

若存在規(guī)范函數(shù)

滿足

則系統(tǒng)存在k階近似守恒量

且

滿足

1.2近似Noether對稱性理論

近似Noether 對稱性[4]指在近似的群無限小變換(式(5))下, 哈密頓作用量在此變換下近似保持不變, 即則稱無限小變換(式(5))為近似Noether對稱變換。

若無限小生成元(式(9))和規(guī)范函數(shù)(式(11))滿足確定方程(12), 則存在相應(yīng)的近似守恒量(式(14))。

將式(9)和(11)代入式(12), 并比較式(12)兩邊的系數(shù), 可求得無限小生成元τ 和ξs以及規(guī)范函數(shù)G。將 Lagrange 函數(shù)L及求得的無限小生成元τ 和ξs以及規(guī)范函數(shù)G代入式(14), 可求得系統(tǒng)的近似守恒量I。

1.3近似Mei對稱性理論

假設(shè)經(jīng)無限小變換(5)后, 系統(tǒng)的 Lagrange 函數(shù)變成*L:如果用變換后的 Lagrange 函數(shù)*L代替變換前的L時, 方程(2)的形式近似保持不變, 即

那么稱這種不變性為系統(tǒng)的k階近似Mei對稱性。

將式(17)代入式(18), 忽略2δ及更高階小量,并利用式(2), 得到

對于微擾Lagrange力學系統(tǒng)(式(2)), 如果無限小生成元,sτξ滿足方程(19), 則相應(yīng)的近似不變性為系統(tǒng)的k階近似Mei對稱性。方程(19)稱為近似Mei對稱性的判據(jù)方程。

若無限小生成元(式(9))和規(guī)范函數(shù)(11)滿足確定方程(12), 則存在相應(yīng)的近似守恒量(式(14))。

將 Lagrange 函數(shù)L代入式(19)并展開, 令ε0, ε1,…, εk的系數(shù)為0, 可求得無限小生成元 τ 和ξs。將所得生成元代入式(12), 并比較等式兩邊ε0, ε1,…, εk的系數(shù)可求得規(guī)范函數(shù)G。將Lagrange函數(shù)L及求得的無限小生成元τ 和ξs以及規(guī)范函數(shù)G代入式(14), 可求得系統(tǒng)的近似守恒量I。

1.43種對稱性的關(guān)系

若無限小生成元(式(9))滿足式(10), 說明系統(tǒng)具有近似 Lie 對稱性。若無限小生成元(式(9))滿足式(10)且滿足式(12), 并能找到相應(yīng)的規(guī)范函數(shù), 則說明系統(tǒng)既具有近似 Lie 對稱性, 又具有近似Noether 對稱性, 找到的近似守恒量既是近似 Lie對稱性守恒量, 又是近似Noether對稱性守恒量。

若無限小生成元(式(9))滿足式(19), 則說明系統(tǒng)具有近似Mei對稱性。若無限小生成元(式(9))同時滿足式(10)和(19), 則說明系統(tǒng)同時具有近似Lie對稱性和近似Mei對稱性。

若無限小生成元(式(9))同時滿足式(10), (12)和(19), 并能找到相應(yīng)的規(guī)范函數(shù), 則說明系統(tǒng)同時具有近似 Lie 對稱性、近似 Mei 對稱性和近似Noether 對稱性, 找到的近似守恒量既是近似Lie對稱性守恒量, 又是近似 Mei 對稱性守恒量, 也是近似Noether對稱性守恒量。

2　典型微擾力學系統(tǒng)的一階近似對稱性和一階近似守恒量

頻率比為 2:1 的弱非線性耦合諧振子的Lagrange函數(shù)[13]為

運動微分方程為

2.1一階近似Lie對稱性與近似守恒量

研究系統(tǒng)的一階近似 Lie 對稱性與近似守恒量。將式(21)代入式(10)并展開, 令的系數(shù)為0, 可求得如下6組生成元[13]:

說明頻率比為 2:1 的弱非線性耦合諧振子系統(tǒng)具有6個一階近似Lie對稱性。將式(20)和(22)代入式(12), 并比較等式兩邊的系數(shù), 可求得與上述6組生成元相應(yīng)的規(guī)范函數(shù)[13]:

將式(20), (22)和(23)代入式(14), 得到 6 個一階近似守恒量[13]:

其中,

2.2一階近似Noether對稱性與近似守恒量

研究系統(tǒng)的一階近似 Noether 對稱性與一階近似守恒量。式(22)表示的 6 組生成元和式(23)表示的 6 個規(guī)范函數(shù)均符合Noether恒等式(12), 因此,系統(tǒng)同時具有式(22)表示的 6 個一階近似 Noether對稱性和式(24)表示的 6 個一階近似 Noether 守恒量。

2.3一階近似Mei對稱性與近似守恒量

研究系統(tǒng)的一階近似Mei 對稱性與一階近似守恒量。將式(20)代入式(19), 只能求得如下5組生成元:

這5組生成元與式(22)中的前5組相同。將式(20)和(26)代入式(12), 并比較等式兩邊的系數(shù),可求得與上述5組生成元相應(yīng)的規(guī)范函數(shù):

這5個規(guī)范函數(shù)與式(23)中前 5 個規(guī)范函數(shù)相同。

將式(20), (26)和(27)代入式(14), 得到5個一階近似守恒量:

這5個守恒量與(24)式中的前5個守恒量相同。由近似 Mei 對稱性只能求得微擾力學系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)和4個平凡的一階近似守恒量, 不能求得穩(wěn)定的一階近似守恒量。

3　結(jié)論

本文闡述了 3 種近似對稱性理論及其相互關(guān)系, 并用 3 種近似對稱性理論研究了頻率比為2:1的弱非線性耦合諧振子的近似對稱性與近似守恒量, 結(jié)果表明, 利用近似 Lie 對稱性法和近似Noether對稱性法能找到 6 個相同的一階近似對稱性和近似守恒量。6 個近似守恒量中, 1個是系統(tǒng)的哈密頓函數(shù); 4 個是平凡的一階近似守恒量, 1個是穩(wěn)定的一階近似守恒量。用近似Mei對稱性法只能找到5個一階近似對稱性和近似守恒量, 且5個近似守恒量與用近似Lie對稱性法和近似Noether對稱性法找到的其中5個相同。用近似Mei對稱性法只找到哈密頓函數(shù)和4個平凡的一階近似守恒量, 不能找到穩(wěn)定的一階近似守恒量。結(jié)果說明,系統(tǒng)要具有近似Mei對稱性的條件更嚴。

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Approximate Lie Symmetries， Approximate Noether Symmetries and Approximate Mei Symmetries of Typical Perturbed Mechanical System

LOU Zhimei1，?， WANG Yuanbin2， XIE Zhikun1
1. Department of Physics, Shaoxing University, Shaoxing 312000; 2. Department of mathematics, Shaoxing University, Shaoxing 312000; ? E-mail: louzhimei@usx.edu.cn

Three methods, which are approximate Lie symmetry method, approximate Noether symmetry method and approximate Mei symmetry method, are adopted to study the first order approximate symmetries and approximate conserved quantities of a typical perturbed mechanical system. Six identical first order approximate symmetries and approximate conserved quantities of the typical perturbed mechanical system are obtained by approximate Lie symmetry method and approximate Noether symmetry method, but only five of them can be obtained by approximate Mei symmetry method.

perturbed mechanical system; approximate Lie symmetry; approximate Noether symmetry; approximate Mei symmetry; approximate conserved quantity

O320

10.13209/j.0479-8023.2016.080

國家自然科學基金(11472177)資助

2015-10-09;

2016-02-13; 網(wǎng)絡(luò)出版日期: 2016-07-14